Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnprod 40959
Description: The multinomial formula for the 𝑁-th derivative of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnprod.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnprod.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnprod.t (𝜑𝑇 ∈ Fin)
dvnprod.h ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡):𝑋⟶ℂ)
dvnprod.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dvnprod.dvnh ((𝜑𝑡𝑇𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
dvnprod.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑡𝑇 ((𝐻𝑡)‘𝑥))
dvnprod.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
dvnprod (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐   𝐻,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑘,𝐻,𝑛,𝑡,𝑥   𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑘,𝑁   𝑆,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑆,𝑘   𝑇,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑇,𝑘   𝑘,𝑋,𝑛,𝑡,𝑥   𝜑,𝑘,𝑛,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑘,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem dvnprod
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑟 𝑑 𝑚 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvnprod.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvnprod.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3 dvnprod.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Fin)
4 dvnprod.h . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡):𝑋⟶ℂ)
5 dvnprod.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 dvnprod.dvnh . . 3 ((𝜑𝑡𝑇𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
7 dvnprod.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑡𝑇 ((𝐻𝑡)‘𝑥))
8 fveq2 6433 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑡 → (𝑑𝑢) = (𝑑𝑡))
98cbvsumv 14803 . . . . . . . . . 10 Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡)
109eqeq1i 2830 . . . . . . . . 9 𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚 ↔ Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚)
1110rabbii 3398 . . . . . . . 8 {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚} = {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚}
12 fveq1 6432 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑒 → (𝑑𝑡) = (𝑒𝑡))
1312sumeq2ad 14811 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑒 → Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡))
1413eqeq1d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑒 → (Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚 ↔ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚))
1514cbvrabv 3412 . . . . . . . 8 {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚}
1611, 15eqtri 2849 . . . . . . 7 {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚}
1716mpteq2i 4964 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚})
18 eqeq2 2836 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚 ↔ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛))
1918rabbidv 3402 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
20 oveq2 6913 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
2120oveq1d 6920 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) = ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟))
22 rabeq 3405 . . . . . . . . 9 (((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) = ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2419, 23eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2524cbvmptv 4973 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2617, 25eqtri 2849 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2726mpteq2i 4964 . . . 4 (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚})) = (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
28 sumeq1 14796 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑠 → Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡))
2928eqeq1d 2827 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑠 → (Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛 ↔ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛))
3029rabbidv 3402 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
31 oveq2 6913 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑠 → ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) = ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠))
32 rabeq 3405 . . . . . . . 8 (((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) = ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠) → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
3430, 33eqtrd 2861 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
3534mpteq2dv 4968 . . . . 5 (𝑟 = 𝑠 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
3635cbvmptv 4973 . . . 4 (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
3727, 36eqtri 2849 . . 3 (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚})) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
38 dvnprod.c . . . 4 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛})
39 fveq1 6432 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑒 → (𝑐𝑡) = (𝑒𝑡))
4039sumeq2ad 14811 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑒 → Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡))
4140eqeq1d 2827 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑒 → (Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛 ↔ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛))
4241cbvrabv 3412 . . . . 5 {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛}
4342mpteq2i 4964 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛})
4438, 43eqtri 2849 . . 3 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛})
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 37, 44dvnprodlem3 40958 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥))))
46 fveq1 6432 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑐 → (𝑒𝑡) = (𝑐𝑡))
4746fveq2d 6437 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑐 → (!‘(𝑒𝑡)) = (!‘(𝑐𝑡)))
4847prodeq2ad 40619 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑐 → ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡)) = ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡)))
4948oveq2d 6921 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑐 → ((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) = ((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))))
5046fveq2d 6437 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑐 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡)) = ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡)))
5150fveq1d 6435 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑐 → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5251prodeq2ad 40619 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑐 → ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥) = ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5349, 52oveq12d 6923 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑐 → (((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥)) = (((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥)))
5453cbvsumv 14803 . . . . 5 Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
55 eqid 2825 . . . . 5 Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5654, 55eqtri 2849 . . . 4 Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5756mpteq2i 4964 . . 3 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥)))
5857a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))))
5945, 58eqtrd 2861 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  {crab 3121  𝒫 cpw 4378  {cpr 4399  cmpt 4952  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  𝑚 cmap 8122  Fincfn 8222  cc 10250  cr 10251  0cc0 10252   · cmul 10257   / cdiv 11009  0cn0 11618  ...cfz 12619  !cfa 13353  Σcsu 14793  cprod 15008  t crest 16434  TopOpenctopn 16435  fldccnfld 20106   D𝑛 cdvn 24027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-sum 14794  df-prod 15009  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051  df-limc 24029  df-dv 24030  df-dvn 24031
This theorem is referenced by:  etransclem29  41274
  Copyright terms: Public domain W3C validator