MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymul 24813
Description: The product of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plymul.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plymul (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem plymul
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑧 𝑎 𝑏 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 elply2 24791 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))))
32simprbi 500 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
5 plyadd.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6 elply2 24791 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
76simprbi 500 . . 3 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))
85, 7syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))
9 reeanv 3348 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
10 reeanv 3348 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)(((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) ↔ (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
11 simp1l 1194 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝜑)
1211, 1syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
1311, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1511, 14sylan 583 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
16 simp1rl 1235 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
17 simp1rr 1236 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
18 simp2l 1196 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
19 simp2r 1197 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
20 simp3ll 1241 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0})
21 simp3rl 1243 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0})
22 simp3lr 1242 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
23 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑘) = (𝑤𝑘))
2423oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)))
2524sumeq2sdv 15052 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)))
26 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑎𝑘) = (𝑎𝑗))
27 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑤𝑘) = (𝑤𝑗))
2826, 27oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)) = ((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
2928cbvsumv 15044 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗))
3025, 29syl6eq 2873 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
3130cbvmptv 5145 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
3222, 31syl6eq 2873 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗))))
33 simp3rr 1244 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))
3423oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)))
3534sumeq2sdv 15052 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)))
36 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑏𝑘) = (𝑏𝑗))
3736, 27oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)) = ((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
3837cbvsumv 15044 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗))
3935, 38syl6eq 2873 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
4039cbvmptv 5145 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
4133, 40syl6eq 2873 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗))))
42 plymul.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
4311, 42sylan 583 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
4412, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41, 43plymullem 24811 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
45443expia 1118 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) → ((((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4645rexlimdvva 3280 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)(((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4710, 46syl5bir 246 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4847rexlimdvva 3280 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
499, 48syl5bir 246 . 2 (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
504, 8, 49mp2and 698 1 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wrex 3131  cun 3906  wss 3908  {csn 4539  cmpt 5122  cima 5535  cfv 6334  (class class class)co 7140  f cof 7392  m cmap 8393  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  0cn0 11885  cuz 12231  ...cfz 12885  cexp 13425  Σcsu 15033  Polycply 24779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-ply 24783
This theorem is referenced by:  plysub  24814  plymulcl  24816  plyco  24836  plydivlem2  24888  plydivlem4  24890  plydiveu  24892  plymulx0  31891  mpaaeu  40024  rngunsnply  40047
  Copyright terms: Public domain W3C validator