Theorem coeid 26376

Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coeid	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝑧,𝐹

Proof of Theorem coeid

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elply2 26334	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))))
2	1	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))))
3		dgrub.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
4		dgrub.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
5		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
6		simplrl 788	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7		simplrr 789	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
8		simprl 782	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → (𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0})
9		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))
10		fveq2 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑎‘𝑚) = (𝑎‘𝑘))
11		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑥↑𝑚) = (𝑥↑𝑘))
12	10, 11	oveq12d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = ((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
13	12	cbvsumv 15749	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))
14		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥↑𝑘) = (𝑧↑𝑘))
15	14	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = ((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
16	15	sumeq2sdv 15756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
17	13, 16	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
18	17	cbvmptv 5216	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
19	9, 18	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
20	3, 4, 5, 6, 7, 8, 19	coeidlem 26375	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) ∧ ((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
21	20	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))) → (((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
22	21	rexlimdvva 3222	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)((𝑎 “ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
23	2, 22	mpd 16	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4590   ↦ cmpt 5193   “ cima 5666  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  ℕ₀cn0 12505  ℤ_≥cuz 12863  ...cfz 13536  ↑cexp 14099  Σcsu 15739  Polycply 26322  coeffccoe 26324  degcdgr 26325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-0p 25810  df-ply 26326  df-coe 26328  df-dgr 26329

This theorem is referenced by:  coeid2  26377  plyco  26379  0dgrb  26384  coeaddlem  26387  coemullem  26388  coe11  26391  plycn  26399  plycjlem  26414