Theorem iprodmul 16051

Description: Multiplication of infinite sums. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iprodmul.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iprodmul.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iprodmul.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodmul.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
iprodmul.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodmul.6	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
iprodmul.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
iprodmul.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
iprodmul	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐵,𝑚,𝑧   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑚,𝑛   𝜑,𝑚,𝑦   𝑦,𝑀   𝑧,𝑚,𝑀   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘,𝑚)   𝐵(𝑦,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iprodmul

Dummy variables 𝑗 𝑎 𝑝 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iprodmul.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		iprodmul.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		iprodmul.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4		iprodmul.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
5		iprodmul.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4, 5	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
7		iprodmul.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
8		iprodmul.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
9		iprodmul.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8, 9	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
11		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑘))
12		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (𝐺‘𝑎) = (𝐺‘𝑘))
13	11, 12	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
14		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))
15		ovex 7481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 7029	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
18	1, 3, 6, 7, 10, 17	ntrivcvgmul 15950	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
19		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑎))
20		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑎))
21	19, 20	oveq12d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))
22	21	cbvmptv 5279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))) = (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))
23		seqeq3 14057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))) = (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎))) → seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎))))
25	24	breq1i 5173	. . . . . 6 ⊢ (seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤)
26	25	anbi2i 622	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
27	26	exbii 1846	. . . 4 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
28	27	rexbii 3100	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
29	18, 28	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤))
30		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))
31		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
32		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑘))
33	31, 32	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
34		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	6, 10	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
36	30, 33, 34, 35	fvmptd3 7052	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
37	4, 8	oveq12d 7466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = (𝐴 · 𝐵))
38	36, 37	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · 𝐵))
39	5, 9	mulcld 11310	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
40	1, 2, 3, 4, 5	iprodclim2 16047	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
41		seqex 14054	. . . 4 ⊢ seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ∈ V
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ∈ V)
43	1, 2, 7, 8, 9	iprodclim2 16047	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺) ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
44	1, 2, 6	prodf 15935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
45	44	ffvelcdmda 7118	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
46	1, 2, 10	prodf 15935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
47	46	ffvelcdmda 7118	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
48		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
49	48, 1	eleqtrdi 2854	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
50		elfzuz 13580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51	50, 1	eleqtrrdi 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
52	51, 6	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
53	52	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
54	51, 10	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
55	54	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
56	36	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
57	51, 56	sylan2 592	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
58	49, 53, 55, 57	prodfmul 15938	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗)))
59	1, 2, 40, 42, 43, 45, 47, 58	climmul 15679	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ (∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))
60	1, 2, 29, 38, 39, 59	iprodclim 16046	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  seqcseq 14052   ⇝ cli 15530  ∏cprod 15951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-prod 15952

This theorem is referenced by: (None)