MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coeid 25743
Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
dgrub.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
coeid (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝐹   𝑆,π‘˜,𝑧   π‘˜,𝑁,𝑧   𝑧,𝐹
Proof of Theorem coeid
Dummy variables π‘Ž 𝑛 π‘₯ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply2 25701 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))))
21simprbi 497 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))))
3 dgrub.1 . . . . 5 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
4 dgrub.2 . . . . 5 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
5 simpll 765 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
6 simplrl 775 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
7 simplrr 776 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
8 simprl 769 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ (π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0})
9 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))
10 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘Žβ€˜π‘š) = (π‘Žβ€˜π‘˜))
11 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘₯β†‘π‘š) = (π‘₯β†‘π‘˜))
1210, 11oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)) = ((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)))
1312cbvsumv 15638 . . . . . . . 8 Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))
14 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) = (π‘§β†‘π‘˜))
1514oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = ((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
1615sumeq2sdv 15646 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
1713, 16eqtrid 2784 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
1817cbvmptv 5260 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
199, 18eqtrdi 2788 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
203, 4, 5, 6, 7, 8, 19coeidlem 25742 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
2120ex 413 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) β†’ (((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
2221rexlimdvva 3211 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
232, 22mpd 15 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  β„•0cn0 12468  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480  β†‘cexp 14023  Ξ£csu 15628  Polycply 25689  coeffccoe 25691  degcdgr 25692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-0p 25178  df-ply 25693  df-coe 25695  df-dgr 25696
This theorem is referenced by:  coeid2  25744  plyco  25746  0dgrb  25751  coeaddlem  25754  coemullem  25755  coe11  25758  plycn  25766  plycjlem  25781  gg-plycn  35165
  Copyright terms: Public domain W3C validator