Theorem dlwwlknondlwlknonen 27908

Description: The sets of the two representations of double loops of a fixed length on a fixed vertex are equinumerous. (Contributed by AV, 30-May-2022.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dlwwlknondlwlknonbij.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
dlwwlknondlwlknonbij.w	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
dlwwlknondlwlknonbij.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}

Assertion

Ref	Expression
dlwwlknondlwlknonen	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑊 ≈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝑉(𝑤)   𝑊(𝑤)

Proof of Theorem dlwwlknondlwlknonen

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dlwwlknondlwlknonbij.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
2		fvex 6506	. . 3 ⊢ (ClWalks‘𝐺) ∈ V
3	1, 2	rabex2 5087	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ V
4		dlwwlknondlwlknonbij.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}
5		ovex 7002	. . 3 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ V
6	4, 5	rabex2 5087	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ V
7		dlwwlknondlwlknonbij.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		eqid 2772	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑊 ↦ ((2nd ‘𝑐) prefix (♯‘(1st ‘𝑐)))) = (𝑐 ∈ 𝑊 ↦ ((2nd ‘𝑐) prefix (♯‘(1st ‘𝑐))))
9	7, 1, 4, 8	dlwwlknondlwlknonf1o 27906	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑐 ∈ 𝑊 ↦ ((2nd ‘𝑐) prefix (♯‘(1st ‘𝑐)))):𝑊–1-1-onto→𝐷)
10		f1oen2g 8315	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V ∧ (𝑐 ∈ 𝑊 ↦ ((2nd ‘𝑐) prefix (♯‘(1st ‘𝑐)))):𝑊–1-1-onto→𝐷) → 𝑊 ≈ 𝐷)
11	3, 6, 9, 10	mp3an12i 1444	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑊 ≈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  {crab 3086  Vcvv 3409   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002  –1-1-onto→wf1o 6181  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  1^st c1st 7492  2^nd c2nd 7493   ≈ cen 8295  0cc0 10327   − cmin 10662  2c2 11488  ℤ_≥cuz 12051  ♯chash 13498   prefix cpfx 13842  Vtxcvtx 26474  USPGraphcuspgr 26626  ClWalkscclwlks 27249  ClWWalksNOncclwwlknon 27605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-ifp 1044  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-dju 9116  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-n0 11701  df-xnn0 11773  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-hash 13499  df-word 13663  df-lsw 13716  df-concat 13724  df-s1 13749  df-substr 13794  df-pfx 13843  df-edg 26526  df-uhgr 26536  df-upgr 26560  df-uspgr 26628  df-wlks 27074  df-clwlks 27250  df-clwwlk 27478  df-clwwlkn 27530  df-clwwlknon 27606

This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2  27913