Theorem coeid 26278

Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coeid	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝑧,𝐹

Proof of Theorem coeid

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elply2 26236	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))))
3		dgrub.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
4		dgrub.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
5		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
6		simplrl 776	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7		simplrr 777	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
8		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → (𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0})
9		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))
10		fveq2 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑎‘𝑚) = (𝑎‘𝑘))
11		oveq2 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑥↑𝑚) = (𝑥↑𝑘))
12	10, 11	oveq12d 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = ((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
13	12	cbvsumv 15733	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))
14		oveq1 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥↑𝑘) = (𝑧↑𝑘))
15	14	oveq2d 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = ((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
16	15	sumeq2sdv 15740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
17	13, 16	eqtrid 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
18	17	cbvmptv 5254	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
19	9, 18	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
20	3, 4, 5, 6, 7, 8, 19	coeidlem 26277	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) → (((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
22	21	rexlimdvva 3212	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
23	2, 22	mpd 15	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069   ∪ cun 3948   ⊆ wss 3950  {csn 4625   ↦ cmpt 5224   “ cima 5687  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ↑_m cmap 8867  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  ℕ₀cn0 12528  ℤ_≥cuz 12879  ...cfz 13548  ↑cexp 14103  Σcsu 15723  Polycply 26224  coeffccoe 26226  degcdgr 26227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-0p 25706  df-ply 26228  df-coe 26230  df-dgr 26231

This theorem is referenced by:  coeid2  26279  plyco  26281  0dgrb  26286  coeaddlem  26289  coemullem  26290  coe11  26293  plycn  26301  plycnOLD  26302  plycjlem  26317