Theorem coeid 26159

Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coeid	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝑧,𝐹

Proof of Theorem coeid

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elply2 26117	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))))
3		dgrub.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
4		dgrub.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
5		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
6		simplrl 776	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7		simplrr 777	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
8		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → (𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0})
9		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))
10		fveq2 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑎‘𝑚) = (𝑎‘𝑘))
11		oveq2 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑥↑𝑚) = (𝑥↑𝑘))
12	10, 11	oveq12d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = ((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
13	12	cbvsumv 15621	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))
14		oveq1 7360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥↑𝑘) = (𝑧↑𝑘))
15	14	oveq2d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = ((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
16	15	sumeq2sdv 15628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
17	13, 16	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
18	17	cbvmptv 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
19	9, 18	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
20	3, 4, 5, 6, 7, 8, 19	coeidlem 26158	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) → (((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
22	21	rexlimdvva 3186	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
23	2, 22	mpd 15	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  {csn 4579   ↦ cmpt 5176   “ cima 5626  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  ℕ₀cn0 12402  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428  ↑cexp 13986  Σcsu 15611  Polycply 26105  coeffccoe 26107  degcdgr 26108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-0p 25587  df-ply 26109  df-coe 26111  df-dgr 26112

This theorem is referenced by:  coeid2  26160  plyco  26162  0dgrb  26167  coeaddlem  26170  coemullem  26171  coe11  26174  plycn  26182  plycnOLD  26183  plycjlem  26198