Theorem sticksstones21 41708

Description: Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakunt, 24-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones21.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones21.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones21.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
sticksstones21.4	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones21	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + ((♯‘𝑆) − 1))C((♯‘𝑆) − 1)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖)   𝐴(𝑓,𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem sticksstones21

Dummy variables 𝑘 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones21.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		sticksstones21.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
3		sticksstones21.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
4		hashnncl 14357	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
6	3, 5	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
7		fveq2 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑔‘𝑗) = (𝑔‘𝑘))
8	7	cbvsumv 15674	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘)
9	8	eqeq1i 2730	. . . 4 ⊢ (Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁)
10	9	anbi2i 621	. . 3 ⊢ ((𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁))
11	10	abbii 2795	. 2 ⊢ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁)}
12		sticksstones21.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)}
13		fveq2 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑓‘𝑖) = (𝑓‘𝑘))
14	13	cbvsumv 15674	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘)
15	14	eqeq1i 2730	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)
16	15	anbi2i 621	. . . 4 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁))
17	16	abbii 2795	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)}
18	12, 17	eqtri 2753	. 2 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)}
19		eqidd 2726	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑆))
20	1, 2, 6, 11, 18, 19	sticksstones20 41707	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + ((♯‘𝑆) − 1))C((♯‘𝑆) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702   ≠ wne 2930  ∅c0 4323  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  Fincfn 8962  1c1 11139   + caddc 11141   − cmin 11474  ℕcn 12242  ℕ₀cn0 12502  ...cfz 13516  Ccbc 14293  ♯chash 14321  Σcsu 15664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ico 13362  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665

This theorem is referenced by:  sticksstones22  41709