Theorem gsmsymgrfixlem1 19393

Description: Lemma 1 for gsmsymgrfix 19394. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgrfixlem1	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfixlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2		elnn0uz 12820	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
5	4	3ad2ant1 1139	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
6		fzosplitsn 13722	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^((♯‘𝑊) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)}))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (0..^((♯‘𝑊) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)}))
8	7	raleqdv 3297	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
9	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10	9	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
11		fveq2 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊)))
12	11	fveq1d 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾))
13	12	eqeq1d 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾))
14	13	ralunsn 4825	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
15	10, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
16	8, 15	bitrd 280	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
17		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
18		ccats1val2 14581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑃)
19	18	fveq1d 6829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = (𝑃‘𝐾))
20	19	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
21	17, 20	mpd3an3 1470	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
22	21	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
23		simprl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
24		simpll 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
25		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
26		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
27		gsmsymgrfix.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
28	26, 27	gsumccatsymgsn 19392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃))
29	28	fveq1d 6829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
30	23, 24, 25, 29	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
31	30	3adant3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
32	31	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
33	26, 27	symgbasf 19342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃:𝑁⟶𝑁)
34	33	ffnd 6656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃 Fn 𝑁)
35	34	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑃 Fn 𝑁)
36		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
37		fvco2 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
38	35, 36, 37	syl2an 602	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
39	38	3adant3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
40	39	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
41		fveq2 6827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
42	41	ad2antrl 734	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
43		ccats1val1 14580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
44	43	ad4ant14 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
45	44	fveq1d 6829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑊‘𝑖)‘𝐾))
46	45	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
47	46	ralbidva 3160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
48	47	biimpd 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
49	48	adantld 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
50	49	3adant3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
51		simp3 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
52	50, 51	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
53	52	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)
54	42, 53	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = 𝐾)
55	32, 40, 54	3eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)
56	55	exp32 421	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
57	22, 56	sylbid 241	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
58	57	impcomd 412	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
59	16, 58	sylbid 241	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ∪ cun 3881  {csn 4555   ∘ ccom 5622   Fn wfn 6480  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  ℕ₀cn0 12428  ℤ_≥cuz 12779  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466   ++ cconcat 14523  ⟨“cs1 14549  Basecbs 17170   Σ_g cgsu 17394  SymGrpcsymg 19335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-efmnd 18828  df-grp 18903  df-symg 19336

This theorem is referenced by:  gsmsymgrfix  19394