Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem9 35931
Description: Lemma for knoppndv 35945. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem9.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
knoppndvlem9.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppndvlem9.a ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
knoppndvlem9.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
knoppndvlem9.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
knoppndvlem9.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
knoppndvlem9.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
knoppndvlem9.1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem9 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘ฆ   ๐ถ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐ฝ   ๐‘›,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐‘‡(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem knoppndvlem9
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem9.t . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
2 knoppndvlem9.f . . 3 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
3 knoppndvlem9.a . . 3 ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
4 knoppndvlem9.j . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
5 knoppndvlem9.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
6 knoppndvlem9.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
71, 2, 3, 4, 5, 6knoppndvlem7 35929 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2))))
8 knoppndvlem9.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
9 odd2np1 16309 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€))
105, 9syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€))
118, 10mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€)
12 eqcom 2734 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€ โ†” ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘š) + 1))
1312biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘š) + 1))
1413oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€ โ†’ (๐‘€ / 2) = (((2 ยท ๐‘š) + 1) / 2))
1514adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€) โ†’ (๐‘€ / 2) = (((2 ยท ๐‘š) + 1) / 2))
1615adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€)) โ†’ (๐‘€ / 2) = (((2 ยท ๐‘š) + 1) / 2))
17 2cnd 12312 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
18 zcn 12585 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
1918adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
2017, 19mulcld 11256 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
21 1cnd 11231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
22 2ne0 12338 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โ‰  0)
2420, 21, 17, 23divdird 12050 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘š) + 1) / 2) = (((2 ยท ๐‘š) / 2) + (1 / 2)))
2519, 17, 23divcan3d 12017 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) / 2) = ๐‘š)
2625oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘š) / 2) + (1 / 2)) = (๐‘š + (1 / 2)))
2724, 26eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘š) + 1) / 2) = (๐‘š + (1 / 2)))
2827adantrr 716 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€)) โ†’ (((2 ยท ๐‘š) + 1) / 2) = (๐‘š + (1 / 2)))
2916, 28eqtrd 2767 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€)) โ†’ (๐‘€ / 2) = (๐‘š + (1 / 2)))
3029fveq2d 6895 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2)) = (๐‘‡โ€˜(๐‘š + (1 / 2))))
31 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
321, 31dnizphlfeqhlf 35887 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘š + (1 / 2))) = (1 / 2))
3332adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘š + (1 / 2))) = (1 / 2))
3433adantrr 716 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘š + (1 / 2))) = (1 / 2))
3530, 34eqtrd 2767 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2)) = (1 / 2))
3611, 35rexlimddv 3156 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2)) = (1 / 2))
3736oveq2d 7430 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2))) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (1 / 2)))
38 knoppndvlem9.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
3938knoppndvlem3 35925 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) < 1))
4039simpld 494 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
4140recnd 11264 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4241, 4expcld 14134 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
43 1cnd 11231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
44 2cnd 12312 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4522a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
4642, 43, 44, 45div12d 12048 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (1 / 2)) = (1 ยท ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)))
4742, 44, 45divcld 12012 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„‚)
4847mullidd 11254 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
4946, 48eqtrd 2767 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (1 / 2)) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
507, 37, 493eqtrd 2771 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  2c2 12289  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  (,)cioo 13348  โŒŠcfl 13779  โ†‘cexp 14050  abscabs 15205   โˆฅ cdvds 16222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ioo 13352  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223
This theorem is referenced by:  knoppndvlem10  35932
  Copyright terms: Public domain W3C validator