MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmacl 23680
Description: Closure of ring addition for a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clm0.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmsub.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
clmacl ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem clmacl
StepHypRef Expression
1 clm0.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 clmsub.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
31, 2clmsubrg 23662 . 2 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
4 cnfldadd 20542 . . 3 + = (+g‘ℂfld)
54subrgacl 19538 . 2 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
63, 5syl3an1 1158 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  cfv 6348  (class class class)co 7148   + caddc 10532  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560  SubRingcsubrg 19523  fldccnfld 20537  ℂModcclm 23658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-subg 18268  df-ring 19291  df-subrg 19525  df-cnfld 20538  df-clm 23659
This theorem is referenced by:  cph2subdi  23806  ipcau2  23829  tcphcphlem1  23830  nmparlem  23834
  Copyright terms: Public domain W3C validator