Theorem climinff 43152

Description: A version of climinf 43147 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 15-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
climinff.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climinff.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climinff.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climinff.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climinff.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinff.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
climinff.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climinff	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘   𝑥,𝐹   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem climinff

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climinff.3	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climinff.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climinff.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		climinff.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
6	4, 5	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
7		climinff.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 + 1)
9	7, 8	nffv 6784	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
10		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
11		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	7, 11	nffv 6784	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
13	9, 10, 12	nfbr 5121	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)
14	6, 13	nfim 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
15		eleq1w 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 629	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
17		fvoveq1 7298	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
18		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
19	17, 18	breq12d 5087	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)))
20	16, 19	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))))
21		climinff.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
22	14, 20, 21	chvarfv 2233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
23		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
24	5	nfci 2890	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
25		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
26	25, 10, 12	nfbr 5121	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
27	24, 26	nfralw 3151	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
28	23, 27	nfrex 3242	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
29	4, 28	nfim 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
30		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
31	18	breq2d 5086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
32	30, 26, 31	cbvralw 3373	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
34	33	rexbidv 3226	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
35	34	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
36		climinff.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
37	29, 35, 36	chvarfv 2233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
38	1, 2, 3, 22, 37	climinf 43147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ran crn 5590  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  infcinf 9200  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582   ⇝ cli 15193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197

This theorem is referenced by: (None)