Theorem sticksstones21 42624

Description: Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakunt, 24-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones21.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones21.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones21.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
sticksstones21.4	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones21	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + ((♯‘𝑆) − 1))C((♯‘𝑆) − 1)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖)   𝐴(𝑓,𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem sticksstones21

Dummy variables 𝑘 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones21.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		sticksstones21.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
3		sticksstones21.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
4		hashnncl 14323	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
6	3, 5	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
7		fveq2 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑔‘𝑗) = (𝑔‘𝑘))
8	7	cbvsumv 15653	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘)
9	8	eqeq1i 2742	. . . 4 ⊢ (Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁)
10	9	anbi2i 624	. . 3 ⊢ ((𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁))
11	10	abbii 2804	. 2 ⊢ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(♯‘𝑆))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(♯‘𝑆))(𝑔‘𝑘) = 𝑁)}
12		sticksstones21.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)}
13		fveq2 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑓‘𝑖) = (𝑓‘𝑘))
14	13	cbvsumv 15653	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘)
15	14	eqeq1i 2742	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)
16	15	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁))
17	16	abbii 2804	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) = 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)}
18	12, 17	eqtri 2760	. 2 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑘) = 𝑁)}
19		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘𝑆))
20	1, 2, 6, 11, 18, 19	sticksstones20 42623	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + ((♯‘𝑆) − 1))C((♯‘𝑆) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Fincfn 8888  1c1 11034   + caddc 11036   − cmin 11372  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  ...cfz 13456  Ccbc 14259  ♯chash 14287  Σcsu 15643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-oadd 8404  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644

This theorem is referenced by:  sticksstones22  42625