Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem9 34774
Description: Lemma for knoppndv 34788. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem9.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem9.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem9.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem9.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem9.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem9.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem9.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem9.1 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem9 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem9
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem9.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppndvlem9.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppndvlem9.a . . 3 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
4 knoppndvlem9.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
5 knoppndvlem9.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 knoppndvlem9.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
71, 2, 3, 4, 5, 6knoppndvlem7 34772 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
8 knoppndvlem9.1 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
9 odd2np1 16129 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
105, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
118, 10mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)
12 eqcom 2744 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
1312biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
1413oveq1d 7332 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
1514adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
1615adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
17 2cnd 12131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
18 zcn 12404 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
2017, 19mulcld 11075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21 1cnd 11050 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
22 2ne0 12157 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
2420, 21, 17, 23divdird 11869 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)))
2519, 17, 23divcan3d 11836 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑚) / 2) = 𝑚)
2625oveq1d 7332 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)) = (𝑚 + (1 / 2)))
2724, 26eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
2827adantrr 714 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
2916, 28eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
3029fveq2d 6816 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))))
31 id 22 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℤ)
321, 31dnizphlfeqhlf 34730 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
3332adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
3433adantrr 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
3530, 34eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
3611, 35rexlimddv 3155 . . 3 (𝜑 → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
3736oveq2d 7333 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))) = ((𝐶𝐽) · (1 / 2)))
38 knoppndvlem9.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
3938knoppndvlem3 34768 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
4039simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4140recnd 11083 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4241, 4expcld 13944 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
43 1cnd 11050 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
44 2cnd 12131 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4522a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
4642, 43, 44, 45div12d 11867 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (1 / 2)) = (1 · ((𝐶𝐽) / 2)))
4742, 44, 45divcld 11831 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐽) / 2) ∈ ℂ)
4847mulid2d 11073 . . 3 (𝜑 → (1 · ((𝐶𝐽) / 2)) = ((𝐶𝐽) / 2))
4946, 48eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (1 / 2)) = ((𝐶𝐽) / 2))
507, 37, 493eqtrd 2781 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  wrex 3071   class class class wbr 5087  cmpt 5170  cfv 6466  (class class class)co 7317  cc 10949  cr 10950  0cc0 10951  1c1 10952   + caddc 10954   · cmul 10956   < clt 11089  cmin 11285  -cneg 11286   / cdiv 11712  cn 12053  2c2 12108  0cn0 12313  cz 12399  (,)cioo 13159  cfl 13590  cexp 13862  abscabs 15024  cdvds 16042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-sup 9278  df-inf 9279  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-n0 12314  df-z 12400  df-uz 12663  df-rp 12811  df-ioo 13163  df-fl 13592  df-seq 13802  df-exp 13863  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891  df-sqrt 15025  df-abs 15026  df-dvds 16043
This theorem is referenced by:  knoppndvlem10  34775
  Copyright terms: Public domain W3C validator