Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0ff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0ff 26066
 Description: The function 𝐹 is a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0flb.r (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0ff (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣   𝑁,𝑞   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0ff
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13321 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ∈ Fin)
2 dvdsssfz1 15644 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} ⊆ (1...𝑛))
32adantl 484 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} ⊆ (1...𝑛))
41, 3ssfid 8715 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} ∈ Fin)
5 dchrisum0flb.r . . . . 5 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
65ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛}) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
7 rpvmasum.a . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87nnnn0d 11930 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10 eqid 2820 . . . . . . . 8 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
11 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
129, 10, 11znzrhfo 20666 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13 fof 6562 . . . . . . 7 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
148, 12, 133syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
1514adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
16 elrabi 3651 . . . . . 6 (𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} → 𝑚 ∈ ℕ)
1716nnzd 12061 . . . . 5 (𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} → 𝑚 ∈ ℤ)
18 ffvelrn 6821 . . . . 5 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
1915, 17, 18syl2an 597 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛}) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
206, 19ffvelrnd 6824 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛}) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℝ)
214, 20fsumrecl 15067 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℝ)
22 dchrisum0f.f . . 3 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
23 breq2 5042 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑛 → (𝑞𝑏𝑞𝑛))
2423rabbidv 3456 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑛 → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛})
2524sumeq1d 15034 . . . . 5 (𝑏 = 𝑛 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)) = Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
26 2fveq3 6647 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑣)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
2726cbvsumv 15029 . . . . 5 Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} (𝑋‘(𝐿𝑣)) = Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} (𝑋‘(𝐿𝑚))
2825, 27syl6eq 2871 . . . 4 (𝑏 = 𝑛 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)) = Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} (𝑋‘(𝐿𝑚)))
2928cbvmptv 5141 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} (𝑋‘(𝐿𝑚)))
3022, 29eqtri 2843 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} (𝑋‘(𝐿𝑚)))
3121, 30fmptd 6850 1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3129   ⊆ wss 3909   class class class wbr 5038   ↦ cmpt 5118  ⟶wf 6323  –onto→wfo 6325  ‘cfv 6327  (class class class)co 7129  ℝcr 10510  1c1 10512  ℕcn 11612  ℕ0cn0 11872  ℤcz 11956  ...cfz 12872  Σcsu 15018   ∥ cdvds 15583  Basecbs 16458  0gc0g 16688  ℤRHomczrh 20619  ℤ/nℤczn 20622  DChrcdchr 25791 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-inf2 9078  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-pre-sup 10589  ax-addf 10590  ax-mulf 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-tpos 7866  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-oadd 8080  df-er 8263  df-ec 8265  df-qs 8269  df-map 8382  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-sup 8880  df-inf 8881  df-oi 8948  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-div 11272  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-5 11678  df-6 11679  df-7 11680  df-8 11681  df-9 11682  df-n0 11873  df-z 11957  df-dec 12074  df-uz 12219  df-rp 12365  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-seq 13350  df-exp 13411  df-hash 13672  df-cj 14434  df-re 14435  df-im 14436  df-sqrt 14570  df-abs 14571  df-clim 14821  df-sum 15019  df-dvds 15584  df-struct 16460  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-mulr 16554  df-starv 16555  df-sca 16556  df-vsca 16557  df-ip 16558  df-tset 16559  df-ple 16560  df-ds 16562  df-unif 16563  df-0g 16690  df-imas 16756  df-qus 16757  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-mhm 17931  df-grp 18081  df-minusg 18082  df-sbg 18083  df-mulg 18200  df-subg 18251  df-nsg 18252  df-eqg 18253  df-ghm 18331  df-cmn 18883  df-abl 18884  df-mgp 19215  df-ur 19227  df-ring 19274  df-cring 19275  df-oppr 19348  df-rnghom 19442  df-subrg 19505  df-lmod 19608  df-lss 19676  df-lsp 19716  df-sra 19916  df-rgmod 19917  df-lidl 19918  df-rsp 19919  df-2idl 19977  df-cnfld 20518  df-zring 20590  df-zrh 20623  df-zn 20626 This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  26068  dchrisum0fno1  26070
 Copyright terms: Public domain W3C validator