Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinff 43859
Description: A version of climinf 43854 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 15-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
climinff.1 β„²π‘˜πœ‘
climinff.2 β„²π‘˜πΉ
climinff.3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climinff.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climinff.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
climinff.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
climinff.7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
climinff (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜   π‘₯,𝐹   π‘˜,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝑀(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem climinff
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climinff.3 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 climinff.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 climinff.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
4 climinff.1 . . . . 5 β„²π‘˜πœ‘
5 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
64, 5nfan 1903 . . . 4 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
7 climinff.2 . . . . . 6 β„²π‘˜πΉ
8 nfcv 2908 . . . . . 6 β„²π‘˜(𝑗 + 1)
97, 8nffv 6853 . . . . 5 β„²π‘˜(πΉβ€˜(𝑗 + 1))
10 nfcv 2908 . . . . 5 β„²π‘˜ ≀
11 nfcv 2908 . . . . . 6 β„²π‘˜π‘—
127, 11nffv 6853 . . . . 5 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘—)
139, 10, 12nfbr 5153 . . . 4 β„²π‘˜(πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘—)
146, 13nfim 1900 . . 3 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘—))
15 eleq1w 2821 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
1615anbi2d 630 . . . 4 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
17 fvoveq1 7381 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))
18 fveq2 6843 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
1917, 18breq12d 5119 . . . 4 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2016, 19imbi12d 345 . . 3 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
21 climinff.6 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
2214, 20, 21chvarfv 2234 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘—))
23 nfcv 2908 . . . . 5 β„²π‘˜β„
245nfci 2891 . . . . . 6 β„²π‘˜π‘
25 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²π‘˜π‘₯
2625, 10, 12nfbr 5153 . . . . . 6 β„²π‘˜ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)
2724, 26nfralw 3295 . . . . 5 β„²π‘˜βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)
2823, 27nfrexw 3297 . . . 4 β„²π‘˜βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)
294, 28nfim 1900 . . 3 β„²π‘˜(πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
30 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)
3118breq2d 5118 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3230, 26, 31cbvralw 3290 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3332a1i 11 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3433rexbidv 3176 . . . 4 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3534imbi2d 341 . . 3 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
36 climinff.7 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
3729, 35, 36chvarfv 2234 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
381, 2, 3, 22, 37climinf 43854 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2888  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5106  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  infcinf 9378  β„cr 11051  1c1 11053   + caddc 11055   < clt 11190   ≀ cle 11191  β„€cz 12500  β„€β‰₯cuz 12764   ⇝ cli 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator