MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolyval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolyval 15995
Description: The value of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolyval ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐‘‹

Proof of Theorem bpolyval
Dummy variables ๐‘” ๐‘š ๐‘› ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6904 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆˆ V
2 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘›) = (๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)))
3 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ (๐‘›C๐‘š) = ((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š))
4 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘š) = ((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š))
54oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) = (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))
65oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)) = ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))
73, 6oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))
87sumeq2sdv 15652 . . . . . . 7 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))
92, 8oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))))
101, 9csbie 3929 . . . . 5 โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))
11 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘›C๐‘š) = (๐‘›C๐‘˜))
12 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘š) = (๐‘โ€˜๐‘˜))
13 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘š) = (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))
1413oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) = ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))
1512, 14oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)) = ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
1611, 15oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
1716cbvsumv 15644 . . . . . . . 8 ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
18 dmeq 5903 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘” โ†’ dom ๐‘ = dom ๐‘”)
19 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘” โ†’ (๐‘โ€˜๐‘˜) = (๐‘”โ€˜๐‘˜))
2019oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
2120oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = ๐‘” โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘) โ†’ ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2318, 22sumeq12dv 15654 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2417, 23eqtrid 2784 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2524oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
2625csbeq2dv 3900 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘” โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
2710, 26eqtr3id 2786 . . . 4 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
2818fveq2d 6895 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘” โ†’ (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘”))
2928csbeq1d 3897 . . . 4 (๐‘ = ๐‘” โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
3027, 29eqtrd 2772 . . 3 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
3130cbvmptv 5261 . 2 (๐‘ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))) = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
32 eqid 2732 . 2 wrecs( < , โ„•0, (๐‘ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))))) = wrecs( < , โ„•0, (๐‘ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))))
3331, 32bpolylem 15994 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474  โฆ‹csb 3893   โ†ฆ cmpt 5231  dom cdm 5676  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  wrecscwrecs 8298  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  โ„•0cn0 12474  ...cfz 13486  โ†‘cexp 14029  Ccbc 14264  โ™ฏchash 14292  ฮฃcsu 15634   BernPoly cbp 15992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-seq 13969  df-hash 14293  df-sum 15635  df-bpoly 15993
This theorem is referenced by:  bpoly0  15996  bpoly1  15997  bpolycl  15998  bpolysum  15999  bpolydiflem  16000  bpoly2  16003  bpoly3  16004  bpoly4  16005
  Copyright terms: Public domain W3C validator