MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsgnbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsgnbas 20414
Description: The base set of the sign subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmsgngrp.u 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
Assertion
Ref Expression
cnmsgnbas {1, -1} = (Base‘𝑈)

Proof of Theorem cnmsgnbas
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10385 . . 3 1 ∈ ℂ
2 neg1cn 11554 . . 3 -1 ∈ ℂ
3 prssi 4622 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
41, 2, 3mp2an 679 . 2 {1, -1} ⊆ ℂ
5 cnmsgngrp.u . . 3 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
6 eqid 2772 . . . 4 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
7 cnfldbas 20241 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
86, 7mgpbas 18958 . . 3 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
95, 8ressbas2 16401 . 2 ({1, -1} ⊆ ℂ → {1, -1} = (Base‘𝑈))
104, 9ax-mp 5 1 {1, -1} = (Base‘𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1507  wcel 2048  wss 3825  {cpr 4437  cfv 6182  (class class class)co 6970  cc 10325  1c1 10328  -cneg 10663  Basecbs 16329  s cress 16330  mulGrpcmgp 18952  fldccnfld 20237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-mgp 18953  df-cnfld 20238
This theorem is referenced by:  psgnghm  20416  psgninv  20418  psgnodpm  20424
  Copyright terms: Public domain W3C validator