MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeid 26217
Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coeid (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝑧,𝐹

Proof of Theorem coeid
Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply2 26175 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))))
21simprbi 495 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)))))
3 dgrub.1 . . . . 5 𝐴 = (coeff‘𝐹)
4 dgrub.2 . . . . 5 𝑁 = (deg‘𝐹)
5 simpll 765 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
6 simplrl 775 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7 simplrr 776 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
8 simprl 769 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → (𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0})
9 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))
10 fveq2 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (𝑎𝑚) = (𝑎𝑘))
11 oveq2 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (𝑥𝑚) = (𝑥𝑘))
1210, 11oveq12d 7437 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)) = ((𝑎𝑘) · (𝑥𝑘)))
1312cbvsumv 15678 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑥𝑘))
14 oveq1 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑘) = (𝑧𝑘))
1514oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑎𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
1615sumeq2sdv 15686 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑥𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
1713, 16eqtrid 2777 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
1817cbvmptv 5262 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))
199, 18eqtrdi 2781 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
203, 4, 5, 6, 7, 8, 19coeidlem 26216 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
2120ex 411 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))) → (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
2221rexlimdvva 3201 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑚) · (𝑥𝑚)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
232, 22mpd 15 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059  cun 3942  wss 3944  {csn 4630  cmpt 5232  cima 5681  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  0cn0 12505  cuz 12855  ...cfz 13519  cexp 14062  Σcsu 15668  Polycply 26163  coeffccoe 26165  degcdgr 26166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-0p 25643  df-ply 26167  df-coe 26169  df-dgr 26170
This theorem is referenced by:  coeid2  26218  plyco  26220  0dgrb  26225  coeaddlem  26228  coemullem  26229  coe11  26232  plycn  26240  plycnOLD  26241  plycjlem  26256
  Copyright terms: Public domain W3C validator