Theorem ftalem6 27208

Description: Lemma for fta 27210: Discharge the auxiliary variables in ftalem5 27207. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftalem.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ftalem6.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ftalem6	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem ftalem6

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftalem.1	. 2 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2		ftalem.2	. 2 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
3		ftalem.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		ftalem.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		ftalem6.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)
6		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
7	6	neeq1d 3023	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴‘𝑛) ≠ 0))
8	7	cbvrabv 3433	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}
9	8	infeq1i 9439	. 2 ⊢ inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑛) ≠ 0}, ℝ, < )
10		eqid 2769	. 2 ⊢ (-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ))) = (-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))
11		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝐴‘𝑟) = (𝐴‘𝑠))
12		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟) = ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑠))
13	11, 12	oveq12d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟)) = ((𝐴‘𝑠) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑠)))
14	13	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) = (abs‘((𝐴‘𝑠) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑠))))
15	14	cbvsumv 15747	. . . 4 ⊢ Σ𝑟 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) = Σ𝑠 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑠) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑠)))
16	15	oveq1i 7421	. . 3 ⊢ (Σ𝑟 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) + 1) = (Σ𝑠 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑠) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑠))) + 1)
17	16	oveq2i 7422	. 2 ⊢ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑟 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) + 1)) = ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑠 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑠) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑠))) + 1))
18		eqid 2769	. 2 ⊢ if(1 ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑟 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) + 1)), 1, ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑟 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) + 1))) = if(1 ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑟 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) + 1)), 1, ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑟 ∈ ((inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < ) + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴‘𝑟) · ((-((𝐹‘0) / (𝐴‘inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑐(1 / inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝐴‘𝑘) ≠ 0}, ℝ, < )))↑𝑟))) + 1)))
19	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 17, 18	ftalem5 27207	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < (abs‘(𝐹‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  {crab 3423  ifcif 4492   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  infcinf 9401  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   < clt 11243   ≤ cle 11244  -cneg 11442   / cdiv 11871  ℕcn 12233  ...cfz 13535  ↑cexp 14097  abscabs 15285  Σcsu 15737  Polycply 26310  coeffccoe 26312  degcdgr 26313  ↑_𝑐ccxp 26686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16121  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-0p 25798  df-limc 25994  df-dv 25995  df-ply 26314  df-coe 26316  df-dgr 26317  df-log 26687  df-cxp 26688

This theorem is referenced by:  ftalem7  27209