MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgrfixlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgrfixlem1 19460
Description: Lemma 1 for gsmsymgrfix 19461. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgrfixlem1 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfixlem1
StepHypRef Expression
1 lencl 14568 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2 elnn0uz 12921 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
31, 2sylib 218 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
543ad2ant1 1132 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
6 fzosplitsn 13811 . . . . 5 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘0) → (0..^((♯‘𝑊) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)}))
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (0..^((♯‘𝑊) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)}))
87raleqdv 3324 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
91adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1093ad2ant1 1132 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
11 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑖 = (♯‘𝑊) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊)))
1211fveq1d 6909 . . . . . 6 (𝑖 = (♯‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾))
1312eqeq1d 2737 . . . . 5 (𝑖 = (♯‘𝑊) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾))
1413ralunsn 4899 . . . 4 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
1510, 14syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
168, 15bitrd 279 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
17 eqidd 2736 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
18 ccats1val2 14662 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑃)
1918fveq1d 6909 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = (𝑃𝐾))
2019eqeq1d 2737 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃𝐾) = 𝐾))
2117, 20mpd3an3 1461 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃𝐾) = 𝐾))
22213ad2ant1 1132 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃𝐾) = 𝐾))
23 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
24 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
25 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → 𝑃𝐵)
26 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
27 gsmsymgrfix.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑆)
2826, 27gsumccatsymgsn 19459 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → (𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃))
2928fveq1d 6909 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
3023, 24, 25, 29syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
31303adant3 1131 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
3231adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
3326, 27symgbasf 19408 . . . . . . . . . . 11 (𝑃𝐵𝑃:𝑁𝑁)
3433ffnd 6738 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝐵𝑃 Fn 𝑁)
3534adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → 𝑃 Fn 𝑁)
36 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
37 fvco2 7006 . . . . . . . . 9 ((𝑃 Fn 𝑁𝐾𝑁) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)))
3835, 36, 37syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)))
39383adant3 1131 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)))
4039adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)))
41 fveq2 6907 . . . . . . . 8 ((𝑃𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
4241ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
43 ccats1val1 14661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
4443ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
4544fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑊𝑖)‘𝐾))
4645eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
4746ralbidva 3174 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
4847biimpd 229 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
4948adantld 490 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
50493adant3 1131 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
51 simp3 1137 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
5250, 51syld 47 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
5352imp 406 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)
5442, 53eqtrd 2775 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)) = 𝐾)
5532, 40, 543eqtrd 2779 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)
5655exp32 420 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑃𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
5722, 56sylbid 240 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
5857impcomd 411 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
5916, 58sylbid 240 1 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cun 3961  {csn 4631  ccom 5693   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  0cn0 12524  cuz 12876  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630  Basecbs 17245   Σg cgsu 17487  SymGrpcsymg 19401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-symg 19402
This theorem is referenced by:  gsmsymgrfix  19461
  Copyright terms: Public domain W3C validator