Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnprod 45905
Description: The multinomial formula for the 𝑁-th derivative of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnprod.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnprod.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnprod.t (𝜑𝑇 ∈ Fin)
dvnprod.h ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡):𝑋⟶ℂ)
dvnprod.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dvnprod.dvnh ((𝜑𝑡𝑇𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
dvnprod.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑡𝑇 ((𝐻𝑡)‘𝑥))
dvnprod.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
dvnprod (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐   𝐻,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑘,𝐻,𝑛,𝑡,𝑥   𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑘,𝑁   𝑆,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑆,𝑘   𝑇,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑇,𝑘   𝑘,𝑋,𝑛,𝑡,𝑥   𝜑,𝑘,𝑛,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑘,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem dvnprod
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑟 𝑑 𝑚 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvnprod.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvnprod.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3 dvnprod.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Fin)
4 dvnprod.h . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡):𝑋⟶ℂ)
5 dvnprod.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 dvnprod.dvnh . . 3 ((𝜑𝑡𝑇𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
7 dvnprod.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑡𝑇 ((𝐻𝑡)‘𝑥))
8 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑡 → (𝑑𝑢) = (𝑑𝑡))
98cbvsumv 15729 . . . . . . . . . 10 Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡)
109eqeq1i 2740 . . . . . . . . 9 𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚 ↔ Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚)
1110rabbii 3439 . . . . . . . 8 {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚} = {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚}
12 fveq1 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑒 → (𝑑𝑡) = (𝑒𝑡))
1312sumeq2sdv 15736 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑒 → Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡))
1413eqeq1d 2737 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑒 → (Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚 ↔ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚))
1514cbvrabv 3444 . . . . . . . 8 {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚}
1611, 15eqtri 2763 . . . . . . 7 {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚}
1716mpteq2i 5253 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚})
18 eqeq2 2747 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚 ↔ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛))
1918rabbidv 3441 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
20 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
2120oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((0...𝑚) ↑m 𝑟) = ((0...𝑛) ↑m 𝑟))
22 rabeq 3448 . . . . . . . . 9 (((0...𝑚) ↑m 𝑟) = ((0...𝑛) ↑m 𝑟) → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2419, 23eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2524cbvmptv 5261 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2617, 25eqtri 2763 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2726mpteq2i 5253 . . . 4 (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚})) = (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
28 sumeq1 15722 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑠 → Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡))
2928eqeq1d 2737 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑠 → (Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛 ↔ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛))
3029rabbidv 3441 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
31 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑠 → ((0...𝑛) ↑m 𝑟) = ((0...𝑛) ↑m 𝑠))
32 rabeq 3448 . . . . . . . 8 (((0...𝑛) ↑m 𝑟) = ((0...𝑛) ↑m 𝑠) → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
3430, 33eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
3534mpteq2dv 5250 . . . . 5 (𝑟 = 𝑠 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
3635cbvmptv 5261 . . . 4 (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
3727, 36eqtri 2763 . . 3 (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚})) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
38 dvnprod.c . . . 4 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛})
39 fveq1 6906 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑒 → (𝑐𝑡) = (𝑒𝑡))
4039sumeq2sdv 15736 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑒 → Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡))
4140eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑒 → (Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛 ↔ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛))
4241cbvrabv 3444 . . . . 5 {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛}
4342mpteq2i 5253 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛})
4438, 43eqtri 2763 . . 3 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛})
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 37, 44dvnprodlem3 45904 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥))))
46 fveq1 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑐 → (𝑒𝑡) = (𝑐𝑡))
4746fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑐 → (!‘(𝑒𝑡)) = (!‘(𝑐𝑡)))
4847prodeq2ad 45548 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑐 → ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡)) = ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡)))
4948oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑐 → ((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) = ((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))))
5046fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑐 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡)) = ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡)))
5150fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑐 → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5251prodeq2ad 45548 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑐 → ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥) = ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5349, 52oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑐 → (((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥)) = (((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥)))
5453cbvsumv 15729 . . . . 5 Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
55 eqid 2735 . . . . 5 Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5654, 55eqtri 2763 . . . 4 Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5756mpteq2i 5253 . . 3 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥)))
5857a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))))
5945, 58eqtrd 2775 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  𝒫 cpw 4605  {cpr 4633  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158   / cdiv 11918  0cn0 12524  ...cfz 13544  !cfa 14309  Σcsu 15719  cprod 15936  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382   D𝑛 cdvn 25914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-prod 15937  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-dvn 25918
This theorem is referenced by:  etransclem29  46219
  Copyright terms: Public domain W3C validator