Theorem sticksstones16 42619

Description: Sticks and stones with collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 20-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones16.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones16.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones16.3	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones16	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑖)

Proof of Theorem sticksstones16

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones16.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
2		fveq2 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑔‘𝑖) = (𝑔‘𝑗))
3	2	cbvsumv 15653	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗)
4	3	eqeq1i 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)
5	4	anbi2i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁))
6	5	abbii 2804	. . . . . 6 ⊢ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)}
7	1, 6	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)}
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)})
9		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑔𝜑
10		sticksstones16.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
12		1cnd 11134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
13	11, 12	npcand 11504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
14	13	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((𝐾 − 1) + 1))
15	14	oveq2d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝐾) = (1...((𝐾 − 1) + 1)))
16	15	feq2d 6648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ↔ 𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0))
17	15	sumeq1d 15657	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗))
18	17	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁))
19	16, 18	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)))
20	9, 19	abbid 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔‘𝑗) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)})
21	8, 20	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)})
22	21	fveq2d 6840	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)}))
23		sticksstones16.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		nnm1nn0 12473	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
25	10, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
26		fveq2 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑔‘𝑗) = (𝑔‘𝑖))
27	26	cbvsumv 15653	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑖)
28	27	eqeq1i 2742	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)
29	28	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁))
30	29	abbii 2804	. . 3 ⊢ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
31	23, 25, 30	sticksstones15 42618	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔‘𝑗) = 𝑁)}) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))
32	22, 31	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  1c1 11034   + caddc 11036   − cmin 11372  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  ...cfz 13456  Ccbc 14259  ♯chash 14287  Σcsu 15643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-oadd 8404  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644

This theorem is referenced by:  sticksstones20  42623