Theorem iprodmul 15968

Description: Multiplication of infinite sums. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iprodmul.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iprodmul.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iprodmul.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodmul.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
iprodmul.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodmul.6	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
iprodmul.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
iprodmul.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
iprodmul	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝐴,𝑛,𝑦   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘   𝑧,𝐵   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝐵,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘,𝑚)   𝐵(𝑦,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iprodmul

Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑝 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iprodmul.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		iprodmul.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		iprodmul.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4		iprodmul.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
5		iprodmul.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4, 5	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
7		iprodmul.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
8		iprodmul.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
9		iprodmul.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8, 9	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
11		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑘))
12		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (𝐺‘𝑎) = (𝐺‘𝑘))
13	11, 12	oveq12d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
14		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))
15		ovex 7400	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6947	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
18	1, 3, 6, 7, 10, 17	ntrivcvgmul 15867	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
19		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑎))
20		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑎))
21	19, 20	oveq12d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))
22	21	cbvmptv 5189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))) = (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))
23		seqeq3 13968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))) = (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎))) → seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎))))
25	24	breq1i 5092	. . . . . 6 ⊢ (seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤)
26	25	anbi2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
27	26	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
28	27	rexbii 3084	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
29	18, 28	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤))
30		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))
31		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
32		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑘))
33	31, 32	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
34		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	6, 10	mulcld 11165	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
36	30, 33, 34, 35	fvmptd3 6971	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
37	4, 8	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = (𝐴 · 𝐵))
38	36, 37	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · 𝐵))
39	5, 9	mulcld 11165	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
40	1, 2, 3, 4, 5	iprodclim2 15964	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
41		seqex 13965	. . . 4 ⊢ seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ∈ V
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ∈ V)
43	1, 2, 7, 8, 9	iprodclim2 15964	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺) ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
44	1, 2, 6	prodf 15852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
45	44	ffvelcdmda 7036	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
46	1, 2, 10	prodf 15852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
47	46	ffvelcdmda 7036	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
48		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
49	48, 1	eleqtrdi 2846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
50		elfzuz 13474	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51	50, 1	eleqtrrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
52	51, 6	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
53	52	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
54	51, 10	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
55	54	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
56	36	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
57	51, 56	sylan2 594	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
58	49, 53, 55, 57	prodfmul 15855	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗)))
59	1, 2, 40, 42, 43, 45, 47, 58	climmul 15595	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ (∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))
60	1, 2, 29, 38, 39, 59	iprodclim 15963	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461  seqcseq 13963   ⇝ cli 15446  ∏cprod 15868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869

This theorem is referenced by: (None)