Theorem iprodmul 15969

Description: Multiplication of infinite sums. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iprodmul.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iprodmul.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iprodmul.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodmul.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
iprodmul.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodmul.6	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
iprodmul.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
iprodmul.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
iprodmul	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝐴,𝑛,𝑦   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘   𝑧,𝐵   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝐵,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘,𝑚)   𝐵(𝑦,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iprodmul

Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑝 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iprodmul.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		iprodmul.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		iprodmul.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4		iprodmul.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
5		iprodmul.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4, 5	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
7		iprodmul.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
8		iprodmul.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
9		iprodmul.8	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8, 9	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
11		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑘))
12		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (𝐺‘𝑎) = (𝐺‘𝑘))
13	11, 12	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))
15		ovex 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6968	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
18	1, 3, 6, 7, 10, 17	ntrivcvgmul 15868	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
19		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑎))
20		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑎))
21	19, 20	oveq12d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))
22	21	cbvmptv 5211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))) = (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))
23		seqeq3 13971	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))) = (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎))) → seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎))))
25	24	breq1i 5114	. . . . . 6 ⊢ (seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤)
26	25	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
27	26	exbii 1848	. . . 4 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
28	27	rexbii 3076	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑎) · (𝐺‘𝑎)))) ⇝ 𝑤))
29	18, 28	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑍 ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ 𝑤))
30		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))
31		fveq2 6858	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
32		fveq2 6858	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐺‘𝑚) = (𝐺‘𝑘))
33	31, 32	oveq12d 7405	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
34		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
35	6, 10	mulcld 11194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
36	30, 33, 34, 35	fvmptd3 6991	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
37	4, 8	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = (𝐴 · 𝐵))
38	36, 37	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · 𝐵))
39	5, 9	mulcld 11194	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
40	1, 2, 3, 4, 5	iprodclim2 15965	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
41		seqex 13968	. . . 4 ⊢ seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ∈ V
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ∈ V)
43	1, 2, 7, 8, 9	iprodclim2 15965	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺) ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
44	1, 2, 6	prodf 15853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
45	44	ffvelcdmda 7056	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
46	1, 2, 10	prodf 15853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
47	46	ffvelcdmda 7056	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
48		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
49	48, 1	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
50		elfzuz 13481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51	50, 1	eleqtrrdi 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
52	51, 6	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
53	52	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
54	51, 10	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
55	54	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
56	36	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
57	51, 56	sylan2 593	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
58	49, 53, 55, 57	prodfmul 15856	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗)))
59	1, 2, 40, 42, 43, 45, 47, 58	climmul 15599	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚) · (𝐺‘𝑚)))) ⇝ (∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))
60	1, 2, 29, 38, 39, 59	iprodclim 15964	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  seqcseq 13966   ⇝ cli 15450  ∏cprod 15869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-prod 15870

This theorem is referenced by: (None)