Theorem sticksstones21 40123

Description: Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakunt, 24-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones21.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones21.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones21.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
sticksstones21.4	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones21	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + ((♯‘𝑆) − 1))C((♯‘𝑆) − 1)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖)   𝐴(𝑓,𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem sticksstones21

Dummy variables 𝑘 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones21.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		sticksstones21.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
3		sticksstones21.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
4		hashnncl 14081	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
6	3, 5	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
7		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑔‘𝑗) = (𝑔‘𝑘))
8	7	cbvsumv 15408	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘)
9	8	eqeq1i 2743	. . . 4 ⊢ (Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁)
10	9	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁))
11	10	abbii 2808	. 2 ⊢ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁)}
12		sticksstones21.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)}
13		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑓‘𝑖) = (𝑓‘𝑘))
14	13	cbvsumv 15408	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘)
15	14	eqeq1i 2743	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)
16	15	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁))
17	16	abbii 2808	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)}
18	12, 17	eqtri 2766	. 2 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)}
19		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑆))
20	1, 2, 6, 11, 18, 19	sticksstones20 40122	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + ((♯‘𝑆) − 1))C((♯‘𝑆) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  ∅c0 4256  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239  Ccbc 14016  ♯chash 14044  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  sticksstones22  40124