MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climbdd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climbdd 15248
Description: A converging sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
climcau.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
climbdd ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Proof of Theorem climbdd
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1140 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2 climcau.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
32climcau 15247 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑦)
433adant3 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑦)
52caubnd 14935 . . 3 ((∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥)
61, 4, 5syl2anc 587 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥)
7 r19.26 3093 . . . . . . 7 (∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
8 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
98abscld 15013 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
10 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 ltle 10934 . . . . . . . . . 10 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥))
129, 10, 11syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥))
1312expimpd 457 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥))
1413ralimdva 3101 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥) → ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥))
157, 14syl5bir 246 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥) → ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥))
1615exp4b 434 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥))))
1716com23 86 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥))))
18173impia 1119 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)))
1918reximdvai 3198 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥))
206, 19mpd 15 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  wral 3062  wrex 3063   class class class wbr 5062  dom cdm 5560  cfv 6389  (class class class)co 7222  cc 10740  cr 10741   < clt 10880  cle 10881  cmin 11075  cz 12189  cuz 12451  +crp 12599  abscabs 14810  cli 15058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331  ax-un 7532  ax-cnex 10798  ax-resscn 10799  ax-1cn 10800  ax-icn 10801  ax-addcl 10802  ax-addrcl 10803  ax-mulcl 10804  ax-mulrcl 10805  ax-mulcom 10806  ax-addass 10807  ax-mulass 10808  ax-distr 10809  ax-i2m1 10810  ax-1ne0 10811  ax-1rid 10812  ax-rnegex 10813  ax-rrecex 10814  ax-cnre 10815  ax-pre-lttri 10816  ax-pre-lttrn 10817  ax-pre-ltadd 10818  ax-pre-mulgt0 10819  ax-pre-sup 10820
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3417  df-sbc 3704  df-csb 3821  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-pss 3894  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4829  df-iun 4915  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-tr 5171  df-id 5464  df-eprel 5469  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5518  df-we 5520  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-ima 5573  df-pred 6169  df-ord 6225  df-on 6226  df-lim 6227  df-suc 6228  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396  df-fv 6397  df-riota 7179  df-ov 7225  df-oprab 7226  df-mpo 7227  df-om 7654  df-1st 7770  df-2nd 7771  df-wrecs 8056  df-recs 8117  df-rdg 8155  df-1o 8211  df-er 8400  df-en 8636  df-dom 8637  df-sdom 8638  df-fin 8639  df-sup 9071  df-pnf 10882  df-mnf 10883  df-xr 10884  df-ltxr 10885  df-le 10886  df-sub 11077  df-neg 11078  df-div 11503  df-nn 11844  df-2 11906  df-3 11907  df-n0 12104  df-z 12190  df-uz 12452  df-rp 12600  df-fz 13109  df-seq 13588  df-exp 13649  df-cj 14675  df-re 14676  df-im 14677  df-sqrt 14811  df-abs 14812  df-clim 15062
This theorem is referenced by:  mtestbdd  25310  climbddf  42918  sge0isum  43655
  Copyright terms: Public domain W3C validator