Theorem sticksstones16 42119

Description: Sticks and stones with collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 20-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones16.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones16.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones16.3	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones16	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑖)

Proof of Theorem sticksstones16

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones16.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
2		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑔‘𝑖) = (𝑔‘𝑗))
3	2	cbvsumv 15744	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗)
4	3	eqeq1i 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)
5	4	anbi2i 622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁))
6	5	abbii 2812	. . . . . 6 ⊢ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)}
7	1, 6	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)}
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)})
9		nfv 1913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑔𝜑
10		sticksstones16.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
12		1cnd 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
13	11, 12	npcand 11651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
14	13	eqcomd 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((𝐾 − 1) + 1))
15	14	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝐾) = (1...((𝐾 − 1) + 1)))
16	15	feq2d 6733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ↔ 𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0))
17	15	sumeq1d 15748	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗))
18	17	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁))
19	16, 18	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)))
20	9, 19	abbid 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)})
21	8, 20	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)})
22	21	fveq2d 6924	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)}))
23		sticksstones16.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		nnm1nn0 12594	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
25	10, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
26		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑔‘𝑗) = (𝑔‘𝑖))
27	26	cbvsumv 15744	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑖)
28	27	eqeq1i 2745	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)
29	28	anbi2i 622	. . . 4 ⊢ ((𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁))
30	29	abbii 2812	. . 3 ⊢ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
31	23, 25, 30	sticksstones15 42118	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)}) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))
32	22, 31	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13567  Ccbc 14351  ♯chash 14379  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  sticksstones20  42123