Theorem climbdd 15747

Description: A converging sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcau.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climbdd	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Proof of Theorem climbdd

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
2		climcau.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	climcau 15746	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑦)
4	3	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑦)
5	2	caubnd 15434	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)
6	1, 4, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)
7		r19.26 3127	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
8		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
10		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		ltle 11313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
13	12	expimpd 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
14	13	ralimdva 3179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
15	7, 14	biimtrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
16	15	exp4b 436	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))))
17	16	com23 87	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))))
18	17	3impia 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)))
19	18	reximdvai 3178	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
20	6, 19	mpd 16	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114   < clt 11258   ≤ cle 11259   − cmin 11456  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15309   ⇝ cli 15559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563

This theorem is used by:  mtestbdd  26619  climbddf  46459  sge0isum  47199