Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnprod 45219
Description: The multinomial formula for the 𝑁-th derivative of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnprod.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvnprod.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
dvnprod.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Fin)
dvnprod.h ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
dvnprod.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
dvnprod.dvnh ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚)
dvnprod.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯))
dvnprod.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
dvnprod (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑐   𝐻,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   π‘˜,𝐻,𝑛,𝑑,π‘₯   𝑁,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   π‘˜,𝑁   𝑆,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝑆,π‘˜   𝑇,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝑇,π‘˜   π‘˜,𝑋,𝑛,𝑑,π‘₯   πœ‘,π‘˜,𝑛,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑐)   𝐢(π‘₯,𝑑,π‘˜,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑑,π‘˜,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem dvnprod
Dummy variables 𝑒 𝑠 π‘Ÿ 𝑑 π‘š 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvnprod.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 dvnprod.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
3 dvnprod.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Fin)
4 dvnprod.h . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
5 dvnprod.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 dvnprod.dvnh . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚)
7 dvnprod.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯))
8 fveq2 6884 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑑 β†’ (π‘‘β€˜π‘’) = (π‘‘β€˜π‘‘))
98cbvsumv 15645 . . . . . . . . . 10 Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘‘)
109eqeq1i 2731 . . . . . . . . 9 (Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = π‘š ↔ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘‘) = π‘š)
1110rabbii 3432 . . . . . . . 8 {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = π‘š} = {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘‘) = π‘š}
12 fveq1 6883 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑒 β†’ (π‘‘β€˜π‘‘) = (π‘’β€˜π‘‘))
1312sumeq2sdv 15653 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑒 β†’ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘‘) = Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘))
1413eqeq1d 2728 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑒 β†’ (Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘‘) = π‘š ↔ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š))
1514cbvrabv 3436 . . . . . . . 8 {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘‘) = π‘š} = {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š}
1611, 15eqtri 2754 . . . . . . 7 {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = π‘š} = {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š}
1716mpteq2i 5246 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = π‘š}) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š})
18 eqeq2 2738 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š ↔ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛))
1918rabbidv 3434 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š} = {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
20 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (0...π‘š) = (0...𝑛))
2120oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) = ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ))
22 rabeq 3440 . . . . . . . . 9 (((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) = ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) β†’ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
2419, 23eqtrd 2766 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
2524cbvmptv 5254 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
2617, 25eqtri 2754 . . . . 5 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = π‘š}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
2726mpteq2i 5246 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = π‘š})) = (π‘Ÿ ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛}))
28 sumeq1 15638 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘))
2928eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛 ↔ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛))
3029rabbidv 3434 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
31 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) = ((0...𝑛) ↑m 𝑠))
32 rabeq 3440 . . . . . . . 8 (((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) = ((0...𝑛) ↑m 𝑠) β†’ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
3430, 33eqtrd 2766 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
3534mpteq2dv 5243 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛}))
3635cbvmptv 5254 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛}))
3727, 36eqtri 2754 . . 3 (π‘Ÿ ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = π‘š})) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛}))
38 dvnprod.c . . . 4 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
39 fveq1 6883 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑒 β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (π‘’β€˜π‘‘))
4039sumeq2sdv 15653 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑒 β†’ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘β€˜π‘‘) = Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘’β€˜π‘‘))
4140eqeq1d 2728 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑒 β†’ (Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛 ↔ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛))
4241cbvrabv 3436 . . . . 5 {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛}
4342mpteq2i 5246 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
4438, 43eqtri 2754 . . 3 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 37, 44dvnprodlem3 45218 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
46 fveq1 6883 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑐 β†’ (π‘’β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
4746fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑐 β†’ (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘)) = (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
4847prodeq2ad 44862 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑐 β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘)) = βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
4948oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑐 β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘))) = ((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))))
5046fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑐 β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘)) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
5150fveq1d 6886 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑐 β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
5251prodeq2ad 44862 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑐 β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) = βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
5349, 52oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑐 β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = (((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
5453cbvsumv 15645 . . . . 5 Σ𝑒 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
55 eqid 2726 . . . . 5 Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
5654, 55eqtri 2754 . . . 4 Σ𝑒 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
5756mpteq2i 5246 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
5857a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
5945, 58eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  π’« cpw 4597  {cpr 4625   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   Β· cmul 11114   / cdiv 11872  β„•0cn0 12473  ...cfz 13487  !cfa 14235  Ξ£csu 15635  βˆcprod 15852   β†Ύt crest 17372  TopOpenctopn 17373  β„‚fldccnfld 21235   D𝑛 cdvn 25743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-prod 15853  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-dvn 25747
This theorem is referenced by:  etransclem29  45533
  Copyright terms: Public domain W3C validator