Theorem ftalem6 27143

Description: Lemma for fta 27145: Discharge the auxiliary variables in ftalem5 27142. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftalem.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ftalem6.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ftalem6	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem ftalem6

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftalem.1	. 2 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2		ftalem.2	. 2 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
3		ftalem.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		ftalem.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		ftalem6.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)
6		fveq2 6868	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
7	6	neeq1d 3017	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴‘𝑛) ≠ 0))
8	7	cbvrabv 3425	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}
9	8	infeq1i 9426	. 2 ⊢ inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}, ℝ, < )
10		eqid 2763	. 2 ⊢ (-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ))) = (-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))
11		fveq2 6868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝐴‘𝑟) = (𝐴‘𝑠))
12		oveq2 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟) = ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑠))
13	11, 12	oveq12d 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟)) = ((𝐴‘𝑠) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑠)))
14	13	fveq2d 6872	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) = (abs‘((𝐴‘𝑠) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑠))))
15	14	cbvsumv 15724	. . . 4 ⊢ Σ𝑟 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) = Σ𝑠 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑠) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑠)))
16	15	oveq1i 7407	. . 3 ⊢ (Σ𝑟 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) + 1) = (Σ𝑠 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑠) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑠))) + 1)
17	16	oveq2i 7408	. 2 ⊢ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑟 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) + 1)) = ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑠 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑠) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑠))) + 1))
18		eqid 2763	. 2 ⊢ if(1 ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑟 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) + 1)), 1, ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑟 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) + 1))) = if(1 ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑟 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) + 1)), 1, ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑟 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) + 1)))
19	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 17, 18	ftalem5 27142	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3087  {crab 3415  ifcif 4481   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  infcinf 9388  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   · cmul 11079   < clt 11217   ≤ cle 11218  -cneg 11416   / cdiv 11845  ℕcn 12211  ...cfz 13513  ↑cexp 14075  abscabs 15262  Σcsu 15714  Polycply 26245  coeffccoe 26247  degcdgr 26248  ↑_𝑐ccxp 26621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-fi 9358  df-sup 9389  df-inf 9390  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-q 12951  df-rp 12995  df-xneg 13115  df-xadd 13116  df-xmul 13117  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13803  df-mod 13881  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14288  df-bc 14317  df-hash 14345  df-shft 15081  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-limsup 15499  df-clim 15516  df-rlim 15517  df-sum 15715  df-ef 16098  df-sin 16100  df-cos 16101  df-pi 16103  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-rest 17452  df-topn 17453  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-topgen 17473  df-pt 17474  df-prds 17477  df-xrs 17533  df-qtop 17538  df-imas 17539  df-xps 17541  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-mulg 19111  df-cntz 19358  df-cmn 19823  df-psmet 21417  df-xmet 21418  df-met 21419  df-bl 21420  df-mopn 21421  df-fbas 21422  df-fg 21423  df-cnfld 21426  df-top 22955  df-topon 22972  df-topsp 22994  df-bases 23007  df-cld 23080  df-ntr 23081  df-cls 23082  df-nei 23159  df-lp 23197  df-perf 23198  df-cn 23288  df-cnp 23289  df-haus 23376  df-tx 23623  df-hmeo 23816  df-fil 23907  df-fm 23999  df-flim 24000  df-flf 24001  df-xms 24381  df-ms 24382  df-tms 24383  df-cncf 24941  df-0p 25733  df-limc 25929  df-dv 25930  df-ply 26249  df-coe 26251  df-dgr 26252  df-log 26622  df-cxp 26623

This theorem is referenced by:  ftalem7  27144