Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinff 41753
 Description: A version of climinf 41748 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 15-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
climinff.1 𝑘𝜑
climinff.2 𝑘𝐹
climinff.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
climinff.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climinff.5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinff.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
climinff.7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climinff (𝜑𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘   𝑥,𝐹   𝑘,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem climinff
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climinff.3 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climinff.4 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climinff.5 . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
4 climinff.1 . . . . 5 𝑘𝜑
5 nfv 1908 . . . . 5 𝑘 𝑗𝑍
64, 5nfan 1893 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
7 climinff.2 . . . . . 6 𝑘𝐹
8 nfcv 2981 . . . . . 6 𝑘(𝑗 + 1)
97, 8nffv 6676 . . . . 5 𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
10 nfcv 2981 . . . . 5 𝑘
11 nfcv 2981 . . . . . 6 𝑘𝑗
127, 11nffv 6676 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
139, 10, 12nfbr 5109 . . . 4 𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗)
146, 13nfim 1890 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))
15 eleq1w 2899 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1615anbi2d 628 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
17 fvoveq1 7174 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
18 fveq2 6666 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1917, 18breq12d 5075 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗)))
2016, 19imbi12d 346 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘)) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))))
21 climinff.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
2214, 20, 21chvar 2409 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹𝑗))
23 nfcv 2981 . . . . 5 𝑘
245nfci 2968 . . . . . 6 𝑘𝑍
25 nfcv 2981 . . . . . . 7 𝑘𝑥
2625, 10, 12nfbr 5109 . . . . . 6 𝑘 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)
2724, 26nfral 3230 . . . . 5 𝑘𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)
2823, 27nfrex 3313 . . . 4 𝑘𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)
294, 28nfim 1890 . . 3 𝑘(𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
30 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑗 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
3118breq2d 5074 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
3230, 26, 31cbvral 3450 . . . . . 6 (∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
3332a1i 11 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
3433rexbidv 3301 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
3534imbi2d 342 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ↔ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
36 climinff.7 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
3729, 35, 36chvar 2409 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
381, 2, 3, 22, 37climinf 41748 1 (𝜑𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2965  ∀wral 3142  ∃wrex 3143   class class class wbr 5062  ran crn 5554  ⟶wf 6347  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  infcinf 8897  ℝcr 10528  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667   ≤ cle 10668  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235   ⇝ cli 14834 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator