MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coeid 26115
Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
dgrub.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
coeid (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝐹   𝑆,π‘˜,𝑧   π‘˜,𝑁,𝑧   𝑧,𝐹
Proof of Theorem coeid
Dummy variables π‘Ž 𝑛 π‘₯ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply2 26073 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ↔ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))))
21simprbi 496 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))))
3 dgrub.1 . . . . 5 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
4 dgrub.2 . . . . 5 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
5 simpll 764 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
6 simplrl 774 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
7 simplrr 775 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
8 simprl 768 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ (π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0})
9 simprr 770 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))
10 fveq2 6882 . . . . . . . . . 10 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘Žβ€˜π‘š) = (π‘Žβ€˜π‘˜))
11 oveq2 7410 . . . . . . . . . 10 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘₯β†‘π‘š) = (π‘₯β†‘π‘˜))
1210, 11oveq12d 7420 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)) = ((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)))
1312cbvsumv 15644 . . . . . . . 8 Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))
14 oveq1 7409 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) = (π‘§β†‘π‘˜))
1514oveq2d 7418 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = ((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
1615sumeq2sdv 15652 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
1713, 16eqtrid 2776 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
1817cbvmptv 5252 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
199, 18eqtrdi 2780 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
203, 4, 5, 6, 7, 8, 19coeidlem 26114 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) ∧ ((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
2120ex 412 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))) β†’ (((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
2221rexlimdvva 3203 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 βˆƒπ‘Ž ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0)((π‘Ž β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑛)((π‘Žβ€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
232, 22mpd 15 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062   βˆͺ cun 3939   βŠ† wss 3941  {csn 4621   ↦ cmpt 5222   β€œ cima 5670  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑m cmap 8817  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112  β„•0cn0 12471  β„€β‰₯cuz 12821  ...cfz 13485  β†‘cexp 14028  Ξ£csu 15634  Polycply 26061  coeffccoe 26063  degcdgr 26064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-0p 25543  df-ply 26065  df-coe 26067  df-dgr 26068
This theorem is referenced by:  coeid2  26116  plyco  26118  0dgrb  26123  coeaddlem  26126  coemullem  26127  coe11  26130  plycn  26138  plycnOLD  26139  plycjlem  26154
  Copyright terms: Public domain W3C validator