axsegconlem9 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axsegconlem9		Structured version Visualization version GIF version

Theorem axsegconlem9 28180

Description: Lemma for axsegcon 28182. Show that 𝐵𝐹 is congruent to 𝐶𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 19-Sep-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
axsegconlem2.1	⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)
axsegconlem7.2	⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)
axsegconlem8.3	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)))

**Assertion**
Ref	Expression
axsegconlem9	⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐹‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐵,𝑝 𝐶,𝑝 𝐷,𝑝 𝑁,𝑝 𝐴,𝑖,𝑘 𝐵,𝑖,𝑘 𝐶,𝑖,𝑘 𝐷,𝑖,𝑘 𝑖,𝑁,𝑘 𝑆,𝑖,𝑘 𝑇,𝑖,𝑘 𝑖,𝑝 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑝) 𝑇(𝑝) 𝐹(𝑖,𝑘,𝑝)

**Proof of Theorem axsegconlem9**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑖))
2	1	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)))
3		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑖))
4	3	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘)) = ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)))
5	2, 4	oveq12d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))))
6	5	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
7		axsegconlem8.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)))
8		ovex 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐹‘𝑖) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
10	9	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
11	10	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐹‘𝑖)) = ((𝐵‘𝑖) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆))))
12		axsegconlem2.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)
13	12	axsegconlem4 28175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
14	13	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
15	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
16		simpl2 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		fveere 28156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
18	16, 17	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
19	15, 18	remulcld 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11241	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
21		axsegconlem7.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)
22	21	axsegconlem4 28175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℝ)
23		readdcl 11192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((√‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (√‘𝑇) ∈ ℝ) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
24	14, 22, 23	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
26	25, 18	remulcld 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
27	22	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℝ)
28		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
29		fveere 28156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
30	28, 29	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
31	27, 30	remulcld 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
32	26, 31	resubcld 11641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11241	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
34	15	recnd 11241	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℂ)
35	12	axsegconlem6 28177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 0 < (√‘𝑆))
36	35	gt0ne0d 11777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (√‘𝑆) ≠ 0)
37	36	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ≠ 0)
38	20, 33, 34, 37	divsubdird 12028	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) · (𝐵‘𝑖)) − ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)))) / (√‘𝑆)) = ((((√‘𝑆) · (𝐵‘𝑖)) / (√‘𝑆)) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆))))
39	26	recnd 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
40	31	recnd 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
41	20, 39, 40	subsubd 11598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) · (𝐵‘𝑖)) − ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)))) = ((((√‘𝑆) · (𝐵‘𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖))) + ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))))
42	27	recnd 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℂ)
43	18	renegcld 11640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → -(𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → -(𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
45	30	recnd 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
46	42, 44, 45	adddid 11237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (-(𝐵‘𝑖) + (𝐴‘𝑖))) = (((√‘𝑇) · -(𝐵‘𝑖)) + ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))))
47	44, 45	addcomd 11415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (-(𝐵‘𝑖) + (𝐴‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) + -(𝐵‘𝑖)))
48	18	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
49	45, 48	negsubd 11576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) + -(𝐵‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))
50	47, 49	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (-(𝐵‘𝑖) + (𝐴‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))
51	50	oveq2d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (-(𝐵‘𝑖) + (𝐴‘𝑖))) = ((√‘𝑇) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))
52	25	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℂ)
53	52, 34	negsubdi2d 11586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → -(((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = ((√‘𝑆) − ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))))
54	34, 42	pncan2d 11572	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = (√‘𝑇))
55	54	negeqd 11453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → -(((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = -(√‘𝑇))
56	53, 55	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) − ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = -(√‘𝑇))
57	56	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) − ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐵‘𝑖)) = (-(√‘𝑇) · (𝐵‘𝑖)))
58	34, 52, 48	subdird 11670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) − ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐵‘𝑖)) = (((√‘𝑆) · (𝐵‘𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖))))
59		mulneg12 11651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((√‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ) → (-(√‘𝑇) · (𝐵‘𝑖)) = ((√‘𝑇) · -(𝐵‘𝑖)))
60	42, 48, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (-(√‘𝑇) · (𝐵‘𝑖)) = ((√‘𝑇) · -(𝐵‘𝑖)))
61	57, 58, 60	3eqtr3rd 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · -(𝐵‘𝑖)) = (((√‘𝑆) · (𝐵‘𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖))))
62	61	oveq1d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · -(𝐵‘𝑖)) + ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) = ((((√‘𝑆) · (𝐵‘𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖))) + ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))))
63	46, 51, 62	3eqtr3rd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) · (𝐵‘𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖))) + ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) = ((√‘𝑇) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))
64	41, 63	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) · (𝐵‘𝑖)) − ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)))) = ((√‘𝑇) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))
65	64	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) · (𝐵‘𝑖)) − ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)))) / (√‘𝑆)) = (((√‘𝑇) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
66	48, 34, 37	divcan3d 11994	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) · (𝐵‘𝑖)) / (√‘𝑆)) = (𝐵‘𝑖))
67	66	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) · (𝐵‘𝑖)) / (√‘𝑆)) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆))) = ((𝐵‘𝑖) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆))))
68	38, 65, 67	3eqtr3rd 2781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆))) = (((√‘𝑇) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
69	11, 68	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐹‘𝑖)) = (((√‘𝑇) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
70	69	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐹‘𝑖))↑2) = ((((√‘𝑇) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) / (√‘𝑆))↑2))
71	30, 18	resubcld 11641	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
72	27, 71	remulcld 11243	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ ℝ)
73	72	recnd 11241	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ ℂ)
74	73, 34, 37	sqdivd 14123	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) / (√‘𝑆))↑2) = ((((√‘𝑇) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))↑2) / ((√‘𝑆)↑2)))
75	71	recnd 11241	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
76	42, 75	sqmuld 14122	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))↑2) = (((√‘𝑇)↑2) · (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)))
77	21	axsegconlem2 28173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑇 ∈ ℝ)
78	77	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℝ)
79	21	axsegconlem3 28174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ 𝑇)
80	79	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ 𝑇)
81		resqrtth 15201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇) → ((√‘𝑇)↑2) = 𝑇)
82	78, 80, 81	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇)↑2) = 𝑇)
83	82	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇)↑2) · (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) = (𝑇 · (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)))
84	76, 83	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))↑2) = (𝑇 · (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)))
85	12	axsegconlem2 28173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑆 ∈ ℝ)
86	12	axsegconlem3 28174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ 𝑆)
87		resqrtth 15201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) → ((√‘𝑆)↑2) = 𝑆)
88	85, 86, 87	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((√‘𝑆)↑2) = 𝑆)
89	88	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((√‘𝑆)↑2) = 𝑆)
90	89	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆)↑2) = 𝑆)
91	84, 90	oveq12d 7426	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))↑2) / ((√‘𝑆)↑2)) = ((𝑇 · (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) / 𝑆))
92	70, 74, 91	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐹‘𝑖))↑2) = ((𝑇 · (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) / 𝑆))
93	92	sumeq2dv 15648	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐹‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) / 𝑆))
94		fzfid 13937	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
95	77	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ)
96	95	recnd 11241	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑇 ∈ ℂ)
97	71	resqcld 14089	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
98	97	recnd 11241	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) ∈ ℂ)
99	94, 96, 98	fsummulc2 15729	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)))
100	99	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) / 𝑆) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) / 𝑆))
101		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝐶‘𝑝) = (𝐶‘𝑖))
102		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝐷‘𝑝) = (𝐷‘𝑖))
103	101, 102	oveq12d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → ((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝)) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))
104	103	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
105	104	cbvsumv 15641	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)
106	21, 105	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)
107		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑝))
108		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑝))
109	107, 108	oveq12d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))
110	109	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))
111	110	cbvsumv 15641	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)
112	111, 12	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = 𝑆
113	106, 112	oveq12i 7420	. . . 4 ⊢ (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) · 𝑆)
114		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)
115	114	axsegconlem2 28173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
116	115	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
117	116	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
118	95, 117	remulcld 11243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
119	118	recnd 11241	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) ∈ ℂ)
120		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)
121	120	axsegconlem2 28173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
122	121	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
123	122	recnd 11241	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ∈ ℂ)
124	85	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ)
125	124	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑆 ∈ ℝ)
126	125	recnd 11241	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑆 ∈ ℂ)
127	86	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 0 ≤ 𝑆)
128		sqrt00 15209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) → ((√‘𝑆) = 0 ↔ 𝑆 = 0))
129	128	necon3bid 2985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) → ((√‘𝑆) ≠ 0 ↔ 𝑆 ≠ 0))
130	124, 127, 129	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((√‘𝑆) ≠ 0 ↔ 𝑆 ≠ 0))
131	36, 130	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑆 ≠ 0)
132	131	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑆 ≠ 0)
133	119, 123, 126, 132	divmul3d 12023	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) / 𝑆) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ↔ (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) · 𝑆)))
134	113, 133	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) / 𝑆) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
135	78, 97	remulcld 11243	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇 · (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
136	135	recnd 11241	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇 · (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) ∈ ℂ)
137	94, 126, 136, 132	fsumdivc 15731	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) / 𝑆) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) / 𝑆))
138	100, 134, 137	3eqtr3rd 2781	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2)) / 𝑆) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
139	93, 138	eqtrd 2772	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐹‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 ‘cfv 6543 (class class class)co 7408 ℂcc 11107 ℝcr 11108 0cc0 11109 1c1 11110 + caddc 11112 · cmul 11114 ≤ cle 11248 − cmin 11443 -cneg 11444 / cdiv 11870 2c2 12266 ...cfz 13483 ↑cexp 14026 √csqrt 15179 Σcsu 15631 𝔼cee 28143

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-inf2 9635 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-1o 8465 df-er 8702 df-map 8821 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-sup 9436 df-oi 9504 df-card 9933 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-n0 12472 df-z 12558 df-uz 12822 df-rp 12974 df-ico 13329 df-fz 13484 df-fzo 13627 df-seq 13966 df-exp 14027 df-hash 14290 df-cj 15045 df-re 15046 df-im 15047 df-sqrt 15181 df-abs 15182 df-clim 15431 df-sum 15632 df-ee 28146

This theorem is referenced by: axsegcon 28182

W3C validator