Theorem sticksstones21 42259

Description: Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakunt, 24-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones21.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones21.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones21.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
sticksstones21.4	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones21	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + ((♯‘𝑆) − 1))C((♯‘𝑆) − 1)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖)   𝐴(𝑓,𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem sticksstones21

Dummy variables 𝑘 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones21.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		sticksstones21.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
3		sticksstones21.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
4		hashnncl 14273	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
6	3, 5	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
7		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑔‘𝑗) = (𝑔‘𝑘))
8	7	cbvsumv 15603	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘)
9	8	eqeq1i 2736	. . . 4 ⊢ (Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁)
10	9	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁))
11	10	abbii 2798	. 2 ⊢ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁)}
12		sticksstones21.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)}
13		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑓‘𝑖) = (𝑓‘𝑘))
14	13	cbvsumv 15603	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘)
15	14	eqeq1i 2736	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)
16	15	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁))
17	16	abbii 2798	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)}
18	12, 17	eqtri 2754	. 2 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)}
19		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑆))
20	1, 2, 6, 11, 18, 19	sticksstones20 42258	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + ((♯‘𝑆) − 1))C((♯‘𝑆) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709   ≠ wne 2928  ∅c0 4280  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  1c1 11007   + caddc 11009   − cmin 11344  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ...cfz 13407  Ccbc 14209  ♯chash 14237  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  sticksstones22  42260