Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones16 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sticksstones16 40966
Description: Sticks and stones with collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 20-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones16.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones16.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
sticksstones16.3 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
sticksstones16 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = ((𝑁 + (𝐾 βˆ’ 1))C(𝐾 βˆ’ 1)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   πœ‘,𝑔,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑖)
Proof of Theorem sticksstones16
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones16.3 . . . . . 6 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
2 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘”β€˜π‘–) = (π‘”β€˜π‘—))
32cbvsumv 15638 . . . . . . . . 9 Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—)
43eqeq1i 2737 . . . . . . . 8 (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)
54anbi2i 623 . . . . . . 7 ((𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁))
65abbii 2802 . . . . . 6 {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)}
71, 6eqtri 2760 . . . . 5 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)}
87a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)})
9 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘”πœ‘
10 sticksstones16.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
1110nncnd 12224 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
12 1cnd 11205 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
1311, 12npcand 11571 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐾 βˆ’ 1) + 1) = 𝐾)
1413eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 = ((𝐾 βˆ’ 1) + 1))
1514oveq2d 7421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1...𝐾) = (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1)))
1615feq2d 6700 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ↔ 𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0))
1715sumeq1d 15643 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—))
1817eqeq1d 2734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁))
1916, 18anbi12d 631 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)))
209, 19abbid 2803 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)})
218, 20eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)})
2221fveq2d 6892 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = (β™―β€˜{𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)}))
23 sticksstones16.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
24 nnm1nn0 12509 . . . 4 (𝐾 ∈ β„• β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2510, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
26 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘”β€˜π‘—) = (π‘”β€˜π‘–))
2726cbvsumv 15638 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘–)
2827eqeq1i 2737 . . . . 5 (Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)
2928anbi2i 623 . . . 4 ((𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁))
3029abbii 2802 . . 3 {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
3123, 25, 30sticksstones15 40965 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 βˆ’ 1) + 1))(π‘”β€˜π‘—) = 𝑁)}) = ((𝑁 + (𝐾 βˆ’ 1))C(𝐾 βˆ’ 1)))
3222, 31eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = ((𝑁 + (𝐾 βˆ’ 1))C(𝐾 βˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107   + caddc 11109   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  ...cfz 13480  Ccbc 14258  β™―chash 14286  Ξ£csu 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  sticksstones20  40970
  Copyright terms: Public domain W3C validator