MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolyval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolyval 15993
Description: The value of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolyval ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐‘‹

Proof of Theorem bpolyval
Dummy variables ๐‘” ๐‘š ๐‘› ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6905 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆˆ V
2 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘›) = (๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)))
3 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ (๐‘›C๐‘š) = ((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š))
4 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘š) = ((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š))
54oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) = (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))
65oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)) = ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))
73, 6oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))
87sumeq2sdv 15650 . . . . . . 7 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))
92, 8oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))))
101, 9csbie 3930 . . . . 5 โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))
11 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘›C๐‘š) = (๐‘›C๐‘˜))
12 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘š) = (๐‘โ€˜๐‘˜))
13 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘š) = (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))
1413oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) = ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))
1512, 14oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)) = ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
1611, 15oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
1716cbvsumv 15642 . . . . . . . 8 ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
18 dmeq 5904 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘” โ†’ dom ๐‘ = dom ๐‘”)
19 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘” โ†’ (๐‘โ€˜๐‘˜) = (๐‘”โ€˜๐‘˜))
2019oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
2120oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2221adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = ๐‘” โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘) โ†’ ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2318, 22sumeq12dv 15652 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2417, 23eqtrid 2785 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2524oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
2625csbeq2dv 3901 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘” โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
2710, 26eqtr3id 2787 . . . 4 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
2818fveq2d 6896 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘” โ†’ (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘”))
2928csbeq1d 3898 . . . 4 (๐‘ = ๐‘” โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
3027, 29eqtrd 2773 . . 3 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
3130cbvmptv 5262 . 2 (๐‘ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))) = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
32 eqid 2733 . 2 wrecs( < , โ„•0, (๐‘ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))))) = wrecs( < , โ„•0, (๐‘ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))))
3331, 32bpolylem 15992 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3475  โฆ‹csb 3894   โ†ฆ cmpt 5232  dom cdm 5677  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  wrecscwrecs 8296  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•0cn0 12472  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  Ccbc 14262  โ™ฏchash 14290  ฮฃcsu 15632   BernPoly cbp 15990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-hash 14291  df-sum 15633  df-bpoly 15991
This theorem is referenced by:  bpoly0  15994  bpoly1  15995  bpolycl  15996  bpolysum  15997  bpolydiflem  15998  bpoly2  16001  bpoly3  16002  bpoly4  16003
  Copyright terms: Public domain W3C validator