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Theorem iprodmul 15891
Description: Multiplication of infinite sums. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodmul.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iprodmul.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iprodmul.3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodmul.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
iprodmul.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
iprodmul.6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆƒπ‘§(𝑧 β‰  0 ∧ seqπ‘š( Β· , 𝐺) ⇝ 𝑧))
iprodmul.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = 𝐡)
iprodmul.8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
iprodmul (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 (𝐴 Β· 𝐡) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐡,π‘š,𝑧   π‘˜,𝐹,π‘š,𝑛,𝑦,𝑧   π‘˜,𝐺,π‘š,𝑛,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘˜,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑀,π‘š,𝑛   πœ‘,π‘š,𝑦   𝑦,𝑀   𝑧,π‘š,𝑀   πœ‘,𝑛,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑍,π‘š,𝑛,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,π‘˜,π‘š)   𝐡(𝑦,π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem iprodmul
Dummy variables 𝑗 π‘Ž 𝑝 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodmul.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 iprodmul.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 iprodmul.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4 iprodmul.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
5 iprodmul.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
64, 5eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7 iprodmul.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆƒπ‘§(𝑧 β‰  0 ∧ seqπ‘š( Β· , 𝐺) ⇝ 𝑧))
8 iprodmul.7 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = 𝐡)
9 iprodmul.8 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
108, 9eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
11 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘˜))
12 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) = (πΊβ€˜π‘˜))
1311, 12oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž)) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
14 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž)))
15 ovex 7391 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V
1613, 14, 15fvmpt 6949 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž)))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
1716adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž)))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
181, 3, 6, 7, 10, 17ntrivcvgmul 15792 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘€(𝑀 β‰  0 ∧ seq𝑝( Β· , (π‘Ž ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž)))) ⇝ 𝑀))
19 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (π‘š = π‘Ž β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘Ž))
20 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (π‘š = π‘Ž β†’ (πΊβ€˜π‘š) = (πΊβ€˜π‘Ž))
2119, 20oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘Ž β†’ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž)))
2221cbvmptv 5219 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š))) = (π‘Ž ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž)))
23 seqeq3 13917 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š))) = (π‘Ž ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž))) β†’ seq𝑝( Β· , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))) = seq𝑝( Β· , (π‘Ž ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž)))))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 seq𝑝( Β· , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))) = seq𝑝( Β· , (π‘Ž ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž))))
2524breq1i 5113 . . . . . 6 (seq𝑝( Β· , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))) ⇝ 𝑀 ↔ seq𝑝( Β· , (π‘Ž ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž)))) ⇝ 𝑀)
2625anbi2i 624 . . . . 5 ((𝑀 β‰  0 ∧ seq𝑝( Β· , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))) ⇝ 𝑀) ↔ (𝑀 β‰  0 ∧ seq𝑝( Β· , (π‘Ž ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž)))) ⇝ 𝑀))
2726exbii 1851 . . . 4 (βˆƒπ‘€(𝑀 β‰  0 ∧ seq𝑝( Β· , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))) ⇝ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘€(𝑀 β‰  0 ∧ seq𝑝( Β· , (π‘Ž ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž)))) ⇝ 𝑀))
2827rexbii 3094 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘€(𝑀 β‰  0 ∧ seq𝑝( Β· , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))) ⇝ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘€(𝑀 β‰  0 ∧ seq𝑝( Β· , (π‘Ž ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘Ž) Β· (πΊβ€˜π‘Ž)))) ⇝ 𝑀))
2918, 28sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘€(𝑀 β‰  0 ∧ seq𝑝( Β· , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))) ⇝ 𝑀))
30 eqid 2733 . . . 4 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š))) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))
31 fveq2 6843 . . . . 5 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
32 fveq2 6843 . . . . 5 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘š) = (πΊβ€˜π‘˜))
3331, 32oveq12d 7376 . . . 4 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
34 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
356, 10mulcld 11180 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
3630, 33, 34, 35fvmptd3 6972 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
374, 8oveq12d 7376 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)) = (𝐴 Β· 𝐡))
3836, 37eqtrd 2773 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = (𝐴 Β· 𝐡))
395, 9mulcld 11180 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
401, 2, 3, 4, 5iprodclim2 15887 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
41 seqex 13914 . . . 4 seq𝑀( Β· , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))) ∈ V
4241a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))) ∈ V)
431, 2, 7, 8, 9iprodclim2 15887 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐺) ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡)
441, 2, 6prodf 15777 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
4544ffvelcdmda 7036 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
461, 2, 10prodf 15777 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐺):π‘βŸΆβ„‚)
4746ffvelcdmda 7036 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
48 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
4948, 1eleqtrdi 2844 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
50 elfzuz 13443 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5150, 1eleqtrrdi 2845 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
5251, 6sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5352adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5451, 10sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5554adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5636adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
5751, 56sylan2 594 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
5849, 53, 55, 57prodfmul 15780 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( Β· , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—) = ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) Β· (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘—)))
591, 2, 40, 42, 43, 45, 47, 58climmul 15521 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š) Β· (πΊβ€˜π‘š)))) ⇝ (βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡))
601, 2, 29, 38, 39, 59iprodclim 15886 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 (𝐴 Β· 𝐡) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  0cc0 11056   Β· cmul 11061  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  seqcseq 13912   ⇝ cli 15372  βˆcprod 15793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-prod 15794
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