Theorem gsmsymgrfixlem1 19324

Description: Lemma 1 for gsmsymgrfix 19325. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgrfixlem1	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfixlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2		elnn0uz 12798	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
6		fzosplitsn 13696	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^((♯‘𝑊) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)}))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (0..^((♯‘𝑊) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)}))
8	7	raleqdv 3290	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
9	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
11		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊)))
12	11	fveq1d 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾))
13	12	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾))
14	13	ralunsn 4848	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
15	10, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
16	8, 15	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
17		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
18		ccats1val2 14552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑃)
19	18	fveq1d 6828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = (𝑃‘𝐾))
20	19	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
21	17, 20	mpd3an3 1464	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
22	21	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
23		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
24		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
25		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
26		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
27		gsmsymgrfix.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
28	26, 27	gsumccatsymgsn 19323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃))
29	28	fveq1d 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
30	23, 24, 25, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
31	30	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
33	26, 27	symgbasf 19273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃:𝑁⟶𝑁)
34	33	ffnd 6657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃 Fn 𝑁)
35	34	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑃 Fn 𝑁)
36		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
37		fvco2 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
38	35, 36, 37	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
39	38	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
41		fveq2 6826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
42	41	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
43		ccats1val1 14551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
44	43	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
45	44	fveq1d 6828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑊‘𝑖)‘𝐾))
46	45	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
47	46	ralbidva 3150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
48	47	biimpd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
49	48	adantld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
50	49	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
51		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
52	50, 51	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
53	52	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)
54	42, 53	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = 𝐾)
55	32, 40, 54	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)
56	55	exp32 420	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
57	22, 56	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
58	57	impcomd 411	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
59	16, 58	sylbid 240	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∪ cun 3903  {csn 4579   ∘ ccom 5627   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031  ℕ₀cn0 12402  ℤ_≥cuz 12753  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  Word cword 14438   ++ cconcat 14495  ⟨“cs1 14520  Basecbs 17138   Σ_g cgsu 17362  SymGrpcsymg 19266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-tset 17198  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-efmnd 18761  df-grp 18833  df-symg 19267

This theorem is referenced by:  gsmsymgrfix  19325