Theorem climinff 45640

Description: A version of climinf 45635 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 15-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
climinff.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climinff.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climinff.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climinff.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climinff.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinff.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
climinff.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climinff	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘   𝑥,𝐹   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem climinff

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climinff.3	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climinff.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climinff.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		climinff.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
6	4, 5	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
7		climinff.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 + 1)
9	7, 8	nffv 6886	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1))
10		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
11		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	7, 11	nffv 6886	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
13	9, 10, 12	nfbr 5166	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)
14	6, 13	nfim 1896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
15		eleq1w 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
17		fvoveq1 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
18		fveq2 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
19	17, 18	breq12d 5132	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗)))
20	16, 19	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))))
21		climinff.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
22	14, 20, 21	chvarfv 2240	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑗))
23		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
24	5	nfci 2886	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
25		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
26	25, 10, 12	nfbr 5166	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
27	24, 26	nfralw 3291	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
28	23, 27	nfrexw 3293	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)
29	4, 28	nfim 1896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
30		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
31	18	breq2d 5131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
32	30, 26, 31	cbvralw 3286	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
34	33	rexbidv 3164	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
35	34	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
36		climinff.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
37	29, 35, 36	chvarfv 2240	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
38	1, 2, 3, 22, 37	climinf 45635	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  ran crn 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  infcinf 9453  ℝcr 11128  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852   ⇝ cli 15500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504

This theorem is referenced by: (None)