MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolyval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolyval 15999
Description: The value of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolyval ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐‘‹

Proof of Theorem bpolyval
Dummy variables ๐‘” ๐‘š ๐‘› ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6898 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆˆ V
2 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘›) = (๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)))
3 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ (๐‘›C๐‘š) = ((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š))
4 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘š) = ((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š))
54oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) = (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))
65oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)) = ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))
73, 6oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))
87sumeq2sdv 15656 . . . . . . 7 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))
92, 8oveq12d 7423 . . . . . 6 (๐‘› = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))))
101, 9csbie 3924 . . . . 5 โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))
11 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘›C๐‘š) = (๐‘›C๐‘˜))
12 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘š) = (๐‘โ€˜๐‘˜))
13 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘š) = (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))
1413oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) = ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))
1512, 14oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)) = ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
1611, 15oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
1716cbvsumv 15648 . . . . . . . 8 ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
18 dmeq 5897 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘” โ†’ dom ๐‘ = dom ๐‘”)
19 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘” โ†’ (๐‘โ€˜๐‘˜) = (๐‘”โ€˜๐‘˜))
2019oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
2120oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = ๐‘” โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘) โ†’ ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2318, 22sumeq12dv 15658 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2417, 23eqtrid 2778 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
2524oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
2625csbeq2dv 3895 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘” โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
2710, 26eqtr3id 2780 . . . 4 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
2818fveq2d 6889 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘” โ†’ (โ™ฏโ€˜dom ๐‘) = (โ™ฏโ€˜dom ๐‘”))
2928csbeq1d 3892 . . . 4 (๐‘ = ๐‘” โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
3027, 29eqtrd 2766 . . 3 (๐‘ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
3130cbvmptv 5254 . 2 (๐‘ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))) = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
32 eqid 2726 . 2 wrecs( < , โ„•0, (๐‘ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1)))))) = wrecs( < , โ„•0, (๐‘ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘‹โ†‘(โ™ฏโ€˜dom ๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ dom ๐‘(((โ™ฏโ€˜dom ๐‘)C๐‘š) ยท ((๐‘โ€˜๐‘š) / (((โ™ฏโ€˜dom ๐‘) โˆ’ ๐‘š) + 1))))))
3331, 32bpolylem 15998 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468  โฆ‹csb 3888   โ†ฆ cmpt 5224  dom cdm 5669  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  wrecscwrecs 8297  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•0cn0 12476  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14032  Ccbc 14267  โ™ฏchash 14295  ฮฃcsu 15638   BernPoly cbp 15996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-hash 14296  df-sum 15639  df-bpoly 15997
This theorem is referenced by:  bpoly0  16000  bpoly1  16001  bpolycl  16002  bpolysum  16003  bpolydiflem  16004  bpoly2  16007  bpoly3  16008  bpoly4  16009
  Copyright terms: Public domain W3C validator