MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dlwwlknondlwlknonen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dlwwlknondlwlknonen 27908
Description: The sets of the two representations of double loops of a fixed length on a fixed vertex are equinumerous. (Contributed by AV, 30-May-2022.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dlwwlknondlwlknonbij.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
dlwwlknondlwlknonbij.w 𝑊 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
dlwwlknondlwlknonbij.d 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}
Assertion
Ref Expression
dlwwlknondlwlknonen ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑊𝐷)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝑉(𝑤)   𝑊(𝑤)

Proof of Theorem dlwwlknondlwlknonen
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dlwwlknondlwlknonbij.w . . 3 𝑊 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
2 fvex 6506 . . 3 (ClWalks‘𝐺) ∈ V
31, 2rabex2 5087 . 2 𝑊 ∈ V
4 dlwwlknondlwlknonbij.d . . 3 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}
5 ovex 7002 . . 3 (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ V
64, 5rabex2 5087 . 2 𝐷 ∈ V
7 dlwwlknondlwlknonbij.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 eqid 2772 . . 3 (𝑐𝑊 ↦ ((2nd𝑐) prefix (♯‘(1st𝑐)))) = (𝑐𝑊 ↦ ((2nd𝑐) prefix (♯‘(1st𝑐))))
97, 1, 4, 8dlwwlknondlwlknonf1o 27906 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑐𝑊 ↦ ((2nd𝑐) prefix (♯‘(1st𝑐)))):𝑊1-1-onto𝐷)
10 f1oen2g 8315 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V ∧ (𝑐𝑊 ↦ ((2nd𝑐) prefix (♯‘(1st𝑐)))):𝑊1-1-onto𝐷) → 𝑊𝐷)
113, 6, 9, 10mp3an12i 1444 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑊𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  {crab 3086  Vcvv 3409   class class class wbr 4923  cmpt 5002  1-1-ontowf1o 6181  cfv 6182  (class class class)co 6970  1st c1st 7492  2nd c2nd 7493  cen 8295  0cc0 10327  cmin 10662  2c2 11488  cuz 12051  chash 13498   prefix cpfx 13842  Vtxcvtx 26474  USPGraphcuspgr 26626  ClWalkscclwlks 27249  ClWWalksNOncclwwlknon 27605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-ifp 1044  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-dju 9116  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-n0 11701  df-xnn0 11773  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-hash 13499  df-word 13663  df-lsw 13716  df-concat 13724  df-s1 13749  df-substr 13794  df-pfx 13843  df-edg 26526  df-uhgr 26536  df-upgr 26560  df-uspgr 26628  df-wlks 27074  df-clwlks 27250  df-clwwlk 27478  df-clwwlkn 27530  df-clwwlknon 27606
This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2  27913
  Copyright terms: Public domain W3C validator