Theorem clmmul 24249

Description: The multiplication of the scalar ring of a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clm0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmmul	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘𝐹))

Proof of Theorem clmmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6784	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) ∈ V
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)) = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹))
3		cnfldmul 20614	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
4	2, 3	ressmulr 17028	. . 3 ⊢ ((Base‘𝐹) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (Base‘𝐹))))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (Base‘𝐹)))
6		clm0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8	6, 7	clmsca 24239	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)))
9	8	fveq2d 6775	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (.r‘𝐹) = (.r‘(ℂfld ↾s (Base‘𝐹))))
10	5, 9	eqtr4id 2799	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272   · cmul 10887  Basecbs 16923   ↾_s cress 16952  ._rcmulr 16974  Scalarcsca 16976  ℂ_fldccnfld 20608  ℂModcclm 24236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-mulf 10962

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-fz 13251  df-struct 16859  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-starv 16988  df-tset 16992  df-ple 16993  df-ds 16995  df-unif 16996  df-cnfld 20609  df-clm 24237

This theorem is referenced by:  clmvsass  24263  cvsi  24304  cphass  24386  cphassr  24387  tcphcphlem2  24411