Theorem iprodmul 16059

Description: Multiplication of infinite sums. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iprodmul.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iprodmul.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iprodmul.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodmul.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
iprodmul.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodmul.6	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
iprodmul.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
iprodmul.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
iprodmul	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝐴,𝑛,𝑦   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘   𝑧,𝐵   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝐵,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘,𝑚)   𝐵(𝑦,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iprodmul

Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑝 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iprodmul.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		iprodmul.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		iprodmul.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4		iprodmul.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
5		iprodmul.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4, 5	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
7		iprodmul.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
8		iprodmul.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
9		iprodmul.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8, 9	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
11		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑘))
12		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (𝐺‘𝑎) = (𝐺‘𝑘))
13	11, 12	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))
15		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6991	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
17	16	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
18	1, 3, 6, 7, 10, 17	ntrivcvgmul 15958	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
19		fveq2 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑎))
20		fveq2 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑎))
21	19, 20	oveq12d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))
22	21	cbvmptv 5216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))) = (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))
23		seqeq3 14044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))) = (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎))) → seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎))))
25	24	breq1i 5117	. . . . . 6 ⊢ (seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤)
26	25	anbi2i 634	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
27	26	exbii 1878	. . . 4 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
28	27	rexbii 3112	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
29	18, 28	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤))
30		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))
31		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
32		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑘))
33	31, 32	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
34		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	6, 10	mulcld 11230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
36	30, 33, 34, 35	fvmptd3 7015	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
37	4, 8	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = (𝐴 · 𝐵))
38	36, 37	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · 𝐵))
39	5, 9	mulcld 11230	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
40	1, 2, 3, 4, 5	iprodclim2 16055	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
41		seqex 14041	. . . 4 ⊢ seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ∈ V
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ∈ V)
43	1, 2, 7, 8, 9	iprodclim2 16055	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺) ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
44	1, 2, 6	prodf 15943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
45	44	ffvelcdmda 7081	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
46	1, 2, 10	prodf 15943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
47	46	ffvelcdmda 7081	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
48		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
49	48, 1	eleqtrdi 2873	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
50		elfzuz 13549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51	50, 1	eleqtrrdi 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
52	51, 6	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
53	52	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
54	51, 10	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
55	54	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
56	36	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
57	51, 56	sylan2 604	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
58	49, 53, 55, 57	prodfmul 15946	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗)))
59	1, 2, 40, 42, 43, 45, 47, 58	climmul 15686	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ (∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))
60	1, 2, 29, 38, 39, 59	iprodclim 16054	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101   · cmul 11106  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  ...cfz 13536  seqcseq 14039   ⇝ cli 15537  ∏cprod 15959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-prod 15960

This theorem is referenced by: (None)