Theorem sticksstones16 42157

Description: Sticks and stones with collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 20-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones16.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones16.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones16.3	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones16	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑖)

Proof of Theorem sticksstones16

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones16.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
2		fveq2 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑔‘𝑖) = (𝑔‘𝑗))
3	2	cbvsumv 15669	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗)
4	3	eqeq1i 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)
5	4	anbi2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁))
6	5	abbii 2797	. . . . . 6 ⊢ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)}
7	1, 6	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)}
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)})
9		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑔𝜑
10		sticksstones16.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
12		1cnd 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
13	11, 12	npcand 11544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
14	13	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((𝐾 − 1) + 1))
15	14	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝐾) = (1...((𝐾 − 1) + 1)))
16	15	feq2d 6675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ↔ 𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0))
17	15	sumeq1d 15673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗))
18	17	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁))
19	16, 18	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)))
20	9, 19	abbid 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)})
21	8, 20	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)})
22	21	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)}))
23		sticksstones16.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		nnm1nn0 12490	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
25	10, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
26		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑔‘𝑗) = (𝑔‘𝑖))
27	26	cbvsumv 15669	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑖)
28	27	eqeq1i 2735	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)
29	28	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁))
30	29	abbii 2797	. . 3 ⊢ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
31	23, 25, 30	sticksstones15 42156	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)}) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))
32	22, 31	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2708  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13475  Ccbc 14274  ♯chash 14302  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  sticksstones20  42161