Theorem knoppndvlem9 37109

Description: Lemma for knoppndv 37123. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem9.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem9.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem9.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem9.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem9.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem9.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem9.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem9.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) / 2))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem9

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem9.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppndvlem9.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppndvlem9.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
4		knoppndvlem9.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
5		knoppndvlem9.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		knoppndvlem9.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	knoppndvlem7 37107	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
8		knoppndvlem9.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
9		odd2np1 16394	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
10	5, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
11	8, 10	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)
12		eqcom 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 ↔ 𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
13	12	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 → 𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
14	13	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
15	14	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
16	15	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
17		2cnd 12314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
18		zcn 12591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
19	18	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 11224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21		1cnd 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
22		2ne0 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
24	20, 21, 17, 23	divdird 12024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)))
25	19, 17, 23	divcan3d 11991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑚) / 2) = 𝑚)
26	25	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)) = (𝑚 + (1 / 2)))
27	24, 26	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
28	27	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
29	16, 28	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
30	29	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))))
31		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℤ)
32	1, 31	dnizphlfeqhlf 37065	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
33	32	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
34	33	adantrr 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
35	30, 34	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
36	11, 35	rexlimddv 3172	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
37	36	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))) = ((𝐶↑𝐽) · (1 / 2)))
38		knoppndvlem9.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
39	38	knoppndvlem3 37103	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
40	39	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
41	40	recnd 11232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
42	41, 4	expcld 14178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝐽) ∈ ℂ)
43		1cnd 11197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
44		2cnd 12314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
45	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
46	42, 43, 44, 45	div12d 12022	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (1 / 2)) = (1 · ((𝐶↑𝐽) / 2)))
47	42, 44, 45	divcld 11986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
48	47	mullidd 11222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · ((𝐶↑𝐽) / 2)) = ((𝐶↑𝐽) / 2))
49	46, 48	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (1 / 2)) = ((𝐶↑𝐽) / 2))
50	7, 37, 49	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) / 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   < clt 11238   − cmin 11436  -cneg 11437   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  (,)cioo 13367  ⌊cfl 13819  ↑cexp 14093  abscabs 15281   ∥ cdvds 16305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-ioo 13371  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306

This theorem is referenced by:  knoppndvlem10  37110