Theorem clmmul 24824

Description: The multiplication of the scalar ring of a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clm0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmmul	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘𝐹))

Proof of Theorem clmmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6905	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) ∈ V
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)) = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹))
3		cnfldmul 21152	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
4	2, 3	ressmulr 17258	. . 3 ⊢ ((Base‘𝐹) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (Base‘𝐹))))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (Base‘𝐹)))
6		clm0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8	6, 7	clmsca 24814	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)))
9	8	fveq2d 6896	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (.r‘𝐹) = (.r‘(ℂfld ↾s (Base‘𝐹))))
10	5, 9	eqtr4id 2789	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413   · cmul 11119  Basecbs 17150   ↾_s cress 17179  ._rcmulr 17204  Scalarcsca 17206  ℂ_fldccnfld 21146  ℂModcclm 24811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-mulf 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-fz 13491  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-cnfld 21147  df-clm 24812

This theorem is referenced by:  clmvsass  24838  cvsi  24879  cphass  24961  cphassr  24962  tcphcphlem2  24986