Theorem climinff 45596

Description: A version of climinf 45591 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 15-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
climinff.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climinff.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climinff.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climinff.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climinff.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinff.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
climinff.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climinff	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘   𝑥,𝐹   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem climinff

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climinff.3	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climinff.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climinff.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		climinff.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
6	4, 5	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
7		climinff.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 + 1)
9	7, 8	nffv 6832	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
10		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
11		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	7, 11	nffv 6832	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
13	9, 10, 12	nfbr 5139	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)
14	6, 13	nfim 1896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
15		eleq1w 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
17		fvoveq1 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
18		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
19	17, 18	breq12d 5105	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)))
20	16, 19	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))))
21		climinff.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
22	14, 20, 21	chvarfv 2241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
23		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
24	5	nfci 2879	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
25		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
26	25, 10, 12	nfbr 5139	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
27	24, 26	nfralw 3276	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
28	23, 27	nfrexw 3277	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
29	4, 28	nfim 1896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
30		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
31	18	breq2d 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
32	30, 26, 31	cbvralw 3271	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
34	33	rexbidv 3153	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
35	34	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
36		climinff.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
37	29, 35, 36	chvarfv 2241	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
38	1, 2, 3, 22, 37	climinf 45591	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092  ran crn 5620  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  infcinf 9331  ℝcr 11008  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735   ⇝ cli 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395

This theorem is referenced by: (None)