Theorem dchrisum0ff 27577

Description: The function 𝐹 is a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum0f.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
dchrisum0f.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r	⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0ff	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣   𝑁,𝑞   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0ff

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14020	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ∈ Fin)
2		dvdsssfz1 16361	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
4	1, 3	ssfid 9308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} ∈ Fin)
5		dchrisum0flb.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
6	5	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛}) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
7		rpvmasum.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12594	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		rpvmasum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
11		rpvmasum.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
12	9, 10, 11	znzrhfo 21593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13		fof 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
14	8, 12, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
16		elrabi 3693	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} → 𝑚 ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12647	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} → 𝑚 ∈ ℤ)
18		ffvelcdm 7108	. . . . 5 ⊢ ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
19	15, 17, 18	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛}) → (𝐿‘𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
20	6, 19	ffvelcdmd 7112	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛}) → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℝ)
21	4, 20	fsumrecl 15776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℝ)
22		dchrisum0f.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
23		breq2 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → (𝑞 ∥ 𝑏 ↔ 𝑞 ∥ 𝑛))
24	23	rabbidv 3444	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛})
25	24	sumeq1d 15742	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
26		2fveq3 6919	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑚)))
27	26	cbvsumv 15738	. . . . 5 ⊢ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} (𝑋‘(𝐿‘𝑚))
28	25, 27	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} (𝑋‘(𝐿‘𝑚)))
29	28	cbvmptv 5264	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} (𝑋‘(𝐿‘𝑚)))
30	22, 29	eqtri 2765	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑛} (𝑋‘(𝐿‘𝑚)))
31	21, 30	fmptd 7141	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3436   ⊆ wss 3966   class class class wbr 5151   ↦ cmpt 5234  ⟶wf 6565  –onto→wfo 6567  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  ℝcr 11161  1c1 11163  ℕcn 12273  ℕ₀cn0 12533  ℤcz 12620  ...cfz 13553  Σcsu 15728   ∥ cdvds 16296  Basecbs 17254  0_gc0g 17495  ℤRHomczrh 21537  ℤ/nℤczn 21540  DChrcdchr 27302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-inf2 9688  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240  ax-addf 11241  ax-mulf 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8259  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-er 8753  df-ec 8755  df-qs 8759  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-sup 9489  df-inf 9490  df-oi 9557  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-rp 13042  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-sum 15729  df-dvds 16297  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-starv 17322  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-ip 17325  df-tset 17326  df-ple 17327  df-ds 17329  df-unif 17330  df-0g 17497  df-imas 17564  df-qus 17565  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20596  df-lmod 20886  df-lss 20957  df-lsp 20997  df-sra 21199  df-rgmod 21200  df-lidl 21245  df-rsp 21246  df-2idl 21287  df-cnfld 21392  df-zring 21485  df-zrh 21541  df-zn 21544

This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  27579  dchrisum0fno1  27581