Theorem bpolyval 15444

Description: The value of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpolyval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolyval

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑛 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6672	. . . . . 6 ⊢ (♯‘dom 𝑐) ∈ V
2		oveq2 7159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → (𝑋↑𝑛) = (𝑋↑(♯‘dom 𝑐)))
3		oveq1 7158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → (𝑛C𝑚) = ((♯‘dom 𝑐)C𝑚))
4		oveq1 7158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → (𝑛 − 𝑚) = ((♯‘dom 𝑐) − 𝑚))
5	4	oveq1d 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑛 − 𝑚) + 1) = (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))
6	5	oveq2d 7167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)) = ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))
7	3, 6	oveq12d 7169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = (((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
8	7	sumeq2sdv 15102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
9	2, 8	oveq12d 7169	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))))
10	1, 9	csbie 3841	. . . . 5 ⊢ ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
11		oveq2 7159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑛C𝑚) = (𝑛C𝑘))
12		fveq2 6659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑐‘𝑚) = (𝑐‘𝑘))
13		oveq2 7159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑛 − 𝑚) = (𝑛 − 𝑘))
14	13	oveq1d 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛 − 𝑚) + 1) = ((𝑛 − 𝑘) + 1))
15	12, 14	oveq12d 7169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)) = ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
16	11, 15	oveq12d 7169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
17	16	cbvsumv 15094	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
18		dmeq 5744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → dom 𝑐 = dom 𝑔)
19		fveq1 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → (𝑐‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
20	19	oveq1d 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)) = ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
21	20	oveq2d 7167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
22	21	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = 𝑔 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑐) → ((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
23	18, 22	sumeq12dv 15104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → Σ𝑘 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
24	17, 23	syl5eq 2806	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
25	24	oveq2d 7167	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
26	25	csbeq2dv 3813	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
27	10, 26	syl5eqr 2808	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
28	18	fveq2d 6663	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → (♯‘dom 𝑐) = (♯‘dom 𝑔))
29	28	csbeq1d 3810	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
30	27, 29	eqtrd 2794	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
31	30	cbvmptv 5136	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))) = (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
32		eqid 2759	. 2 ⊢ wrecs( < , ℕ0, (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))))
33	31, 32	bpolylem 15443	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410  ⦋csb 3806   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5525  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  wrecscwrecs 7957  ℂcc 10566  0cc0 10568  1c1 10569   + caddc 10571   · cmul 10573   < clt 10706   − cmin 10901   / cdiv 11328  ℕ₀cn0 11927  ...cfz 12932  ↑cexp 13472  Ccbc 13705  ♯chash 13733  Σcsu 15083   BernPoly cbp 15441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9130  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-seq 13412  df-hash 13734  df-sum 15084  df-bpoly 15442

This theorem is referenced by:  bpoly0  15445  bpoly1  15446  bpolycl  15447  bpolysum  15448  bpolydiflem  15449  bpoly2  15452  bpoly3  15453  bpoly4  15454