MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegconlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegconlem9 26026
Description: Lemma for axsegcon 26028. Show that 𝐵𝐹 is congruent to 𝐶𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 19-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axsegconlem2.1 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)
axsegconlem7.2 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)
axsegconlem8.3 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑘))) / (√‘𝑆)))
Assertion
Ref Expression
axsegconlem9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐷,𝑝   𝑁,𝑝   𝐴,𝑖,𝑘   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝐷,𝑖,𝑘   𝑖,𝑁,𝑘   𝑆,𝑖,𝑘   𝑇,𝑖,𝑘   𝑖,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑝)   𝑇(𝑝)   𝐹(𝑖,𝑘,𝑝)

Proof of Theorem axsegconlem9
StepHypRef Expression
1 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
21oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑘)) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)))
3 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑖))
43oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → ((√‘𝑇) · (𝐴𝑘)) = ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖)))
52, 4oveq12d 6811 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑘))) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))))
65oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑘))) / (√‘𝑆)) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆)))
7 axsegconlem8.3 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑘))) / (√‘𝑆)))
8 ovex 6823 . . . . . . . . 9 (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆)) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6424 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐹𝑖) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆)))
109adantl 467 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑖) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆)))
1110oveq2d 6809 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) = ((𝐵𝑖) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆))))
12 axsegconlem2.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)
1312axsegconlem4 26021 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
14133adant3 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
1514ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
16 simpl2 1229 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
17 fveere 26002 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
1816, 17sylan 561 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
1915, 18remulcld 10272 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
2019recnd 10270 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
21 axsegconlem7.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)
2221axsegconlem4 26021 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℝ)
23 readdcl 10221 . . . . . . . . . . . . 13 (((√‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (√‘𝑇) ∈ ℝ) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
2414, 22, 23syl2an 575 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
2524adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
2625, 18remulcld 10272 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
2722ad2antlr 698 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℝ)
28 simpl1 1227 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
29 fveere 26002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3028, 29sylan 561 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3127, 30remulcld 10272 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
3226, 31resubcld 10660 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
3332recnd 10270 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
3415recnd 10270 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℂ)
3512axsegconlem6 26023 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → 0 < (√‘𝑆))
3635gt0ne0d 10794 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → (√‘𝑆) ≠ 0)
3736ad2antrr 697 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ≠ 0)
3820, 33, 34, 37divsubdird 11042 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖)))) / (√‘𝑆)) = ((((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) / (√‘𝑆)) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆))))
3926recnd 10270 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
4031recnd 10270 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
4120, 39, 40subsubd 10622 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖)))) = ((((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖))) + ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))))
4227recnd 10270 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℂ)
4318renegcld 10659 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → -(𝐵𝑖) ∈ ℝ)
4443recnd 10270 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → -(𝐵𝑖) ∈ ℂ)
4530recnd 10270 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
4642, 44, 45adddid 10266 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (-(𝐵𝑖) + (𝐴𝑖))) = (((√‘𝑇) · -(𝐵𝑖)) + ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))))
4744, 45addcomd 10440 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (-(𝐵𝑖) + (𝐴𝑖)) = ((𝐴𝑖) + -(𝐵𝑖)))
4818recnd 10270 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
4945, 48negsubd 10600 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) + -(𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))
5047, 49eqtrd 2805 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (-(𝐵𝑖) + (𝐴𝑖)) = ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))
5150oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (-(𝐵𝑖) + (𝐴𝑖))) = ((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))
5225recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℂ)
5352, 34negsubdi2d 10610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → -(((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = ((√‘𝑆) − ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))))
5434, 42pncan2d 10596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = (√‘𝑇))
5554negeqd 10477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → -(((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = -(√‘𝑇))
5653, 55eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) − ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = -(√‘𝑇))
5756oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) − ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐵𝑖)) = (-(√‘𝑇) · (𝐵𝑖)))
5834, 52, 48subdird 10689 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) − ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐵𝑖)) = (((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖))))
59 mulneg12 10670 . . . . . . . . . . . . 13 (((√‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) → (-(√‘𝑇) · (𝐵𝑖)) = ((√‘𝑇) · -(𝐵𝑖)))
6042, 48, 59syl2anc 565 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (-(√‘𝑇) · (𝐵𝑖)) = ((√‘𝑇) · -(𝐵𝑖)))
6157, 58, 603eqtr3rd 2814 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · -(𝐵𝑖)) = (((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖))))
6261oveq1d 6808 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · -(𝐵𝑖)) + ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) = ((((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖))) + ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))))
6346, 51, 623eqtr3rd 2814 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖))) + ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) = ((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))
6441, 63eqtrd 2805 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖)))) = ((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))
6564oveq1d 6808 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖)))) / (√‘𝑆)) = (((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) / (√‘𝑆)))
6648, 34, 37divcan3d 11008 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) / (√‘𝑆)) = (𝐵𝑖))
6766oveq1d 6808 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) / (√‘𝑆)) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆))) = ((𝐵𝑖) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆))))
6838, 65, 673eqtr3rd 2814 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆))) = (((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) / (√‘𝑆)))
6911, 68eqtrd 2805 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) = (((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) / (√‘𝑆)))
7069oveq1d 6808 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))↑2) = ((((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) / (√‘𝑆))↑2))
7130, 18resubcld 10660 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
7227, 71remulcld 10272 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ ℝ)
7372recnd 10270 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ ℂ)
7473, 34, 37sqdivd 13228 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) / (√‘𝑆))↑2) = ((((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))↑2) / ((√‘𝑆)↑2)))
7571recnd 10270 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
7642, 75sqmuld 13227 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))↑2) = (((√‘𝑇)↑2) · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)))
7721axsegconlem2 26019 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑇 ∈ ℝ)
7877ad2antlr 698 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℝ)
7921axsegconlem3 26020 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ 𝑇)
8079ad2antlr 698 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ 𝑇)
81 resqrtth 14204 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇) → ((√‘𝑇)↑2) = 𝑇)
8278, 80, 81syl2anc 565 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇)↑2) = 𝑇)
8382oveq1d 6808 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇)↑2) · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) = (𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)))
8476, 83eqtrd 2805 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))↑2) = (𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)))
8512axsegconlem2 26019 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑆 ∈ ℝ)
8612axsegconlem3 26020 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ 𝑆)
87 resqrtth 14204 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) → ((√‘𝑆)↑2) = 𝑆)
8885, 86, 87syl2anc 565 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((√‘𝑆)↑2) = 𝑆)
89883adant3 1126 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → ((√‘𝑆)↑2) = 𝑆)
9089ad2antrr 697 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆)↑2) = 𝑆)
9184, 90oveq12d 6811 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))↑2) / ((√‘𝑆)↑2)) = ((𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆))
9270, 74, 913eqtrd 2809 . . 3 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))↑2) = ((𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆))
9392sumeq2dv 14641 . 2 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆))
94 fzfid 12980 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
9577adantl 467 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ)
9695recnd 10270 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑇 ∈ ℂ)
9771resqcld 13242 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) ∈ ℝ)
9897recnd 10270 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) ∈ ℂ)
9994, 96, 98fsummulc2 14723 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)))
10099oveq1d 6808 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆))
101 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑖 → (𝐶𝑝) = (𝐶𝑖))
102 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑖 → (𝐷𝑝) = (𝐷𝑖))
103101, 102oveq12d 6811 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑖 → ((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝)) = ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))
104103oveq1d 6808 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑖 → (((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2) = (((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
105104cbvsumv 14634 . . . . . 6 Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)
10621, 105eqtri 2793 . . . . 5 𝑇 = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)
107 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑝 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑝))
108 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑝 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑝))
109107, 108oveq12d 6811 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)))
110109oveq1d 6808 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑝 → (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))
111110cbvsumv 14634 . . . . . 6 Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)
112111, 12eqtr4i 2796 . . . . 5 Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = 𝑆
113106, 112oveq12i 6805 . . . 4 (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) · 𝑆)
114 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)
115114axsegconlem2 26019 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) ∈ ℝ)
1161153adant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) ∈ ℝ)
117116adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) ∈ ℝ)
11895, 117remulcld 10272 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
119118recnd 10270 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) ∈ ℂ)
120 eqid 2771 . . . . . . . 8 Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)
121120axsegconlem2 26019 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ∈ ℝ)
122121adantl 467 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ∈ ℝ)
123122recnd 10270 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ∈ ℂ)
124853adant3 1126 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ)
125124adantr 466 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑆 ∈ ℝ)
126125recnd 10270 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑆 ∈ ℂ)
127863adant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → 0 ≤ 𝑆)
128 sqrt00 14212 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) → ((√‘𝑆) = 0 ↔ 𝑆 = 0))
129128necon3bid 2987 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) → ((√‘𝑆) ≠ 0 ↔ 𝑆 ≠ 0))
130124, 127, 129syl2anc 565 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → ((√‘𝑆) ≠ 0 ↔ 𝑆 ≠ 0))
13136, 130mpbid 222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑆 ≠ 0)
132131adantr 466 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑆 ≠ 0)
133119, 123, 126, 132divmul3d 11037 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ↔ (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) · 𝑆)))
134113, 133mpbiri 248 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
13578, 97remulcld 10272 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
136135recnd 10270 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) ∈ ℂ)
13794, 126, 136, 132fsumdivc 14725 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆))
138100, 134, 1373eqtr3rd 2814 . 2 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
13993, 138eqtrd 2805 1 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  cle 10277  cmin 10468  -cneg 10469   / cdiv 10886  2c2 11272  ...cfz 12533  cexp 13067  csqrt 14181  Σcsu 14624  𝔼cee 25989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-ee 25992
This theorem is referenced by:  axsegcon  26028
  Copyright terms: Public domain W3C validator