Theorem climbdd 15708

Description: A converging sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcau.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climbdd	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Proof of Theorem climbdd

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
2		climcau.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	climcau 15707	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑦)
4	3	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑦)
5	2	caubnd 15397	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)
7		r19.26 3111	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
8		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
10		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		ltle 11349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
13	12	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
14	13	ralimdva 3167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
15	7, 14	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
16	15	exp4b 430	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))))
17	16	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))))
18	17	3impia 1118	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)))
19	18	reximdvai 3165	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
20	6, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15273   ⇝ cli 15520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524

This theorem is referenced by:  mtestbdd  26448  climbddf  45702  sge0isum  46442