Theorem knoppndvlem9 34983

Description: Lemma for knoppndv 34997. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem9.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem9.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem9.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem9.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem9.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem9.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem9.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem9.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) / 2))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem9

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem9.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppndvlem9.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppndvlem9.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
4		knoppndvlem9.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
5		knoppndvlem9.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		knoppndvlem9.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	knoppndvlem7 34981	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
8		knoppndvlem9.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
9		odd2np1 16223	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
11	8, 10	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)
12		eqcom 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 ↔ 𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
13	12	biimpi 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 → 𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
14	13	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
15	14	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
16	15	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
17		2cnd 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
18		zcn 12504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21		1cnd 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
22		2ne0 12257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
24	20, 21, 17, 23	divdird 11969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)))
25	19, 17, 23	divcan3d 11936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑚) / 2) = 𝑚)
26	25	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)) = (𝑚 + (1 / 2)))
27	24, 26	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
28	27	adantrr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
29	16, 28	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
30	29	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))))
31		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℤ)
32	1, 31	dnizphlfeqhlf 34939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
33	32	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
34	33	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
35	30, 34	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
36	11, 35	rexlimddv 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
37	36	oveq2d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))) = ((𝐶↑𝐽) · (1 / 2)))
38		knoppndvlem9.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
39	38	knoppndvlem3 34977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
40	39	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
41	40	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
42	41, 4	expcld 14051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝐽) ∈ ℂ)
43		1cnd 11150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
44		2cnd 12231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
45	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
46	42, 43, 44, 45	div12d 11967	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (1 / 2)) = (1 · ((𝐶↑𝐽) / 2)))
47	42, 44, 45	divcld 11931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
48	47	mulid2d 11173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · ((𝐶↑𝐽) / 2)) = ((𝐶↑𝐽) / 2))
49	46, 48	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (1 / 2)) = ((𝐶↑𝐽) / 2))
50	7, 37, 49	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) / 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   − cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  (,)cioo 13264  ⌊cfl 13695  ↑cexp 13967  abscabs 15119   ∥ cdvds 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ioo 13268  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137

This theorem is referenced by:  knoppndvlem10  34984