Theorem bpolyval 15973

Description: The value of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpolyval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolyval

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑛 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6845	. . . . . 6 ⊢ (♯‘dom 𝑐) ∈ V
2		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → (𝑋↑𝑛) = (𝑋↑(♯‘dom 𝑐)))
3		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → (𝑛C𝑚) = ((♯‘dom 𝑐)C𝑚))
4		oveq1 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → (𝑛 − 𝑚) = ((♯‘dom 𝑐) − 𝑚))
5	4	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑛 − 𝑚) + 1) = (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))
6	5	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)) = ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))
7	3, 6	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = (((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
8	7	sumeq2sdv 15627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
9	2, 8	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))))
10	1, 9	csbie 3873	. . . . 5 ⊢ ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
11		oveq2 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑛C𝑚) = (𝑛C𝑘))
12		fveq2 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑐‘𝑚) = (𝑐‘𝑘))
13		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑛 − 𝑚) = (𝑛 − 𝑘))
14	13	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛 − 𝑚) + 1) = ((𝑛 − 𝑘) + 1))
15	12, 14	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)) = ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
16	11, 15	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
17	16	cbvsumv 15620	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
18		dmeq 5850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → dom 𝑐 = dom 𝑔)
19		fveq1 6831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → (𝑐‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
20	19	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)) = ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
21	20	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = 𝑔 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑐) → ((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
23	18, 22	sumeq12dv 15630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → Σ𝑘 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
24	17, 23	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
25	24	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
26	25	csbeq2dv 3845	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
27	10, 26	eqtr3id 2786	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
28	18	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → (♯‘dom 𝑐) = (♯‘dom 𝑔))
29	28	csbeq1d 3842	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
30	27, 29	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
31	30	cbvmptv 5190	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))) = (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
32		eqid 2737	. 2 ⊢ wrecs( < , ℕ0, (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))))
33	31, 32	bpolylem 15972	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⦋csb 3838   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5622  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  wrecscwrecs 8252  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   < clt 11167   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕ₀cn0 12402  ...cfz 13424  ↑cexp 13985  Ccbc 14226  ♯chash 14254  Σcsu 15610   BernPoly cbp 15970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-seq 13926  df-hash 14255  df-sum 15611  df-bpoly 15971

This theorem is referenced by:  bpoly0  15974  bpoly1  15975  bpolycl  15976  bpolysum  15977  bpolydiflem  15978  bpoly2  15981  bpoly3  15982  bpoly4  15983