Theorem knoppndvlem9 34627

Description: Lemma for knoppndv 34641. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem9.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem9.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem9.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem9.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem9.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem9.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem9.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem9.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) / 2))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem9

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem9.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppndvlem9.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppndvlem9.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
4		knoppndvlem9.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
5		knoppndvlem9.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		knoppndvlem9.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	knoppndvlem7 34625	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
8		knoppndvlem9.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
9		odd2np1 15978	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
11	8, 10	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)
12		eqcom 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 ↔ 𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
13	12	biimpi 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 → 𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
14	13	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
16	15	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
17		2cnd 11981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
18		zcn 12254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 10926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21		1cnd 10901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
22		2ne0 12007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
24	20, 21, 17, 23	divdird 11719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)))
25	19, 17, 23	divcan3d 11686	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑚) / 2) = 𝑚)
26	25	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)) = (𝑚 + (1 / 2)))
27	24, 26	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
28	27	adantrr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
29	16, 28	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
30	29	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))))
31		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℤ)
32	1, 31	dnizphlfeqhlf 34583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
34	33	adantrr 713	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
35	30, 34	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
36	11, 35	rexlimddv 3219	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
37	36	oveq2d 7271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))) = ((𝐶↑𝐽) · (1 / 2)))
38		knoppndvlem9.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
39	38	knoppndvlem3 34621	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
40	39	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
41	40	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
42	41, 4	expcld 13792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝐽) ∈ ℂ)
43		1cnd 10901	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
44		2cnd 11981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
45	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
46	42, 43, 44, 45	div12d 11717	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (1 / 2)) = (1 · ((𝐶↑𝐽) / 2)))
47	42, 44, 45	divcld 11681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
48	47	mulid2d 10924	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · ((𝐶↑𝐽) / 2)) = ((𝐶↑𝐽) / 2))
49	46, 48	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (1 / 2)) = ((𝐶↑𝐽) / 2))
50	7, 37, 49	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) / 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  (,)cioo 13008  ⌊cfl 13438  ↑cexp 13710  abscabs 14873   ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ioo 13012  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892

This theorem is referenced by:  knoppndvlem10  34628