MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeid 24431
Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coeid (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝑧,𝐹

Proof of Theorem coeid
Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply2 24389 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))))
21simprbi 492 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)))))
3 dgrub.1 . . . . 5 𝐴 = (coeff‘𝐹)
4 dgrub.2 . . . . 5 𝑁 = (deg‘𝐹)
5 simpll 757 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
6 simplrl 767 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7 simplrr 768 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
8 simprl 761 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → (𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0})
9 simprr 763 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))
10 fveq2 6446 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (𝑎𝑚) = (𝑎𝑘))
11 oveq2 6930 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (𝑥𝑚) = (𝑥𝑘))
1210, 11oveq12d 6940 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)) = ((𝑎𝑘) · (𝑥𝑘)))
1312cbvsumv 14834 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑥𝑘))
14 oveq1 6929 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑘) = (𝑧𝑘))
1514oveq2d 6938 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑎𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
1615sumeq2sdv 14842 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑥𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
1713, 16syl5eq 2825 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
1817cbvmptv 4985 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
199, 18syl6eq 2829 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
203, 4, 5, 6, 7, 8, 19coeidlem 24430 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
2120ex 403 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) → (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
2221rexlimdvva 3220 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
232, 22mpd 15 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wrex 3090  cun 3789  wss 3791  {csn 4397  cmpt 4965  cima 5358  cfv 6135  (class class class)co 6922  𝑚 cmap 8140  cc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  0cn0 11642  cuz 11992  ...cfz 12643  cexp 13178  Σcsu 14824  Polycply 24377  coeffccoe 24379  degcdgr 24380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-0p 23874  df-ply 24381  df-coe 24383  df-dgr 24384
This theorem is referenced by:  coeid2  24432  plyco  24434  0dgrb  24439  coeaddlem  24442  coemullem  24443  coe11  24446  plycn  24454  plycjlem  24469
  Copyright terms: Public domain W3C validator