MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0ff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0ff 26937
Description: The function 𝐹 is a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
dchrisum0f.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0ff (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑏,𝑣   𝑁,π‘ž   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐷(𝑣,π‘ž,𝑏)   1 (𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐹(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐺(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐿(π‘ž)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(π‘ž)   𝑍(𝑣,π‘ž,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0ff
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13920 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...𝑛) ∈ Fin)
2 dvdsssfz1 16243 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛} βŠ† (1...𝑛))
32adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛} βŠ† (1...𝑛))
41, 3ssfid 9250 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛} ∈ Fin)
5 dchrisum0flb.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
65ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛}) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
7 rpvmasum.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
87nnnn0d 12514 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
9 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
10 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
11 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
129, 10, 11znzrhfo 21036 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘))
13 fof 6792 . . . . . . 7 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
148, 12, 133syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
1514adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
16 elrabi 3673 . . . . . 6 (π‘š ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛} β†’ π‘š ∈ β„•)
1716nnzd 12567 . . . . 5 (π‘š ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛} β†’ π‘š ∈ β„€)
18 ffvelcdm 7068 . . . . 5 ((𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π‘š) ∈ (Baseβ€˜π‘))
1915, 17, 18syl2an 596 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛}) β†’ (πΏβ€˜π‘š) ∈ (Baseβ€˜π‘))
206, 19ffvelcdmd 7072 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛}) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
214, 20fsumrecl 15662 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘š ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
22 dchrisum0f.f . . 3 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
23 breq2 5145 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑛 β†’ (π‘ž βˆ₯ 𝑏 ↔ π‘ž βˆ₯ 𝑛))
2423rabbidv 3439 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑛 β†’ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} = {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛})
2524sumeq1d 15629 . . . . 5 (𝑏 = 𝑛 β†’ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)) = Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
26 2fveq3 6883 . . . . . 6 (𝑣 = π‘š β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
2726cbvsumv 15624 . . . . 5 Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)) = Ξ£π‘š ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))
2825, 27eqtrdi 2787 . . . 4 (𝑏 = 𝑛 β†’ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)) = Ξ£π‘š ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
2928cbvmptv 5254 . . 3 (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘š ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
3022, 29eqtri 2759 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘š ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑛} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
3121, 30fmptd 7098 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3431   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6528  β€“ontoβ†’wfo 6530  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393  β„cr 11091  1c1 11093  β„•cn 12194  β„•0cn0 12454  β„€cz 12540  ...cfz 13466  Ξ£csu 15614   βˆ₯ cdvds 16179  Basecbs 17126  0gc0g 17367  β„€RHomczrh 20982  β„€/nβ„€czn 20985  DChrcdchr 26662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-ec 8688  df-qs 8692  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-sum 15615  df-dvds 16180  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17369  df-imas 17436  df-qus 17437  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-nsg 18976  df-eqg 18977  df-ghm 19056  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-oppr 20102  df-rnghom 20201  df-subrg 20310  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lsp 20532  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-lidl 20736  df-rsp 20737  df-2idl 20803  df-cnfld 20879  df-zring 20952  df-zrh 20986  df-zn 20989
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  26939  dchrisum0fno1  26941
  Copyright terms: Public domain W3C validator