Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones21 40621
Description: Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakunt, 24-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones21.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones21.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones21.3 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
sticksstones21.4 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
sticksstones21 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = ((𝑁 + ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,𝑖)   𝐴(𝑓,𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem sticksstones21
Dummy variables π‘˜ 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones21.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 sticksstones21.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Fin)
3 sticksstones21.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
4 hashnncl 14272 . . . 4 (𝑆 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘†) ∈ β„• ↔ 𝑆 β‰  βˆ…))
52, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘†) ∈ β„• ↔ 𝑆 β‰  βˆ…))
63, 5mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„•)
7 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘”β€˜π‘—) = (π‘”β€˜π‘˜))
87cbvsumv 15586 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜π‘†))(π‘”β€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘†))(π‘”β€˜π‘˜)
98eqeq1i 2738 . . . 4 (Σ𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜π‘†))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘†))(π‘”β€˜π‘˜) = 𝑁)
109anbi2i 624 . . 3 ((𝑔:(1...(β™―β€˜π‘†))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜π‘†))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...(β™―β€˜π‘†))βŸΆβ„•0 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘†))(π‘”β€˜π‘˜) = 𝑁))
1110abbii 2803 . 2 {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(β™―β€˜π‘†))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜π‘†))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(β™―β€˜π‘†))βŸΆβ„•0 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜π‘†))(π‘”β€˜π‘˜) = 𝑁)}
12 sticksstones21.4 . . 3 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 𝑁)}
13 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘–) = (π‘“β€˜π‘˜))
1413cbvsumv 15586 . . . . . 6 Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘˜)
1514eqeq1i 2738 . . . . 5 (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 𝑁 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑁)
1615anbi2i 624 . . . 4 ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 𝑁) ↔ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑁))
1716abbii 2803 . . 3 {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑁)}
1812, 17eqtri 2761 . 2 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘˜) = 𝑁)}
19 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) = (β™―β€˜π‘†))
201, 2, 6, 11, 18, 19sticksstones20 40620 1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = ((𝑁 + ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4283  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  1c1 11057   + caddc 11059   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  ...cfz 13430  Ccbc 14208  β™―chash 14236  Ξ£csu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  sticksstones22  40622
  Copyright terms: Public domain W3C validator