Theorem bpolyval 15759

Description: The value of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpolyval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolyval

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑛 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6787	. . . . . 6 ⊢ (♯‘dom 𝑐) ∈ V
2		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → (𝑋↑𝑛) = (𝑋↑(♯‘dom 𝑐)))
3		oveq1 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → (𝑛C𝑚) = ((♯‘dom 𝑐)C𝑚))
4		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → (𝑛 − 𝑚) = ((♯‘dom 𝑐) − 𝑚))
5	4	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑛 − 𝑚) + 1) = (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))
6	5	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)) = ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))
7	3, 6	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = (((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
8	7	sumeq2sdv 15416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
9	2, 8	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))))
10	1, 9	csbie 3868	. . . . 5 ⊢ ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
11		oveq2 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑛C𝑚) = (𝑛C𝑘))
12		fveq2 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑐‘𝑚) = (𝑐‘𝑘))
13		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑛 − 𝑚) = (𝑛 − 𝑘))
14	13	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛 − 𝑚) + 1) = ((𝑛 − 𝑘) + 1))
15	12, 14	oveq12d 7293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)) = ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
16	11, 15	oveq12d 7293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
17	16	cbvsumv 15408	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
18		dmeq 5812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → dom 𝑐 = dom 𝑔)
19		fveq1 6773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → (𝑐‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
20	19	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)) = ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
21	20	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
22	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = 𝑔 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑐) → ((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
23	18, 22	sumeq12dv 15418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → Σ𝑘 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
24	17, 23	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
25	24	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
26	25	csbeq2dv 3839	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
27	10, 26	eqtr3id 2792	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
28	18	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → (♯‘dom 𝑐) = (♯‘dom 𝑔))
29	28	csbeq1d 3836	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
30	27, 29	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
31	30	cbvmptv 5187	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))) = (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
32		eqid 2738	. 2 ⊢ wrecs( < , ℕ0, (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))))
33	31, 32	bpolylem 15758	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ⦋csb 3832   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  wrecscwrecs 8127  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239  ↑cexp 13782  Ccbc 14016  ♯chash 14044  Σcsu 15397   BernPoly cbp 15756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-hash 14045  df-sum 15398  df-bpoly 15757

This theorem is referenced by:  bpoly0  15760  bpoly1  15761  bpolycl  15762  bpolysum  15763  bpolydiflem  15764  bpoly2  15767  bpoly3  15768  bpoly4  15769