Theorem gsmsymgrfixlem1 19402

Description: Lemma 1 for gsmsymgrfix 19403. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgrfixlem1	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfixlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2		elnn0uz 12829	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
5	4	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0))
6		fzosplitsn 13731	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^((♯‘𝑊) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)}))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (0..^((♯‘𝑊) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)}))
8	7	raleqdv 3295	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
9	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10	9	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
11		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊)))
12	11	fveq1d 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾))
13	12	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾))
14	13	ralunsn 4837	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
15	10, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝑊)) ∪ {(♯‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
16	8, 15	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
17		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
18		ccats1val2 14590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑃)
19	18	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = (𝑃‘𝐾))
20	19	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
21	17, 20	mpd3an3 1465	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
22	21	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃‘𝐾) = 𝐾))
23		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
24		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
25		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
26		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
27		gsmsymgrfix.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
28	26, 27	gsumccatsymgsn 19401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃))
29	28	fveq1d 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
30	23, 24, 25, 29	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
31	30	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
33	26, 27	symgbasf 19351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃:𝑁⟶𝑁)
34	33	ffnd 6669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐵 → 𝑃 Fn 𝑁)
35	34	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑃 Fn 𝑁)
36		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
37		fvco2 6937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
38	35, 36, 37	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
39	38	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)))
41		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
42	41	ad2antrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
43		ccats1val1 14589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
44	43	ad4ant14 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
45	44	fveq1d 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑊‘𝑖)‘𝐾))
46	45	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
47	46	ralbidva 3158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
48	47	biimpd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
49	48	adantld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
50	49	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
51		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
52	50, 51	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
53	52	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)
54	42, 53	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃‘𝐾)) = 𝐾)
55	32, 40, 54	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)
56	55	exp32 420	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑃‘𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
57	22, 56	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
58	57	impcomd 411	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(♯‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
59	16, 58	sylbid 240	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∪ cun 3887  {csn 4567   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕ₀cn0 12437  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475   ++ cconcat 14532  ⟨“cs1 14558  Basecbs 17179   Σ_g cgsu 17403  SymGrpcsymg 19344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-efmnd 18837  df-grp 18912  df-symg 19345

This theorem is referenced by:  gsmsymgrfix  19403