Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem9 33879
Description: Lemma for knoppndv 33893. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem9.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem9.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem9.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem9.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem9.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem9.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem9.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem9.1 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem9 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem9
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem9.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppndvlem9.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppndvlem9.a . . 3 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
4 knoppndvlem9.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
5 knoppndvlem9.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 knoppndvlem9.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
71, 2, 3, 4, 5, 6knoppndvlem7 33877 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
8 knoppndvlem9.1 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
9 odd2np1 15681 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
105, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
118, 10mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)
12 eqcom 2831 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
1312biimpi 219 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
1413oveq1d 7155 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
1514adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
1615adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
17 2cnd 11703 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
18 zcn 11974 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
1918adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
2017, 19mulcld 10648 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21 1cnd 10623 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
22 2ne0 11729 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
2420, 21, 17, 23divdird 11441 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)))
2519, 17, 23divcan3d 11408 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑚) / 2) = 𝑚)
2625oveq1d 7155 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)) = (𝑚 + (1 / 2)))
2724, 26eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
2827adantrr 716 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
2916, 28eqtrd 2859 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
3029fveq2d 6657 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))))
31 id 22 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℤ)
321, 31dnizphlfeqhlf 33835 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
3332adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
3433adantrr 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
3530, 34eqtrd 2859 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
3611, 35rexlimddv 3283 . . 3 (𝜑 → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
3736oveq2d 7156 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))) = ((𝐶𝐽) · (1 / 2)))
38 knoppndvlem9.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
3938knoppndvlem3 33873 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
4039simpld 498 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4140recnd 10656 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4241, 4expcld 13506 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
43 1cnd 10623 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
44 2cnd 11703 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4522a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
4642, 43, 44, 45div12d 11439 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (1 / 2)) = (1 · ((𝐶𝐽) / 2)))
4742, 44, 45divcld 11403 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐽) / 2) ∈ ℂ)
4847mulid2d 10646 . . 3 (𝜑 → (1 · ((𝐶𝐽) / 2)) = ((𝐶𝐽) / 2))
4946, 48eqtrd 2859 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (1 / 2)) = ((𝐶𝐽) / 2))
507, 37, 493eqtrd 2863 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wrex 3133   class class class wbr 5049  cmpt 5129  cfv 6338  (class class class)co 7140  cc 10522  cr 10523  0cc0 10524  1c1 10525   + caddc 10527   · cmul 10529   < clt 10662  cmin 10857  -cneg 10858   / cdiv 11284  cn 11625  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  (,)cioo 12726  cfl 13155  cexp 13425  abscabs 14584  cdvds 15598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599
This theorem is referenced by:  knoppndvlem10  33880
  Copyright terms: Public domain W3C validator