Theorem bpolyval 16051

Description: The value of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpolyval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolyval

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑛 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6865	. . . . . 6 ⊢ (♯‘dom 𝑐) ∈ V
2		oveq2 7389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → (𝑋↑𝑛) = (𝑋↑(♯‘dom 𝑐)))
3		oveq1 7388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → (𝑛C𝑚) = ((♯‘dom 𝑐)C𝑚))
4		oveq1 7388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → (𝑛 − 𝑚) = ((♯‘dom 𝑐) − 𝑚))
5	4	oveq1d 7396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑛 − 𝑚) + 1) = (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))
6	5	oveq2d 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)) = ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))
7	3, 6	oveq12d 7399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = (((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
8	7	sumeq2sdv 15702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
9	2, 8	oveq12d 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (♯‘dom 𝑐) → ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))))
10	1, 9	csbie 3878	. . . . 5 ⊢ ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
11		oveq2 7389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑛C𝑚) = (𝑛C𝑘))
12		fveq2 6852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑐‘𝑚) = (𝑐‘𝑘))
13		oveq2 7389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑛 − 𝑚) = (𝑛 − 𝑘))
14	13	oveq1d 7396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛 − 𝑚) + 1) = ((𝑛 − 𝑘) + 1))
15	12, 14	oveq12d 7399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)) = ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
16	11, 15	oveq12d 7399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
17	16	cbvsumv 15695	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
18		dmeq 5868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → dom 𝑐 = dom 𝑔)
19		fveq1 6851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → (𝑐‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
20	19	oveq1d 7396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)) = ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
21	20	oveq2d 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
22	21	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = 𝑔 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑐) → ((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
23	18, 22	sumeq12dv 15705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → Σ𝑘 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑘) · ((𝑐‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
24	17, 23	eqtrid 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
25	24	oveq2d 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
26	25	csbeq2dv 3850	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / ((𝑛 − 𝑚) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
27	10, 26	eqtr3id 2801	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
28	18	fveq2d 6856	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → (♯‘dom 𝑐) = (♯‘dom 𝑔))
29	28	csbeq1d 3847	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ⦋(♯‘dom 𝑐) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
30	27, 29	eqtrd 2787	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
31	30	cbvmptv 5194	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))) = (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
32		eqid 2752	. 2 ⊢ wrecs( < , ℕ0, (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(♯‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((♯‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐‘𝑚) / (((♯‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))))
33	31, 32	bpolylem 16050	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444  ⦋csb 3843   ↦ cmpt 5171  dom cdm 5636  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  wrecscwrecs 8276  ℂcc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   · cmul 11064   < clt 11202   − cmin 11400   / cdiv 11830  ℕ₀cn0 12467  ...cfz 13498  ↑cexp 14060  Ccbc 14301  ♯chash 14329  Σcsu 15685   BernPoly cbp 16048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499  df-seq 14001  df-hash 14330  df-sum 15686  df-bpoly 16049

This theorem is referenced by:  bpoly0  16052  bpoly1  16053  bpolycl  16054  bpolysum  16055  bpolydiflem  16056  bpoly2  16059  bpoly3  16060  bpoly4  16061