Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinff 40413
Description: A version of climinf 40408 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 15-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
climinff.1 𝑘𝜑
climinff.2 𝑘𝐹
climinff.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
climinff.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climinff.5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinff.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
climinff.7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climinff (𝜑𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘   𝑥,𝐹   𝑘,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem climinff
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climinff.3 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climinff.4 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climinff.5 . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
4 climinff.1 . . . . 5 𝑘𝜑
5 nfv 2009 . . . . 5 𝑘 𝑗𝑍
64, 5nfan 1998 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
7 climinff.2 . . . . . 6 𝑘𝐹
8 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑘(𝑗 + 1)
97, 8nffv 6385 . . . . 5 𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
10 nfcv 2907 . . . . 5 𝑘
11 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑘𝑗
127, 11nffv 6385 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
139, 10, 12nfbr 4856 . . . 4 𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗)
146, 13nfim 1995 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))
15 eleq1w 2827 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1615anbi2d 622 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
17 fvoveq1 6865 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
18 fveq2 6375 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1917, 18breq12d 4822 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗)))
2016, 19imbi12d 335 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘)) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))))
21 climinff.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
2214, 20, 21chvar 2368 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))
23 nfcv 2907 . . . . 5 𝑘
245nfci 2897 . . . . . 6 𝑘𝑍
25 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑘𝑥
2625, 10, 12nfbr 4856 . . . . . 6 𝑘 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)
2724, 26nfral 3092 . . . . 5 𝑘𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)
2823, 27nfrex 3153 . . . 4 𝑘𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)
294, 28nfim 1995 . . 3 𝑘(𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
30 nfv 2009 . . . . . . 7 𝑗 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
3118breq2d 4821 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
3230, 26, 31cbvral 3315 . . . . . 6 (∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
3332a1i 11 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
3433rexbidv 3199 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
3534imbi2d 331 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ↔ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
36 climinff.7 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
3729, 35, 36chvar 2368 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
381, 2, 3, 22, 37climinf 40408 1 (𝜑𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wnfc 2894  wral 3055  wrex 3056   class class class wbr 4809  ran crn 5278  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  infcinf 8554  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cz 11624  cuz 11886  cli 14502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator