MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0ff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0ff 26066
Description: The function 𝐹 is a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0flb.r (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0ff (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣   𝑁,𝑞   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0ff
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13321 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ∈ Fin)
2 dvdsssfz1 15644 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} ⊆ (1...𝑛))
32adantl 484 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} ⊆ (1...𝑛))
41, 3ssfid 8715 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} ∈ Fin)
5 dchrisum0flb.r . . . . 5 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
65ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛}) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
7 rpvmasum.a . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87nnnn0d 11930 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10 eqid 2820 . . . . . . . 8 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
11 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
129, 10, 11znzrhfo 20666 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13 fof 6562 . . . . . . 7 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
148, 12, 133syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
1514adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
16 elrabi 3651 . . . . . 6 (𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} → 𝑚 ∈ ℕ)
1716nnzd 12061 . . . . 5 (𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} → 𝑚 ∈ ℤ)
18 ffvelrn 6821 . . . . 5 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
1915, 17, 18syl2an 597 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛}) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
206, 19ffvelrnd 6824 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛}) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℝ)
214, 20fsumrecl 15067 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℝ)
22 dchrisum0f.f . . 3 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
23 breq2 5042 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑛 → (𝑞𝑏𝑞𝑛))
2423rabbidv 3456 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑛 → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛})
2524sumeq1d 15034 . . . . 5 (𝑏 = 𝑛 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)) = Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
26 2fveq3 6647 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑣)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
2726cbvsumv 15029 . . . . 5 Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} (𝑋‘(𝐿𝑣)) = Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} (𝑋‘(𝐿𝑚))
2825, 27syl6eq 2871 . . . 4 (𝑏 = 𝑛 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)) = Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} (𝑋‘(𝐿𝑚)))
2928cbvmptv 5141 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} (𝑋‘(𝐿𝑚)))
3022, 29eqtri 2843 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑚 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑛} (𝑋‘(𝐿𝑚)))
3121, 30fmptd 6850 1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  {crab 3129  wss 3909   class class class wbr 5038  cmpt 5118  wf 6323  ontowfo 6325  cfv 6327  (class class class)co 7129  cr 10510  1c1 10512  cn 11612  0cn0 11872  cz 11956  ...cfz 12872  Σcsu 15018  cdvds 15583  Basecbs 16458  0gc0g 16688  ℤRHomczrh 20619  ℤ/nczn 20622  DChrcdchr 25791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-inf2 9078  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-pre-sup 10589  ax-addf 10590  ax-mulf 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-tpos 7866  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-oadd 8080  df-er 8263  df-ec 8265  df-qs 8269  df-map 8382  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-sup 8880  df-inf 8881  df-oi 8948  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-div 11272  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-5 11678  df-6 11679  df-7 11680  df-8 11681  df-9 11682  df-n0 11873  df-z 11957  df-dec 12074  df-uz 12219  df-rp 12365  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-seq 13350  df-exp 13411  df-hash 13672  df-cj 14434  df-re 14435  df-im 14436  df-sqrt 14570  df-abs 14571  df-clim 14821  df-sum 15019  df-dvds 15584  df-struct 16460  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-mulr 16554  df-starv 16555  df-sca 16556  df-vsca 16557  df-ip 16558  df-tset 16559  df-ple 16560  df-ds 16562  df-unif 16563  df-0g 16690  df-imas 16756  df-qus 16757  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-mhm 17931  df-grp 18081  df-minusg 18082  df-sbg 18083  df-mulg 18200  df-subg 18251  df-nsg 18252  df-eqg 18253  df-ghm 18331  df-cmn 18883  df-abl 18884  df-mgp 19215  df-ur 19227  df-ring 19274  df-cring 19275  df-oppr 19348  df-rnghom 19442  df-subrg 19505  df-lmod 19608  df-lss 19676  df-lsp 19716  df-sra 19916  df-rgmod 19917  df-lidl 19918  df-rsp 19919  df-2idl 19977  df-cnfld 20518  df-zring 20590  df-zrh 20623  df-zn 20626
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  26068  dchrisum0fno1  26070
  Copyright terms: Public domain W3C validator