Theorem sticksstones21 43098

Description: Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakunt, 24-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones21.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones21.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones21.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
sticksstones21.4	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones21	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + ((♯‘𝑆) − 1))C((♯‘𝑆) − 1)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓, 𝑖)   𝐴(𝑓, 𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem sticksstones21

Dummy variables 𝑘 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones21.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		sticksstones21.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
3		sticksstones21.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
4		hashnncl 14455	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
6	3, 5	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
7		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑔‘𝑗) = (𝑔‘𝑘))
8	7	cbvsumv 15808	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘)
9	8	eqeq1i 2765	. . . 4 ⊢ (Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁)
10	9	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁))
11	10	abbii 2827	. 2 ⊢ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁)}
12		sticksstones21.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)}
13		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑓‘𝑖) = (𝑓‘𝑘))
14	13	cbvsumv 15808	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘)
15	14	eqeq1i 2765	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)
16	15	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁))
17	16	abbii 2827	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)}
18	12, 17	eqtri 2783	. 2 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)}
19		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑆))
20	1, 2, 6, 11, 18, 19	sticksstones20 43097	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + ((♯‘𝑆) − 1))C((♯‘𝑆) − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738   ≠ wne 2955  ∅c0 4279  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Fincfn 8959  1c1 11150   + caddc 11152   − cmin 11490  ℕcn 12282  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13586  Ccbc 14391  ♯chash 14419  Σcsu 15798

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-rp 13068  df-ico 13429  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-seq 14091  df-exp 14151  df-fac 14363  df-bc 14392  df-hash 14420  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-clim 15600  df-sum 15799

This theorem is used by:  sticksstones22  43099