MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegconlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegconlem9 28954
Description: Lemma for axsegcon 28956. Show that 𝐵𝐹 is congruent to 𝐶𝐷. (Contributed by Scott Fenton, 19-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axsegconlem2.1 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)
axsegconlem7.2 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)
axsegconlem8.3 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑘))) / (√‘𝑆)))
Assertion
Ref Expression
axsegconlem9 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐷,𝑝   𝑁,𝑝   𝐴,𝑖,𝑘   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝐷,𝑖,𝑘   𝑖,𝑁,𝑘   𝑆,𝑖,𝑘   𝑇,𝑖,𝑘   𝑖,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑝)   𝑇(𝑝)   𝐹(𝑖,𝑘,𝑝)

Proof of Theorem axsegconlem9
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
21oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑘)) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)))
3 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑖))
43oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → ((√‘𝑇) · (𝐴𝑘)) = ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖)))
52, 4oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑘))) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))))
65oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑘))) / (√‘𝑆)) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆)))
7 axsegconlem8.3 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑘))) / (√‘𝑆)))
8 ovex 7463 . . . . . . . . 9 (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆)) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 7015 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐹𝑖) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆)))
109adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑖) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆)))
1110oveq2d 7446 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) = ((𝐵𝑖) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆))))
12 axsegconlem2.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)
1312axsegconlem4 28949 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
14133adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
1514ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
16 simpl2 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
17 fveere 28930 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
1816, 17sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
1915, 18remulcld 11288 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
2019recnd 11286 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
21 axsegconlem7.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2)
2221axsegconlem4 28949 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℝ)
23 readdcl 11235 . . . . . . . . . . . . 13 (((√‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (√‘𝑇) ∈ ℝ) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
2414, 22, 23syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
2625, 18remulcld 11288 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
2722ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℝ)
28 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
29 fveere 28930 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3028, 29sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3127, 30remulcld 11288 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
3226, 31resubcld 11688 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) ∈ ℝ)
3332recnd 11286 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
3415recnd 11286 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℂ)
3512axsegconlem6 28951 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → 0 < (√‘𝑆))
3635gt0ne0d 11824 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → (√‘𝑆) ≠ 0)
3736ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ≠ 0)
3820, 33, 34, 37divsubdird 12079 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖)))) / (√‘𝑆)) = ((((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) / (√‘𝑆)) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆))))
3926recnd 11286 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
4031recnd 11286 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
4120, 39, 40subsubd 11645 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖)))) = ((((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖))) + ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))))
4227recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℂ)
4318renegcld 11687 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → -(𝐵𝑖) ∈ ℝ)
4443recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → -(𝐵𝑖) ∈ ℂ)
4530recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
4642, 44, 45adddid 11282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (-(𝐵𝑖) + (𝐴𝑖))) = (((√‘𝑇) · -(𝐵𝑖)) + ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))))
4744, 45addcomd 11460 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (-(𝐵𝑖) + (𝐴𝑖)) = ((𝐴𝑖) + -(𝐵𝑖)))
4818recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
4945, 48negsubd 11623 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) + -(𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))
5047, 49eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (-(𝐵𝑖) + (𝐴𝑖)) = ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))
5150oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (-(𝐵𝑖) + (𝐴𝑖))) = ((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))
5225recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℂ)
5352, 34negsubdi2d 11633 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → -(((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = ((√‘𝑆) − ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))))
5434, 42pncan2d 11619 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = (√‘𝑇))
5554negeqd 11499 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → -(((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = -(√‘𝑇))
5653, 55eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) − ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = -(√‘𝑇))
5756oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) − ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐵𝑖)) = (-(√‘𝑇) · (𝐵𝑖)))
5834, 52, 48subdird 11717 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) − ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐵𝑖)) = (((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖))))
59 mulneg12 11698 . . . . . . . . . . . . 13 (((√‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) → (-(√‘𝑇) · (𝐵𝑖)) = ((√‘𝑇) · -(𝐵𝑖)))
6042, 48, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (-(√‘𝑇) · (𝐵𝑖)) = ((√‘𝑇) · -(𝐵𝑖)))
6157, 58, 603eqtr3rd 2783 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · -(𝐵𝑖)) = (((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖))))
6261oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · -(𝐵𝑖)) + ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) = ((((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖))) + ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))))
6346, 51, 623eqtr3rd 2783 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖))) + ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) = ((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))
6441, 63eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖)))) = ((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))
6564oveq1d 7445 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) − ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖)))) / (√‘𝑆)) = (((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) / (√‘𝑆)))
6648, 34, 37divcan3d 12045 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) / (√‘𝑆)) = (𝐵𝑖))
6766oveq1d 7445 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) · (𝐵𝑖)) / (√‘𝑆)) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆))) = ((𝐵𝑖) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆))))
6838, 65, 673eqtr3rd 2783 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) − (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴𝑖))) / (√‘𝑆))) = (((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) / (√‘𝑆)))
6911, 68eqtrd 2774 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖)) = (((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) / (√‘𝑆)))
7069oveq1d 7445 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))↑2) = ((((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) / (√‘𝑆))↑2))
7130, 18resubcld 11688 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
7227, 71remulcld 11288 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ ℝ)
7372recnd 11286 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ ℂ)
7473, 34, 37sqdivd 14195 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) / (√‘𝑆))↑2) = ((((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))↑2) / ((√‘𝑆)↑2)))
7571recnd 11286 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
7642, 75sqmuld 14194 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))↑2) = (((√‘𝑇)↑2) · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)))
7721axsegconlem2 28947 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑇 ∈ ℝ)
7877ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℝ)
7921axsegconlem3 28948 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ 𝑇)
8079ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ 𝑇)
81 resqrtth 15290 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇) → ((√‘𝑇)↑2) = 𝑇)
8278, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇)↑2) = 𝑇)
8382oveq1d 7445 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇)↑2) · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) = (𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)))
8476, 83eqtrd 2774 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))↑2) = (𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)))
8512axsegconlem2 28947 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑆 ∈ ℝ)
8612axsegconlem3 28948 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ 𝑆)
87 resqrtth 15290 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) → ((√‘𝑆)↑2) = 𝑆)
8885, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((√‘𝑆)↑2) = 𝑆)
89883adant3 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → ((√‘𝑆)↑2) = 𝑆)
9089ad2antrr 726 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆)↑2) = 𝑆)
9184, 90oveq12d 7448 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))↑2) / ((√‘𝑆)↑2)) = ((𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆))
9270, 74, 913eqtrd 2778 . . 3 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))↑2) = ((𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆))
9392sumeq2dv 15734 . 2 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆))
94 fzfid 14010 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
9577adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ)
9695recnd 11286 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑇 ∈ ℂ)
9771resqcld 14161 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) ∈ ℝ)
9897recnd 11286 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) ∈ ℂ)
9994, 96, 98fsummulc2 15816 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)))
10099oveq1d 7445 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆))
101 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑖 → (𝐶𝑝) = (𝐶𝑖))
102 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑖 → (𝐷𝑝) = (𝐷𝑖))
103101, 102oveq12d 7448 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑖 → ((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝)) = ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))
104103oveq1d 7445 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑖 → (((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2) = (((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
105104cbvsumv 15728 . . . . . 6 Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑝) − (𝐷𝑝))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)
10621, 105eqtri 2762 . . . . 5 𝑇 = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)
107 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑝 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑝))
108 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑝 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑝))
109107, 108oveq12d 7448 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑝 → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝)))
110109oveq1d 7445 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑝 → (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = (((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2))
111110cbvsumv 15728 . . . . . 6 Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑝) − (𝐵𝑝))↑2)
112111, 12eqtr4i 2765 . . . . 5 Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = 𝑆
113106, 112oveq12i 7442 . . . 4 (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) · 𝑆)
114 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)
115114axsegconlem2 28947 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) ∈ ℝ)
1161153adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) ∈ ℝ)
117116adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) ∈ ℝ)
11895, 117remulcld 11288 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
119118recnd 11286 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) ∈ ℂ)
120 eqid 2734 . . . . . . . 8 Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)
121120axsegconlem2 28947 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ∈ ℝ)
122121adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ∈ ℝ)
123122recnd 11286 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ∈ ℂ)
124853adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ)
125124adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑆 ∈ ℝ)
126125recnd 11286 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑆 ∈ ℂ)
127863adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → 0 ≤ 𝑆)
128 sqrt00 15298 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) → ((√‘𝑆) = 0 ↔ 𝑆 = 0))
129128necon3bid 2982 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) → ((√‘𝑆) ≠ 0 ↔ 𝑆 ≠ 0))
130124, 127, 129syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → ((√‘𝑆) ≠ 0 ↔ 𝑆 ≠ 0))
13136, 130mpbid 232 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑆 ≠ 0)
132131adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑆 ≠ 0)
133119, 123, 126, 132divmul3d 12074 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ↔ (𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) · 𝑆)))
134113, 133mpbiri 258 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑇 · Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
13578, 97remulcld 11288 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
136135recnd 11286 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) ∈ ℂ)
13794, 126, 136, 132fsumdivc 15818 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆))
138100, 134, 1373eqtr3rd 2783 . 2 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑇 · (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2)) / 𝑆) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
13993, 138eqtrd 2774 1 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐹𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  2c2 12318  ...cfz 13543  cexp 14098  csqrt 15268  Σcsu 15718  𝔼cee 28917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-ee 28920
This theorem is referenced by:  axsegcon  28956
  Copyright terms: Public domain W3C validator