MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodmul 15211
Description: Multiplication of infinite sums. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodmul.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iprodmul.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iprodmul.3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodmul.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
iprodmul.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodmul.6 (𝜑 → ∃𝑚𝑍𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
iprodmul.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
iprodmul.8 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
iprodmul (𝜑 → ∏𝑘𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘𝑍 𝐴 · ∏𝑘𝑍 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐵,𝑚,𝑧   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑚,𝑛   𝜑,𝑚,𝑦   𝑦,𝑀   𝑧,𝑚,𝑀   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘,𝑚)   𝐵(𝑦,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iprodmul
Dummy variables 𝑗 𝑎 𝑝 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodmul.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iprodmul.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iprodmul.3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4 iprodmul.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
5 iprodmul.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
64, 5eqeltrd 2863 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7 iprodmul.6 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑚𝑍𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
8 iprodmul.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
9 iprodmul.8 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
108, 9eqeltrd 2863 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
11 fveq2 6497 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑘 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑘))
12 fveq2 6497 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑘 → (𝐺𝑎) = (𝐺𝑘))
1311, 12oveq12d 6992 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑘 → ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
14 eqid 2775 . . . . . 6 (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎))) = (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))
15 ovex 7006 . . . . . 6 ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ V
1613, 14, 15fvmpt 6593 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
1716adantl 474 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
181, 3, 6, 7, 10, 17ntrivcvgmul 15112 . . 3 (𝜑 → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
19 fveq2 6497 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑎 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑎))
20 fveq2 6497 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑎 → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑎))
2119, 20oveq12d 6992 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑎 → ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)) = ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))
2221cbvmptv 5026 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))) = (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))
23 seqeq3 13186 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))) = (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎))) → seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎))))
2524breq1i 4934 . . . . . 6 (seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤)
2625anbi2i 613 . . . . 5 ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
2726exbii 1810 . . . 4 (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
2827rexbii 3191 . . 3 (∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
2918, 28sylibr 226 . 2 (𝜑 → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤))
30 eqid 2775 . . . 4 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))
31 fveq2 6497 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
32 fveq2 6497 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑘))
3331, 32oveq12d 6992 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
34 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
356, 10mulcld 10456 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
3630, 33, 34, 35fvmptd3 6615 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
374, 8oveq12d 6992 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) = (𝐴 · 𝐵))
3836, 37eqtrd 2811 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · 𝐵))
395, 9mulcld 10456 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
401, 2, 3, 4, 5iprodclim2 15207 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
41 seqex 13183 . . . 4 seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ∈ V
4241a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ∈ V)
431, 2, 7, 8, 9iprodclim2 15207 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺) ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐵)
441, 2, 6prodf 15097 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
4544ffvelrnda 6674 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
461, 2, 10prodf 15097 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
4746ffvelrnda 6674 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
48 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
4948, 1syl6eleq 2873 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
50 elfzuz 12717 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5150, 1syl6eleqr 2874 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
5251, 6sylan2 583 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5352adantlr 702 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5451, 10sylan2 583 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
5554adantlr 702 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
5636adantlr 702 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
5751, 56sylan2 583 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
5849, 53, 55, 57prodfmul 15100 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗)))
591, 2, 40, 42, 43, 45, 47, 58climmul 14844 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ (∏𝑘𝑍 𝐴 · ∏𝑘𝑍 𝐵))
601, 2, 29, 38, 39, 59iprodclim 15206 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘𝑍 𝐴 · ∏𝑘𝑍 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2048  wne 2964  wrex 3086  Vcvv 3412   class class class wbr 4927  cmpt 5006  cfv 6186  (class class class)co 6974  cc 10329  0cc0 10331   · cmul 10336  cz 11790  cuz 12055  ...cfz 12705  seqcseq 13181  cli 14696  cprod 15113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-inf2 8894  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-int 4748  df-iun 4792  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-1o 7901  df-oadd 7905  df-er 8085  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-fin 8306  df-sup 8697  df-oi 8765  df-card 9158  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-2 11500  df-3 11501  df-n0 11705  df-z 11791  df-uz 12056  df-rp 12202  df-fz 12706  df-fzo 12847  df-seq 13182  df-exp 13242  df-hash 13503  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-clim 14700  df-prod 15114
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator