Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnprod 45475
Description: The multinomial formula for the 𝑁-th derivative of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnprod.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnprod.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnprod.t (𝜑𝑇 ∈ Fin)
dvnprod.h ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡):𝑋⟶ℂ)
dvnprod.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dvnprod.dvnh ((𝜑𝑡𝑇𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
dvnprod.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑡𝑇 ((𝐻𝑡)‘𝑥))
dvnprod.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
dvnprod (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐   𝐻,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑘,𝐻,𝑛,𝑡,𝑥   𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑘,𝑁   𝑆,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑆,𝑘   𝑇,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑇,𝑘   𝑘,𝑋,𝑛,𝑡,𝑥   𝜑,𝑘,𝑛,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑘,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem dvnprod
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑟 𝑑 𝑚 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvnprod.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvnprod.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3 dvnprod.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Fin)
4 dvnprod.h . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡):𝑋⟶ℂ)
5 dvnprod.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 dvnprod.dvnh . . 3 ((𝜑𝑡𝑇𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
7 dvnprod.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑡𝑇 ((𝐻𝑡)‘𝑥))
8 fveq2 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑡 → (𝑑𝑢) = (𝑑𝑡))
98cbvsumv 15678 . . . . . . . . . 10 Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡)
109eqeq1i 2730 . . . . . . . . 9 𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚 ↔ Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚)
1110rabbii 3424 . . . . . . . 8 {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚} = {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚}
12 fveq1 6895 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑒 → (𝑑𝑡) = (𝑒𝑡))
1312sumeq2sdv 15686 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑒 → Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡))
1413eqeq1d 2727 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑒 → (Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚 ↔ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚))
1514cbvrabv 3429 . . . . . . . 8 {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑑𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚}
1611, 15eqtri 2753 . . . . . . 7 {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚}
1716mpteq2i 5254 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚})
18 eqeq2 2737 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚 ↔ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛))
1918rabbidv 3426 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
20 oveq2 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
2120oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((0...𝑚) ↑m 𝑟) = ((0...𝑛) ↑m 𝑟))
22 rabeq 3433 . . . . . . . . 9 (((0...𝑚) ↑m 𝑟) = ((0...𝑛) ↑m 𝑟) → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2419, 23eqtrd 2765 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2524cbvmptv 5262 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2617, 25eqtri 2753 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})
2726mpteq2i 5254 . . . 4 (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚})) = (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
28 sumeq1 15671 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑠 → Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡))
2928eqeq1d 2727 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑠 → (Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛 ↔ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛))
3029rabbidv 3426 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
31 oveq2 7427 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑠 → ((0...𝑛) ↑m 𝑟) = ((0...𝑛) ↑m 𝑠))
32 rabeq 3433 . . . . . . . 8 (((0...𝑛) ↑m 𝑟) = ((0...𝑛) ↑m 𝑠) → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
3430, 33eqtrd 2765 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑠 → {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛})
3534mpteq2dv 5251 . . . . 5 (𝑟 = 𝑠 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
3635cbvmptv 5262 . . . 4 (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑡𝑟 (𝑒𝑡) = 𝑛})) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
3727, 36eqtri 2753 . . 3 (𝑟 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m 𝑟) ∣ Σ𝑢𝑟 (𝑑𝑢) = 𝑚})) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑡𝑠 (𝑒𝑡) = 𝑛}))
38 dvnprod.c . . . 4 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛})
39 fveq1 6895 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑒 → (𝑐𝑡) = (𝑒𝑡))
4039sumeq2sdv 15686 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑒 → Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡))
4140eqeq1d 2727 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑒 → (Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛 ↔ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛))
4241cbvrabv 3429 . . . . 5 {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛} = {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛}
4342mpteq2i 5254 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑐𝑡) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛})
4438, 43eqtri 2753 . . 3 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑒 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑇) ∣ Σ𝑡𝑇 (𝑒𝑡) = 𝑛})
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 37, 44dvnprodlem3 45474 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥))))
46 fveq1 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑐 → (𝑒𝑡) = (𝑐𝑡))
4746fveq2d 6900 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑐 → (!‘(𝑒𝑡)) = (!‘(𝑐𝑡)))
4847prodeq2ad 45118 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑐 → ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡)) = ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡)))
4948oveq2d 7435 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑐 → ((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) = ((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))))
5046fveq2d 6900 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑐 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡)) = ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡)))
5150fveq1d 6898 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑐 → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5251prodeq2ad 45118 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑐 → ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥) = ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5349, 52oveq12d 7437 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑐 → (((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥)) = (((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥)))
5453cbvsumv 15678 . . . . 5 Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
55 eqid 2725 . . . . 5 Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5654, 55eqtri 2753 . . . 4 Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))
5756mpteq2i 5254 . . 3 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥)))
5857a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑒 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑒𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑒𝑡))‘𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))))
5945, 58eqtrd 2765 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑡𝑇 (!‘(𝑐𝑡))) · ∏𝑡𝑇 (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑡))‘(𝑐𝑡))‘𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3418  𝒫 cpw 4604  {cpr 4632  cmpt 5232  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  Fincfn 8964  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140   · cmul 11145   / cdiv 11903  0cn0 12505  ...cfz 13519  !cfa 14268  Σcsu 15668  cprod 15885  t crest 17405  TopOpenctopn 17406  fldccnfld 21296   D𝑛 cdvn 25837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-prod 15886  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-dvn 25841
This theorem is referenced by:  etransclem29  45789
  Copyright terms: Public domain W3C validator