Theorem climbdd 15574

Description: A converging sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcau.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climbdd	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Proof of Theorem climbdd

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
2		climcau.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	climcau 15573	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑦)
4	3	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑦)
5	2	caubnd 15261	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)
7		r19.26 3092	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
8		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
10		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		ltle 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
13	12	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
14	13	ralimdva 3144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
15	7, 14	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
16	15	exp4b 430	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))))
17	16	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))))
18	17	3impia 1117	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)))
19	18	reximdvai 3143	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
20	6, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5086  dom cdm 5611  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339  ℤcz 12463  ℤ_≥cuz 12727  ℝ⁺crp 12885  abscabs 15136   ⇝ cli 15386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390

This theorem is referenced by:  mtestbdd  26336  climbddf  45725  sge0isum  46465