Theorem dvnprod 45870

Description: The multinomial formula for the 𝑁-th derivative of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvnprod.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnprod.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnprod.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Fin)
dvnprod.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡):𝑋⟶ℂ)
dvnprod.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dvnprod.dvnh	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
dvnprod.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑡 ∈ 𝑇 ((𝐻‘𝑡)‘𝑥))
dvnprod.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑇 (𝑐‘𝑡) = 𝑛})

Assertion

Ref	Expression
dvnprod	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑐‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑐‘𝑡))‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑐   𝐻,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑘,𝐻,𝑛,𝑡,𝑥   𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑘,𝑁   𝑆,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑆,𝑘   𝑇,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑇,𝑘   𝑘,𝑋,𝑛,𝑡,𝑥   𝜑,𝑘,𝑛,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑘,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem dvnprod

Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑟 𝑑 𝑚 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvnprod.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvnprod.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3		dvnprod.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Fin)
4		dvnprod.h	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡):𝑋⟶ℂ)
5		dvnprod.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		dvnprod.dvnh	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
7		dvnprod.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑡 ∈ 𝑇 ((𝐻‘𝑡)‘𝑥))
8		fveq2 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑑‘𝑢) = (𝑑‘𝑡))
9	8	cbvsumv 15744	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑢 ∈ 𝑟 (𝑑‘𝑢) = Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑑‘𝑡)
10	9	eqeq1i 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (Σ𝑢 ∈ 𝑟 (𝑑‘𝑢) = 𝑚 ↔ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑑‘𝑡) = 𝑚)
11	10	rabbii 3449	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢 ∈ 𝑟 (𝑑‘𝑢) = 𝑚} = {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑑‘𝑡) = 𝑚}
12		fveq1 6919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (𝑑‘𝑡) = (𝑒‘𝑡))
13	12	sumeq2sdv 15751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑑‘𝑡) = Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡))
14	13	eqeq1d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑑‘𝑡) = 𝑚 ↔ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑚))
15	14	cbvrabv 3454	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑑‘𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑚}
16	11, 15	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢 ∈ 𝑟 (𝑑‘𝑢) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑚}
17	16	mpteq2i 5271	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢 ∈ 𝑟 (𝑑‘𝑢) = 𝑚}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑚})
18		eqeq2 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑚 ↔ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛))
19	18	rabbidv 3451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛})
20		oveq2 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
21	20	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((0...𝑚) ↑m 𝑟) = ((0...𝑛) ↑m 𝑟))
22		rabeq 3458	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0...𝑚) ↑m 𝑟) = ((0...𝑛) ↑m 𝑟) → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛})
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛})
24	19, 23	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛})
25	24	cbvmptv 5279	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛})
26	17, 25	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢 ∈ 𝑟 (𝑑‘𝑢) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛})
27	26	mpteq2i 5271	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢 ∈ 𝑟 (𝑑‘𝑢) = 𝑚})) = (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛}))
28		sumeq1 15737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = Σ𝑡 ∈ 𝑠 (𝑒‘𝑡))
29	28	eqeq1d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛 ↔ Σ𝑡 ∈ 𝑠 (𝑒‘𝑡) = 𝑛))
30	29	rabbidv 3451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑠 (𝑒‘𝑡) = 𝑛})
31		oveq2 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((0...𝑛) ↑m 𝑟) = ((0...𝑛) ↑m 𝑠))
32		rabeq 3458	. . . . . . . 8 ⊢ (((0...𝑛) ↑m 𝑟) = ((0...𝑛) ↑m 𝑠) → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑠 (𝑒‘𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑠 (𝑒‘𝑡) = 𝑛})
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑠 (𝑒‘𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑠 (𝑒‘𝑡) = 𝑛})
34	30, 33	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑠 (𝑒‘𝑡) = 𝑛})
35	34	mpteq2dv 5268	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑠 (𝑒‘𝑡) = 𝑛}))
36	35	cbvmptv 5279	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑟 (𝑒‘𝑡) = 𝑛})) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑠 (𝑒‘𝑡) = 𝑛}))
37	27, 36	eqtri 2768	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢 ∈ 𝑟 (𝑑‘𝑢) = 𝑚})) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑠 (𝑒‘𝑡) = 𝑛}))
38		dvnprod.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑇 (𝑐‘𝑡) = 𝑛})
39		fveq1 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑒 → (𝑐‘𝑡) = (𝑒‘𝑡))
40	39	sumeq2sdv 15751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑒 → Σ𝑡 ∈ 𝑇 (𝑐‘𝑡) = Σ𝑡 ∈ 𝑇 (𝑒‘𝑡))
41	40	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑒 → (Σ𝑡 ∈ 𝑇 (𝑐‘𝑡) = 𝑛 ↔ Σ𝑡 ∈ 𝑇 (𝑒‘𝑡) = 𝑛))
42	41	cbvrabv 3454	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑇 (𝑐‘𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑇 (𝑒‘𝑡) = 𝑛}
43	42	mpteq2i 5271	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑇 (𝑐‘𝑡) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑇 (𝑒‘𝑡) = 𝑛})
44	38, 43	eqtri 2768	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡 ∈ 𝑇 (𝑒‘𝑡) = 𝑛})
45	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 37, 44	dvnprodlem3 45869	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑒‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑒‘𝑡))‘𝑥))))
46		fveq1 6919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (𝑒‘𝑡) = (𝑐‘𝑡))
47	46	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (!‘(𝑒‘𝑡)) = (!‘(𝑐‘𝑡)))
48	47	prodeq2ad 45513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑒‘𝑡)) = ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑐‘𝑡)))
49	48	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → ((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑒‘𝑡))) = ((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑐‘𝑡))))
50	46	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑒‘𝑡)) = ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑐‘𝑡)))
51	50	fveq1d 6922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑒‘𝑡))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑐‘𝑡))‘𝑥))
52	51	prodeq2ad 45513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑒‘𝑡))‘𝑥) = ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑐‘𝑡))‘𝑥))
53	49, 52	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑒‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑒‘𝑡))‘𝑥)) = (((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑐‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑐‘𝑡))‘𝑥)))
54	53	cbvsumv 15744	. . . . 5 ⊢ Σ𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑒‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑒‘𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑐‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑐‘𝑡))‘𝑥))
55		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑐‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑐‘𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑐‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑐‘𝑡))‘𝑥))
56	54, 55	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ Σ𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑒‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑒‘𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑐‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑐‘𝑡))‘𝑥))
57	56	mpteq2i 5271	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑒‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑒‘𝑡))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑐‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑐‘𝑡))‘𝑥)))
58	57	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑒‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑒‘𝑡))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑐‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑐‘𝑡))‘𝑥))))
59	45, 58	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡 ∈ 𝑇 (!‘(𝑐‘𝑡))) · ∏𝑡 ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝑡))‘(𝑐‘𝑡))‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  𝒫 cpw 4622  {cpr 4650   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   · cmul 11189   / cdiv 11947  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13567  !cfa 14322  Σcsu 15734  ∏cprod 15951   ↾_t crest 17480  TopOpenctopn 17481  ℂ_fldccnfld 21387   D^𝑛 cdvn 25919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-prod 15952  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-dvn 25923

This theorem is referenced by:  etransclem29  46184