Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnprod 45366
Description: The multinomial formula for the 𝑁-th derivative of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnprod.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvnprod.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
dvnprod.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Fin)
dvnprod.h ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
dvnprod.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
dvnprod.dvnh ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚)
dvnprod.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯))
dvnprod.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
dvnprod (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑐   𝐻,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   π‘˜,𝐻,𝑛,𝑑,π‘₯   𝑁,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   π‘˜,𝑁   𝑆,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝑆,π‘˜   𝑇,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝑇,π‘˜   π‘˜,𝑋,𝑛,𝑑,π‘₯   πœ‘,π‘˜,𝑛,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑐)   𝐢(π‘₯,𝑑,π‘˜,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑑,π‘˜,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem dvnprod
Dummy variables 𝑒 𝑠 π‘Ÿ 𝑑 π‘š 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvnprod.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 dvnprod.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
3 dvnprod.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Fin)
4 dvnprod.h . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
5 dvnprod.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 dvnprod.dvnh . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚)
7 dvnprod.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯))
8 fveq2 6902 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑑 β†’ (π‘‘β€˜π‘’) = (π‘‘β€˜π‘‘))
98cbvsumv 15682 . . . . . . . . . 10 Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘‘)
109eqeq1i 2733 . . . . . . . . 9 (Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = π‘š ↔ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘‘) = π‘š)
1110rabbii 3436 . . . . . . . 8 {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = π‘š} = {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘‘) = π‘š}
12 fveq1 6901 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑒 β†’ (π‘‘β€˜π‘‘) = (π‘’β€˜π‘‘))
1312sumeq2sdv 15690 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑒 β†’ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘‘) = Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘))
1413eqeq1d 2730 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑒 β†’ (Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘‘) = π‘š ↔ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š))
1514cbvrabv 3441 . . . . . . . 8 {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘‘) = π‘š} = {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š}
1611, 15eqtri 2756 . . . . . . 7 {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = π‘š} = {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š}
1716mpteq2i 5257 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = π‘š}) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š})
18 eqeq2 2740 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š ↔ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛))
1918rabbidv 3438 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š} = {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
20 oveq2 7434 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (0...π‘š) = (0...𝑛))
2120oveq1d 7441 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) = ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ))
22 rabeq 3445 . . . . . . . . 9 (((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) = ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) β†’ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
2419, 23eqtrd 2768 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
2524cbvmptv 5265 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = π‘š}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
2617, 25eqtri 2756 . . . . 5 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = π‘š}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
2726mpteq2i 5257 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = π‘š})) = (π‘Ÿ ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛}))
28 sumeq1 15675 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘))
2928eqeq1d 2730 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛 ↔ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛))
3029rabbidv 3438 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
31 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) = ((0...𝑛) ↑m 𝑠))
32 rabeq 3445 . . . . . . . 8 (((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) = ((0...𝑛) ↑m 𝑠) β†’ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
3430, 33eqtrd 2768 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
3534mpteq2dv 5254 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛}))
3635cbvmptv 5265 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑑 ∈ π‘Ÿ (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛}))
3727, 36eqtri 2756 . . 3 (π‘Ÿ ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m π‘Ÿ) ∣ Σ𝑒 ∈ π‘Ÿ (π‘‘β€˜π‘’) = π‘š})) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛}))
38 dvnprod.c . . . 4 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
39 fveq1 6901 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑒 β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (π‘’β€˜π‘‘))
4039sumeq2sdv 15690 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑒 β†’ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘β€˜π‘‘) = Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘’β€˜π‘‘))
4140eqeq1d 2730 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑒 β†’ (Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛 ↔ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛))
4241cbvrabv 3441 . . . . 5 {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛}
4342mpteq2i 5257 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
4438, 43eqtri 2756 . . 3 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑇 (π‘’β€˜π‘‘) = 𝑛})
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 37, 44dvnprodlem3 45365 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
46 fveq1 6901 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑐 β†’ (π‘’β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
4746fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑐 β†’ (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘)) = (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
4847prodeq2ad 45009 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑐 β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘)) = βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
4948oveq2d 7442 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑐 β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘))) = ((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))))
5046fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑐 β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘)) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
5150fveq1d 6904 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑐 β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
5251prodeq2ad 45009 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑐 β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) = βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
5349, 52oveq12d 7444 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑐 β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = (((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
5453cbvsumv 15682 . . . . 5 Σ𝑒 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
55 eqid 2728 . . . . 5 Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
5654, 55eqtri 2756 . . . 4 Σ𝑒 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
5756mpteq2i 5257 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
5857a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘’β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘’β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
5945, 58eqtrd 2768 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑇 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  π’« cpw 4606  {cpr 4634   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146   Β· cmul 11151   / cdiv 11909  β„•0cn0 12510  ...cfz 13524  !cfa 14272  Ξ£csu 15672  βˆcprod 15889   β†Ύt crest 17409  TopOpenctopn 17410  β„‚fldccnfld 21286   D𝑛 cdvn 25813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-prod 15890  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-dvn 25817
This theorem is referenced by:  etransclem29  45680
  Copyright terms: Public domain W3C validator