Theorem cnmsgnbas 20406

Description: The base set of the sign subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmsgngrp.u	⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})

Assertion

Ref	Expression
cnmsgnbas	⊢ {1, -1} = (Base‘𝑈)

Proof of Theorem cnmsgnbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10685	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		neg1cn 11842	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		prssi 4719	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ {1, -1} ⊆ ℂ
5		cnmsgngrp.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
6		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
7		cnfldbas 20233	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8	6, 7	mgpbas 19376	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
9	5, 8	ressbas2 16670	. 2 ⊢ ({1, -1} ⊆ ℂ → {1, -1} = (Base‘𝑈))
10	4, 9	ax-mp 5	1 ⊢ {1, -1} = (Base‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3853  {cpr 4528  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182  ℂcc 10625  1c1 10628  -cneg 10961  Basecbs 16598   ↾_s cress 16599  mulGrpcmgp 19370  ℂ_fldccnfld 20229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-z 12075  df-dec 12192  df-uz 12337  df-fz 12994  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-starv 16695  df-tset 16699  df-ple 16700  df-ds 16702  df-unif 16703  df-mgp 19371  df-cnfld 20230

This theorem is referenced by:  psgnghm  20408  psgninv  20410  psgnodpm  20416