Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones16 42144
Description: Sticks and stones with collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 20-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones16.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones16.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones16.3 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
sticksstones16 (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑖)

Proof of Theorem sticksstones16
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones16.3 . . . . . 6 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)}
2 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑔𝑖) = (𝑔𝑗))
32cbvsumv 15729 . . . . . . . . 9 Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑗)
43eqeq1i 2740 . . . . . . . 8 𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑗) = 𝑁)
54anbi2i 623 . . . . . . 7 ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑗) = 𝑁))
65abbii 2807 . . . . . 6 {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑗) = 𝑁)}
71, 6eqtri 2763 . . . . 5 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑗) = 𝑁)}
87a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑗) = 𝑁)})
9 nfv 1912 . . . . 5 𝑔𝜑
10 sticksstones16.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1110nncnd 12280 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
12 1cnd 11254 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1311, 12npcand 11622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
1413eqcomd 2741 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 = ((𝐾 − 1) + 1))
1514oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...𝐾) = (1...((𝐾 − 1) + 1)))
1615feq2d 6723 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0))
1715sumeq1d 15733 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑗))
1817eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑗) = 𝑁))
1916, 18anbi12d 632 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑗) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑗) = 𝑁)))
209, 19abbid 2808 . . . 4 (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑗) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑗) = 𝑁)})
218, 20eqtrd 2775 . . 3 (𝜑𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑗) = 𝑁)})
2221fveq2d 6911 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑗) = 𝑁)}))
23 sticksstones16.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
24 nnm1nn0 12565 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
2510, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
26 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝑔𝑗) = (𝑔𝑖))
2726cbvsumv 15729 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑗) = Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑖)
2827eqeq1i 2740 . . . . 5 𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)
2928anbi2i 623 . . . 4 ((𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑗) = 𝑁) ↔ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁))
3029abbii 2807 . . 3 {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑗) = 𝑁)} = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)}
3123, 25, 30sticksstones15 42143 . 2 (𝜑 → (♯‘{𝑔 ∣ (𝑔:(1...((𝐾 − 1) + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑗 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))(𝑔𝑗) = 𝑁)}) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))
3222, 31eqtrd 2775 1 (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (𝐾 − 1))C(𝐾 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  ...cfz 13544  Ccbc 14338  chash 14366  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  sticksstones20  42148
  Copyright terms: Public domain W3C validator