Theorem climbdd 15383

Description: A converging sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcau.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climbdd	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Proof of Theorem climbdd

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
2		climcau.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	climcau 15382	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑦)
4	3	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑦)
5	2	caubnd 15070	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)
7		r19.26 3095	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
8		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
10		simpllr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		ltle 11063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
13	12	expimpd 454	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
14	13	ralimdva 3108	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
15	7, 14	syl5bir 242	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
16	15	exp4b 431	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))))
17	16	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))))
18	17	3impia 1116	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)))
19	18	reximdvai 3200	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
20	6, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  abscabs 14945   ⇝ cli 15193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197

This theorem is referenced by:  mtestbdd  25564  climbddf  43228  sge0isum  43965