Theorem gsmsymgrfixlem1 18558

Description: Lemma 1 for gsmsymgrfix 18559. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgrfixlem1	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfixlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 13886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2		elnn0uz 12286	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
4	3	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
5	4	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
6		fzosplitsn 13148	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^((♯‘𝑊) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)}))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (0..^((♯‘𝑊) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)}))
8	7	raleqdv 3418	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
9	1	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10	9	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
11		fveq2 6673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊)))
12	11	fveq1d 6675	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾))
13	12	eqeq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾))
14	13	ralunsn 4827	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
15	10, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
16	8, 15	bitrd 281	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
17		eqidd 2825	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
18		ccats1val2 13986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑃)
19	18	fveq1d 6675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = (𝑃‘𝐾))
20	19	eqeq1d 2826	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
21	17, 20	mpd3an3 1458	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
22	21	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
23		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
24		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
25		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
26		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
27		gsmsymgrfix.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
28	26, 27	gsumccatsymgsn 18557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃))
29	28	fveq1d 6675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
30	23, 24, 25, 29	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
31	30	3adant3 1128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
32	31	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
33	26, 27	symgbasf 18507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃:𝑁⟶𝑁)
34	33	ffnd 6518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃 Fn 𝑁)
35	34	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑃 Fn 𝑁)
36		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
37		fvco2 6761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
38	35, 36, 37	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
39	38	3adant3 1128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
40	39	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
41		fveq2 6673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
42	41	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
43		ccats1val1 13984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
44	43	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
45	44	fveq1d 6675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑊‘𝑖)‘𝐾))
46	45	eqeq1d 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
47	46	ralbidva 3199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
48	47	biimpd 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
49	48	adantld 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
50	49	3adant3 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
51		simp3 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
52	50, 51	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
53	52	imp 409	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)
54	42, 53	eqtrd 2859	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = 𝐾)
55	32, 40, 54	3eqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)
56	55	exp32 423	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
57	22, 56	sylbid 242	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
58	57	impcomd 414	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
59	16, 58	sylbid 242	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141   ∪ cun 3937  {csn 4570   ∘ ccom 5562   Fn wfn 6353  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Fincfn 8512  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543  ℕ₀cn0 11900  ℤ_≥cuz 12246  ..^cfzo 13036  ♯chash 13693  Word cword 13864   ++ cconcat 13925  ⟨“cs1 13952  Basecbs 16486   Σ_g cgsu 16717  SymGrpcsymg 18498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13926  df-s1 13953  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-tset 16587  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-efmnd 18037  df-grp 18109  df-symg 18499

This theorem is referenced by:  gsmsymgrfix  18559