Theorem coeid 26292

Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coeid	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝑧,𝐹

Proof of Theorem coeid

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elply2 26250	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))))
3		dgrub.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
4		dgrub.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
5		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
6		simplrl 777	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7		simplrr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
8		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → (𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0})
9		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))
10		fveq2 6907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑎‘𝑚) = (𝑎‘𝑘))
11		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑥↑𝑚) = (𝑥↑𝑘))
12	10, 11	oveq12d 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = ((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
13	12	cbvsumv 15729	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))
14		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥↑𝑘) = (𝑧↑𝑘))
15	14	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = ((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
16	15	sumeq2sdv 15736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
17	13, 16	eqtrid 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
18	17	cbvmptv 5261	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
19	9, 18	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
20	3, 4, 5, 6, 7, 8, 19	coeidlem 26291	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) → (((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
22	21	rexlimdvva 3211	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
23	2, 22	mpd 15	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  {csn 4631   ↦ cmpt 5231   “ cima 5692  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  ℕ₀cn0 12524  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544  ↑cexp 14099  Σcsu 15719  Polycply 26238  coeffccoe 26240  degcdgr 26241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-coe 26244  df-dgr 26245

This theorem is referenced by:  coeid2  26293  plyco  26295  0dgrb  26300  coeaddlem  26303  coemullem  26304  coe11  26307  plycn  26315  plycnOLD  26316  plycjlem  26331