Theorem dlwwlknondlwlknonen 30163

Description: The sets of the two representations of double loops of a fixed length on a fixed vertex are equinumerous. (Contributed by AV, 30-May-2022.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dlwwlknondlwlknonbij.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
dlwwlknondlwlknonbij.w	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
dlwwlknondlwlknonbij.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}

Assertion

Ref	Expression
dlwwlknondlwlknonen	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑊 ≈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝑉(𝑤)   𝑊(𝑤)

Proof of Theorem dlwwlknondlwlknonen

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dlwwlknondlwlknonbij.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
2		fvex 6904	. . 3 ⊢ (ClWalks‘𝐺) ∈ V
3	1, 2	rabex2 5330	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ V
4		dlwwlknondlwlknonbij.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}
5		ovex 7447	. . 3 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ V
6	4, 5	rabex2 5330	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ V
7		dlwwlknondlwlknonbij.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		eqid 2727	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑊 ↦ ((2nd ‘𝑐) prefix (♯‘(1st ‘𝑐)))) = (𝑐 ∈ 𝑊 ↦ ((2nd ‘𝑐) prefix (♯‘(1st ‘𝑐))))
9	7, 1, 4, 8	dlwwlknondlwlknonf1o 30162	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑐 ∈ 𝑊 ↦ ((2nd ‘𝑐) prefix (♯‘(1st ‘𝑐)))):𝑊–1-1-onto→𝐷)
10		f1oen2g 8980	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V ∧ (𝑐 ∈ 𝑊 ↦ ((2nd ‘𝑐) prefix (♯‘(1st ‘𝑐)))):𝑊–1-1-onto→𝐷) → 𝑊 ≈ 𝐷)
11	3, 6, 9, 10	mp3an12i 1462	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑊 ≈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  –1-1-onto→wf1o 6541  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1^st c1st 7985  2^nd c2nd 7986   ≈ cen 8952  0cc0 11130   − cmin 11466  2c2 12289  ℤ_≥cuz 12844  ♯chash 14313   prefix cpfx 14644  Vtxcvtx 28796  USPGraphcuspgr 28948  ClWalkscclwlks 29571  ClWWalksNOncclwwlknon 29884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-lsw 14537  df-concat 14545  df-s1 14570  df-substr 14615  df-pfx 14645  df-edg 28848  df-uhgr 28858  df-upgr 28882  df-uspgr 28950  df-wlks 29400  df-clwlks 29572  df-clwwlk 29779  df-clwwlkn 29822  df-clwwlknon 29885

This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2  30167