Theorem gsmsymgrfixlem1 19364

Description: Lemma 1 for gsmsymgrfix 19365. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgrfixlem1	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfixlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2		elnn0uz 12845	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
6		fzosplitsn 13743	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^((♯‘𝑊) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)}))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (0..^((♯‘𝑊) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)}))
8	7	raleqdv 3301	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
9	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
11		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊)))
12	11	fveq1d 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾))
13	12	eqeq1d 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾))
14	13	ralunsn 4861	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
15	10, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
16	8, 15	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
17		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
18		ccats1val2 14599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑃)
19	18	fveq1d 6863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = (𝑃‘𝐾))
20	19	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
21	17, 20	mpd3an3 1464	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
22	21	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
23		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
24		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
25		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
26		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
27		gsmsymgrfix.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
28	26, 27	gsumccatsymgsn 19363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃))
29	28	fveq1d 6863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
30	23, 24, 25, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
31	30	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
33	26, 27	symgbasf 19313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃:𝑁⟶𝑁)
34	33	ffnd 6692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃 Fn 𝑁)
35	34	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑃 Fn 𝑁)
36		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
37		fvco2 6961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
38	35, 36, 37	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
39	38	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
41		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
42	41	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
43		ccats1val1 14598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
44	43	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
45	44	fveq1d 6863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑊‘𝑖)‘𝐾))
46	45	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
47	46	ralbidva 3155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
48	47	biimpd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
49	48	adantld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
50	49	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
51		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
52	50, 51	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
53	52	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)
54	42, 53	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = 𝐾)
55	32, 40, 54	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)
56	55	exp32 420	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
57	22, 56	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
58	57	impcomd 411	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
59	16, 58	sylbid 240	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∪ cun 3915  {csn 4592   ∘ ccom 5645   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485   ++ cconcat 14542  ⟨“cs1 14567  Basecbs 17186   Σ_g cgsu 17410  SymGrpcsymg 19306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-efmnd 18803  df-grp 18875  df-symg 19307

This theorem is referenced by:  gsmsymgrfix  19365