MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegconlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegconlem9 28775
Description: Lemma for axsegcon 28777. Show that ๐ต๐น is congruent to ๐ถ๐ท. (Contributed by Scott Fenton, 19-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axsegconlem2.1 ๐‘† = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)
axsegconlem7.2 ๐‘‡ = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)
axsegconlem8.3 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜๐‘†)))
Assertion
Ref Expression
axsegconlem9 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘   ๐ต,๐‘   ๐ถ,๐‘   ๐ท,๐‘   ๐‘,๐‘   ๐ด,๐‘–,๐‘˜   ๐ต,๐‘–,๐‘˜   ๐ถ,๐‘–,๐‘˜   ๐ท,๐‘–,๐‘˜   ๐‘–,๐‘,๐‘˜   ๐‘†,๐‘–,๐‘˜   ๐‘‡,๐‘–,๐‘˜   ๐‘–,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘)   ๐‘‡(๐‘)   ๐น(๐‘–,๐‘˜,๐‘)

Proof of Theorem axsegconlem9
StepHypRef Expression
1 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ตโ€˜๐‘˜) = (๐ตโ€˜๐‘–))
21oveq2d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) = (((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)))
3 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ดโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ€˜๐‘–))
43oveq2d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜)) = ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)))
52, 4oveq12d 7431 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) = ((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))))
65oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜๐‘†)) = (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) / (โˆšโ€˜๐‘†)))
7 axsegconlem8.3 . . . . . . . . 9 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜๐‘†)))
8 ovex 7446 . . . . . . . . 9 (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) / (โˆšโ€˜๐‘†)) โˆˆ V
96, 7, 8fvmpt 6998 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) / (โˆšโ€˜๐‘†)))
109adantl 480 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) / (โˆšโ€˜๐‘†)))
1110oveq2d 7429 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘–)) = ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) / (โˆšโ€˜๐‘†))))
12 axsegconlem2.1 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘† = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)
1312axsegconlem4 28770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
14133adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
1514ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
16 simpl2 1189 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
17 fveere 28751 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
1816, 17sylan 578 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
1915, 18remulcld 11269 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
2019recnd 11267 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
21 axsegconlem7.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘‡ = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)
2221axsegconlem4 28770 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
23 readdcl 11216 . . . . . . . . . . . . 13 (((โˆšโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
2414, 22, 23syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
2524adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
2625, 18remulcld 11269 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
2722ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
28 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
29 fveere 28751 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
3028, 29sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
3127, 30remulcld 11269 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
3226, 31resubcld 11667 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
3332recnd 11267 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
3415recnd 11267 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
3512axsegconlem6 28772 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ 0 < (โˆšโ€˜๐‘†))
3635gt0ne0d 11803 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘†) โ‰  0)
3736ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘†) โ‰  0)
3820, 33, 34, 37divsubdird 12054 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((((โˆšโ€˜๐‘†) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)))) / (โˆšโ€˜๐‘†)) = ((((โˆšโ€˜๐‘†) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) / (โˆšโ€˜๐‘†)) โˆ’ (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) / (โˆšโ€˜๐‘†))))
3926recnd 11267 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
4031recnd 11267 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
4120, 39, 40subsubd 11624 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘†) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)))) = ((((โˆšโ€˜๐‘†) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ (((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–))) + ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))))
4227recnd 11267 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
4318renegcld 11666 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ -(๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
4443recnd 11267 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ -(๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
4530recnd 11267 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
4642, 44, 45adddid 11263 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (-(๐ตโ€˜๐‘–) + (๐ดโ€˜๐‘–))) = (((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท -(๐ตโ€˜๐‘–)) + ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))))
4744, 45addcomd 11441 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (-(๐ตโ€˜๐‘–) + (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((๐ดโ€˜๐‘–) + -(๐ตโ€˜๐‘–)))
4818recnd 11267 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
4945, 48negsubd 11602 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) + -(๐ตโ€˜๐‘–)) = ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–)))
5047, 49eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (-(๐ตโ€˜๐‘–) + (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–)))
5150oveq2d 7429 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (-(๐ตโ€˜๐‘–) + (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))))
5225recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚)
5352, 34negsubdi2d 11612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ -(((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) โˆ’ (โˆšโ€˜๐‘†)) = ((โˆšโ€˜๐‘†) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡))))
5434, 42pncan2d 11598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) โˆ’ (โˆšโ€˜๐‘†)) = (โˆšโ€˜๐‘‡))
5554negeqd 11479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ -(((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) โˆ’ (โˆšโ€˜๐‘†)) = -(โˆšโ€˜๐‘‡))
5653, 55eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡))) = -(โˆšโ€˜๐‘‡))
5756oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘†) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡))) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) = (-(โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)))
5834, 52, 48subdird 11696 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘†) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡))) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) = (((โˆšโ€˜๐‘†) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ (((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–))))
59 mulneg12 11677 . . . . . . . . . . . . 13 (((โˆšโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) = ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท -(๐ตโ€˜๐‘–)))
6042, 48, 59syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (-(โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) = ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท -(๐ตโ€˜๐‘–)))
6157, 58, 603eqtr3rd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท -(๐ตโ€˜๐‘–)) = (((โˆšโ€˜๐‘†) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ (((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–))))
6261oveq1d 7428 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท -(๐ตโ€˜๐‘–)) + ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((((โˆšโ€˜๐‘†) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ (((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–))) + ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))))
6346, 51, 623eqtr3rd 2774 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((((โˆšโ€˜๐‘†) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ (((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–))) + ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) = ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))))
6441, 63eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘†) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)))) = ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))))
6564oveq1d 7428 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((((โˆšโ€˜๐‘†) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)))) / (โˆšโ€˜๐‘†)) = (((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))) / (โˆšโ€˜๐‘†)))
6648, 34, 37divcan3d 12020 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘†) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) / (โˆšโ€˜๐‘†)) = (๐ตโ€˜๐‘–))
6766oveq1d 7428 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((((โˆšโ€˜๐‘†) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) / (โˆšโ€˜๐‘†)) โˆ’ (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) / (โˆšโ€˜๐‘†))) = ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) / (โˆšโ€˜๐‘†))))
6838, 65, 673eqtr3rd 2774 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–))) / (โˆšโ€˜๐‘†))) = (((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))) / (โˆšโ€˜๐‘†)))
6911, 68eqtrd 2765 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘–)) = (((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))) / (โˆšโ€˜๐‘†)))
7069oveq1d 7428 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ((((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))) / (โˆšโ€˜๐‘†))โ†‘2))
7130, 18resubcld 11667 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
7227, 71remulcld 11269 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
7372recnd 11267 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
7473, 34, 37sqdivd 14150 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))) / (โˆšโ€˜๐‘†))โ†‘2) = ((((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–)))โ†‘2) / ((โˆšโ€˜๐‘†)โ†‘2)))
7571recnd 11267 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
7642, 75sqmuld 14149 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–)))โ†‘2) = (((โˆšโ€˜๐‘‡)โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
7721axsegconlem2 28768 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
7877ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
7921axsegconlem3 28769 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘‡)
8079ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘‡)
81 resqrtth 15229 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘‡)โ†‘2) = ๐‘‡)
8278, 80, 81syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘‡)โ†‘2) = ๐‘‡)
8382oveq1d 7428 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘‡)โ†‘2) ยท (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) = (๐‘‡ ยท (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
8476, 83eqtrd 2765 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–)))โ†‘2) = (๐‘‡ ยท (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
8512axsegconlem2 28768 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„)
8612axsegconlem3 28769 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘†)
87 resqrtth 15229 . . . . . . . 8 ((๐‘† โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘†) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†)โ†‘2) = ๐‘†)
8885, 86, 87syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†)โ†‘2) = ๐‘†)
89883adant3 1129 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†)โ†‘2) = ๐‘†)
9089ad2antrr 724 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†)โ†‘2) = ๐‘†)
9184, 90oveq12d 7431 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–)))โ†‘2) / ((โˆšโ€˜๐‘†)โ†‘2)) = ((๐‘‡ ยท (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) / ๐‘†))
9270, 74, 913eqtrd 2769 . . 3 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ((๐‘‡ ยท (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) / ๐‘†))
9392sumeq2dv 15676 . 2 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)((๐‘‡ ยท (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) / ๐‘†))
94 fzfid 13965 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
9577adantl 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
9695recnd 11267 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
9771resqcld 14116 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„)
9897recnd 11267 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9994, 96, 98fsummulc2 15757 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘‡ ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘‡ ยท (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
10099oveq1d 7428 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘‡ ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) / ๐‘†) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘‡ ยท (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) / ๐‘†))
101 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘– โ†’ (๐ถโ€˜๐‘) = (๐ถโ€˜๐‘–))
102 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘– โ†’ (๐ทโ€˜๐‘) = (๐ทโ€˜๐‘–))
103101, 102oveq12d 7431 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘– โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘)) = ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))
104103oveq1d 7428 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘– โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2) = (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))
105104cbvsumv 15669 . . . . . 6 ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)
10621, 105eqtri 2753 . . . . 5 ๐‘‡ = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)
107 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ดโ€˜๐‘))
108 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘ โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘))
109107, 108oveq12d 7431 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–)) = ((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘)))
110109oveq1d 7428 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘ โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2) = (((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2))
111110cbvsumv 15669 . . . . . 6 ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)
112111, 12eqtr4i 2756 . . . . 5 ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ๐‘†
113106, 112oveq12i 7425 . . . 4 (๐‘‡ ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2) ยท ๐‘†)
114 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)
115114axsegconlem2 28768 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„)
1161153adant3 1129 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„)
117116adantr 479 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„)
11895, 117remulcld 11269 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘‡ ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โˆˆ โ„)
119118recnd 11267 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘‡ ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
120 eqid 2725 . . . . . . . 8 ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)
121120axsegconlem2 28768 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„)
122121adantl 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„)
123122recnd 11267 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
124853adant3 1129 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„)
125124adantr 479 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„)
126125recnd 11267 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
127863adant3 1129 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘†)
128 sqrt00 15237 . . . . . . . . 9 ((๐‘† โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘†) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†) = 0 โ†” ๐‘† = 0))
129128necon3bid 2975 . . . . . . . 8 ((๐‘† โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘†) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†) โ‰  0 โ†” ๐‘† โ‰  0))
130124, 127, 129syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†) โ‰  0 โ†” ๐‘† โ‰  0))
13136, 130mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ ๐‘† โ‰  0)
132131adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘† โ‰  0)
133119, 123, 126, 132divmul3d 12049 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (((๐‘‡ ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) / ๐‘†) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2) โ†” (๐‘‡ ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2) ยท ๐‘†)))
134113, 133mpbiri 257 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘‡ ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) / ๐‘†) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))
13578, 97remulcld 11269 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘‡ ยท (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โˆˆ โ„)
136135recnd 11267 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘‡ ยท (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
13794, 126, 136, 132fsumdivc 15759 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘‡ ยท (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) / ๐‘†) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)((๐‘‡ ยท (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) / ๐‘†))
138100, 134, 1373eqtr3rd 2774 . 2 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)((๐‘‡ ยท (((๐ดโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘–))โ†‘2)) / ๐‘†) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))
13993, 138eqtrd 2765 1 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   class class class wbr 5144   โ†ฆ cmpt 5227  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   โ‰ค cle 11274   โˆ’ cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11896  2c2 12292  ...cfz 13511  โ†‘cexp 14053  โˆšcsqrt 15207  ฮฃcsu 15659  ๐”ผcee 28738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ico 13357  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-ee 28741
This theorem is referenced by:  axsegcon  28777
  Copyright terms: Public domain W3C validator