Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones21 42146
Description: Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakunt, 24-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones21.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones21.2 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
sticksstones21.3 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
sticksstones21.4 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑓𝑖) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
sticksstones21 (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + ((♯‘𝑆) − 1))C((♯‘𝑆) − 1)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖)   𝐴(𝑓,𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem sticksstones21
Dummy variables 𝑘 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones21.1 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 sticksstones21.2 . 2 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
3 sticksstones21.3 . . 3 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
4 hashnncl 14401 . . . 4 (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
52, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
63, 5mpbird 257 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
7 fveq2 6904 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑔𝑗) = (𝑔𝑘))
87cbvsumv 15728 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔𝑗) = Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔𝑘)
98eqeq1i 2741 . . . 4 𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔𝑘) = 𝑁)
109anbi2i 623 . . 3 ((𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔𝑗) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔𝑘) = 𝑁))
1110abbii 2808 . 2 {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔𝑗) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔𝑘) = 𝑁)}
12 sticksstones21.4 . . 3 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑓𝑖) = 𝑁)}
13 fveq2 6904 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → (𝑓𝑖) = (𝑓𝑘))
1413cbvsumv 15728 . . . . . 6 Σ𝑖𝑆 (𝑓𝑖) = Σ𝑘𝑆 (𝑓𝑘)
1514eqeq1i 2741 . . . . 5 𝑖𝑆 (𝑓𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑘𝑆 (𝑓𝑘) = 𝑁)
1615anbi2i 623 . . . 4 ((𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑓𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑆 (𝑓𝑘) = 𝑁))
1716abbii 2808 . . 3 {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑓𝑖) = 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑆 (𝑓𝑘) = 𝑁)}
1812, 17eqtri 2764 . 2 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑆 (𝑓𝑘) = 𝑁)}
19 eqidd 2737 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑆))
201, 2, 6, 11, 18, 19sticksstones20 42145 1 (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + ((♯‘𝑆) − 1))C((♯‘𝑆) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2713  wne 2939  c0 4332  wf 6555  cfv 6559  (class class class)co 7429  Fincfn 8981  1c1 11152   + caddc 11154  cmin 11488  cn 12262  0cn0 12522  ...cfz 13543  Ccbc 14337  chash 14365  Σcsu 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-inf2 9677  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-oadd 8506  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-rp 13031  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719
This theorem is referenced by:  sticksstones22  42147
  Copyright terms: Public domain W3C validator