MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolyval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolyval 15937
Description: The value of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolyval ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐‘‹

Proof of Theorem bpolyval
Dummy variables ๐‘” ๐‘š ๐‘› ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6856 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆˆ V
2 oveq2 7366 . . . . . . 7 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘›) = (๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)))
3 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ (๐‘›C๐‘š) = ((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š))
4 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘š) = ((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š))
54oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) = (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))
65oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)) = ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))
73, 6oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))
87sumeq2sdv 15594 . . . . . . 7 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))
92, 8oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))))
101, 9csbie 3892 . . . . 5 โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))
11 oveq2 7366 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘›C๐‘š) = (๐‘›C๐‘˜))
12 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘š) = (๐‘โ€˜๐‘˜))
13 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘š) = (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))
1413oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) = ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))
1512, 14oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)) = ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
1611, 15oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
1716cbvsumv 15586 . . . . . . . 8 ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
18 dmeq 5860 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘” โ†’ dom ๐‘ = dom ๐‘”)
19 fveq1 6842 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘” โ†’ (๐‘โ€˜๐‘˜) = (๐‘”โ€˜๐‘˜))
2019oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
2120oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2221adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = ๐‘” โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘) โ†’ ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2318, 22sumeq12dv 15596 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2417, 23eqtrid 2785 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2524oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
2625csbeq2dv 3863 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘” โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
2710, 26eqtr3id 2787 . . . 4 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
2818fveq2d 6847 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘” โ†’ (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘”))
2928csbeq1d 3860 . . . 4 (๐‘ = ๐‘” โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
3027, 29eqtrd 2773 . . 3 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
3130cbvmptv 5219 . 2 (๐‘ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))) = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
32 eqid 2733 . 2 wrecs( < , โ„•0, (๐‘ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))))) = wrecs( < , โ„•0, (๐‘ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))))
3331, 32bpolylem 15936 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3444  โฆ‹csb 3856   โ†ฆ cmpt 5189  dom cdm 5634  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  wrecscwrecs 8243  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•0cn0 12418  ...cfz 13430  โ†‘cexp 13973  Ccbc 14208  โ™ฏchash 14236  ฮฃcsu 15576   BernPoly cbp 15934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-hash 14237  df-sum 15577  df-bpoly 15935
This theorem is referenced by:  bpoly0  15938  bpoly1  15939  bpolycl  15940  bpolysum  15941  bpolydiflem  15942  bpoly2  15945  bpoly3  15946  bpoly4  15947
  Copyright terms: Public domain W3C validator