MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymul 26072
Description: The product of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
plyadd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
plyadd.3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
plymul.4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
plymul (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f ยท ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐น   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ

Proof of Theorem plymul
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘š ๐‘› ๐‘ง ๐‘Ž ๐‘ ๐‘— ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
2 elply2 26050 . . . 4 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†” (๐‘† โІ โ„‚ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
32simprbi 496 . . 3 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
41, 3syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
5 plyadd.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
6 elply2 26050 . . . 4 (๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†” (๐‘† โІ โ„‚ โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
76simprbi 496 . . 3 (๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
85, 7syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
9 reeanv 3218 . . 3 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
10 reeanv 3218 . . . . 5 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)(((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
11 simp1l 1194 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐œ‘)
1211, 1syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
1311, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
1511, 14sylan 579 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
16 simp1rl 1235 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
17 simp1rr 1236 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
18 simp2l 1196 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))
19 simp2r 1197 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))
20 simp3ll 1241 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ (๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0})
21 simp3rl 1243 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0})
22 simp3lr 1242 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
23 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘งโ†‘๐‘˜) = (๐‘คโ†‘๐‘˜))
2423oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
2524sumeq2sdv 15647 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
26 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘˜) = (๐‘Žโ€˜๐‘—))
27 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘คโ†‘๐‘˜) = (๐‘คโ†‘๐‘—))
2826, 27oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
2928cbvsumv 15639 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))
3025, 29eqtrdi 2780 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3130cbvmptv 5251 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3222, 31eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))))
33 simp3rr 1244 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
3423oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
3534sumeq2sdv 15647 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
36 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘โ€˜๐‘˜) = (๐‘โ€˜๐‘—))
3736, 27oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3837cbvsumv 15639 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))
3935, 38eqtrdi 2780 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
4039cbvmptv 5251 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
4133, 40eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐บ = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))))
42 plymul.4 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
4311, 42sylan 579 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
4412, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41, 43plymullem 26070 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ (๐น โˆ˜f ยท ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
45443expia 1118 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))) โ†’ ((((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f ยท ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
4645rexlimdvva 3203 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)(((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f ยท ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
4710, 46biimtrrid 242 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f ยท ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
4847rexlimdvva 3203 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f ยท ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
499, 48biimtrrid 242 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f ยท ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
504, 8, 49mp2and 696 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f ยท ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3062   โˆช cun 3938   โІ wss 3940  {csn 4620   โ†ฆ cmpt 5221   โ€œ cima 5669  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   โˆ˜f cof 7661   โ†‘m cmap 8816  โ„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111  โ„•0cn0 12469  โ„คโ‰ฅcuz 12819  ...cfz 13481  โ†‘cexp 14024  ฮฃcsu 15629  Polycply 26038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-ply 26042
This theorem is referenced by:  plysub  26073  plymulcl  26075  plyco  26095  plydivlem2  26148  plydivlem4  26150  plydiveu  26152  plymulx0  34047  mpaaeu  42381  rngunsnply  42404
  Copyright terms: Public domain W3C validator