MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coeid 26171
Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
dgrub.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
coeid (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝐹   𝑆,π‘˜,𝑧   π‘˜,𝑁,𝑧   𝑧,𝐹
Proof of Theorem coeid
Dummy variables π‘Ž 𝑛 π‘₯ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply2 26129 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))))
21simprbi 496 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))))
3 dgrub.1 . . . . 5 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
4 dgrub.2 . . . . 5 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
5 simpll 766 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
6 simplrl 776 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
7 simplrr 777 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
8 simprl 770 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ (π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0})
9 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))
10 fveq2 6897 . . . . . . . . . 10 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘Žβ€˜π‘š) = (π‘Žβ€˜π‘˜))
11 oveq2 7428 . . . . . . . . . 10 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘₯β†‘π‘š) = (π‘₯β†‘π‘˜))
1210, 11oveq12d 7438 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)) = ((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)))
1312cbvsumv 15674 . . . . . . . 8 Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))
14 oveq1 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) = (π‘§β†‘π‘˜))
1514oveq2d 7436 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = ((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
1615sumeq2sdv 15682 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
1713, 16eqtrid 2780 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
1817cbvmptv 5261 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
199, 18eqtrdi 2784 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
203, 4, 5, 6, 7, 8, 19coeidlem 26170 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
2120ex 412 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) β†’ (((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
2221rexlimdvva 3208 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
232, 22mpd 15 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  {csn 4629   ↦ cmpt 5231   β€œ cima 5681  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8844  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143  β„•0cn0 12502  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  β†‘cexp 14058  Ξ£csu 15664  Polycply 26117  coeffccoe 26119  degcdgr 26120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-0p 25598  df-ply 26121  df-coe 26123  df-dgr 26124
This theorem is referenced by:  coeid2  26172  plyco  26174  0dgrb  26179  coeaddlem  26182  coemullem  26183  coe11  26186  plycn  26194  plycnOLD  26195  plycjlem  26210
  Copyright terms: Public domain W3C validator