Theorem dchrisum0ff 27571

Description: The function 𝐹 is a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum0f.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
dchrisum0f.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r	⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0ff	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣   𝑁,𝑞   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0ff

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14026	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ∈ Fin)
2		dvdsssfz1 16368	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
4	1, 3	ssfid 9331	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} ∈ Fin)
5		dchrisum0flb.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
6	5	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛}) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
7		rpvmasum.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		rpvmasum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
11		rpvmasum.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
12	9, 10, 11	znzrhfo 21591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13		fof 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
14	8, 12, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
16		elrabi 3703	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} → 𝑚 ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12668	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} → 𝑚 ∈ ℤ)
18		ffvelcdm 7117	. . . . 5 ⊢ ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
19	15, 17, 18	syl2an 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛}) → (𝐿‘𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
20	6, 19	ffvelcdmd 7121	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛}) → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℝ)
21	4, 20	fsumrecl 15784	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℝ)
22		dchrisum0f.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
23		breq2 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → (𝑞 ∥ 𝑏 ↔ 𝑞 ∥ 𝑛))
24	23	rabbidv 3451	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛})
25	24	sumeq1d 15750	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
26		2fveq3 6927	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑚)))
27	26	cbvsumv 15746	. . . . 5 ⊢ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} (𝑋‘(𝐿‘𝑚))
28	25, 27	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} (𝑋‘(𝐿‘𝑚)))
29	28	cbvmptv 5279	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} (𝑋‘(𝐿‘𝑚)))
30	22, 29	eqtri 2768	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} (𝑋‘(𝐿‘𝑚)))
31	21, 30	fmptd 7150	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6571  –onto→wfo 6573  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  ℝcr 11185  1c1 11187  ℕcn 12295  ℕ₀cn0 12555  ℤcz 12641  ...cfz 13569  Σcsu 15736   ∥ cdvds 16304  Basecbs 17260  0_gc0g 17501  ℤRHomczrh 21535  ℤ/nℤczn 21538  DChrcdchr 27296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264  ax-addf 11265  ax-mulf 11266

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-tpos 8269  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-ec 8767  df-qs 8771  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-sup 9513  df-inf 9514  df-oi 9581  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-rp 13060  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-seq 14055  df-exp 14115  df-hash 14382  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15536  df-sum 15737  df-dvds 16305  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-0g 17503  df-imas 17570  df-qus 17571  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-mhm 18820  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-nsg 19166  df-eqg 19167  df-ghm 19255  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20362  df-rhm 20500  df-subrng 20574  df-subrg 20599  df-lmod 20884  df-lss 20955  df-lsp 20995  df-sra 21197  df-rgmod 21198  df-lidl 21243  df-rsp 21244  df-2idl 21285  df-cnfld 21390  df-zring 21483  df-zrh 21539  df-zn 21542

This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  27573  dchrisum0fno1  27575