Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones16 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sticksstones16 41703
Description: Sticks and stones with collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 20-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones16.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones16.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
sticksstones16.3 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
sticksstones16 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = ((𝑁 + (𝐾 βˆ’ 1))C(𝐾 βˆ’ 1)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   πœ‘,𝑔,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑖)
Proof of Theorem sticksstones16
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones16.3 . . . . . 6 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
2 fveq2 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘”β€˜π‘–) = (π‘”β€˜π‘—))
32cbvsumv 15674 . . . . . . . . 9 Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—)
43eqeq1i 2730 . . . . . . . 8 (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)
54anbi2i 621 . . . . . . 7 ((𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁))
65abbii 2795 . . . . . 6 {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)}
71, 6eqtri 2753 . . . . 5 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)}
87a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)})
9 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘”πœ‘
10 sticksstones16.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
1110nncnd 12258 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
12 1cnd 11239 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
1311, 12npcand 11605 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐾 βˆ’ 1) + 1) = 𝐾)
1413eqcomd 2731 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 = ((𝐾 βˆ’ 1) + 1))
1514oveq2d 7433 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1...𝐾) = (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1)))
1615feq2d 6707 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ↔ 𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0))
1715sumeq1d 15679 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—))
1817eqeq1d 2727 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁))
1916, 18anbi12d 630 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)))
209, 19abbid 2796 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)})
218, 20eqtrd 2765 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)})
2221fveq2d 6898 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = (β™―β€˜{𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)}))
23 sticksstones16.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
24 nnm1nn0 12543 . . . 4 (𝐾 ∈ β„• β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2510, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
26 fveq2 6894 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘”β€˜π‘—) = (π‘”β€˜π‘–))
2726cbvsumv 15674 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘–)
2827eqeq1i 2730 . . . . 5 (Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)
2928anbi2i 621 . . . 4 ((𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁))
3029abbii 2795 . . 3 {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
3123, 25, 30sticksstones15 41702 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)}) = ((𝑁 + (𝐾 βˆ’ 1))C(𝐾 βˆ’ 1)))
3222, 31eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = ((𝑁 + (𝐾 βˆ’ 1))C(𝐾 βˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  1c1 11139   + caddc 11141   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  ...cfz 13516  Ccbc 14293  β™―chash 14321  Ξ£csu 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ico 13362  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665
This theorem is referenced by:  sticksstones20  41707
  Copyright terms: Public domain W3C validator