Theorem climinff 45616

Description: A version of climinf 45611 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 15-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
climinff.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climinff.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climinff.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climinff.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climinff.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinff.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
climinff.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climinff	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘   𝑥,𝐹   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem climinff

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climinff.3	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climinff.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climinff.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		climinff.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
6	4, 5	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
7		climinff.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 + 1)
9	7, 8	nffv 6871	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
10		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
11		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	7, 11	nffv 6871	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
13	9, 10, 12	nfbr 5157	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)
14	6, 13	nfim 1896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
15		eleq1w 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
17		fvoveq1 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
18		fveq2 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
19	17, 18	breq12d 5123	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)))
20	16, 19	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))))
21		climinff.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
22	14, 20, 21	chvarfv 2241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
23		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
24	5	nfci 2880	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
25		nfcv 2892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
26	25, 10, 12	nfbr 5157	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
27	24, 26	nfralw 3287	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
28	23, 27	nfrexw 3289	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
29	4, 28	nfim 1896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
30		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
31	18	breq2d 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
32	30, 26, 31	cbvralw 3282	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
34	33	rexbidv 3158	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
35	34	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
36		climinff.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
37	29, 35, 36	chvarfv 2241	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
38	1, 2, 3, 22, 37	climinf 45611	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2877  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ran crn 5642  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  infcinf 9399  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800   ⇝ cli 15457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461

This theorem is referenced by: (None)