Theorem knoppndvlem9 37601

Description: Lemma for knoppndv 37615. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem9.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem9.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem9.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem9.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( -1(,)1))
knoppndvlem9.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem9.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem9.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem9.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) / 2))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝐽(𝑥, 𝑦)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem9

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem9.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppndvlem9.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppndvlem9.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀)
4		knoppndvlem9.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
5		knoppndvlem9.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		knoppndvlem9.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	knoppndvlem7 37599	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
8		knoppndvlem9.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
9		odd2np1 16555	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
10	5, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
11	8, 10	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)
12		eqcom 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 ↔ 𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
13	12	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 → 𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
14	13	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
15	14	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
16	15	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
17		2cnd 12461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
18		zcn 12738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 11368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21		1cnd 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
22		2ne0 12489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
24	20, 21, 17, 23	divdird 12171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)))
25	19, 17, 23	divcan3d 12138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑚) / 2) = 𝑚)
26	25	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)) = (𝑚 + (1 / 2)))
27	24, 26	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
28	27	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
29	16, 28	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
30	29	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))))
31		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℤ)
32	1, 31	dnizphlfeqhlf 37557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
33	32	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
34	33	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
35	30, 34	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
36	11, 35	rexlimddv 3173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
37	36	oveq2d 7467	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))) = ((𝐶↑𝐽) · (1 / 2)))
38		knoppndvlem9.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( -1(,)1))
39	38	knoppndvlem3 37595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
40	39	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
41	40	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
42	41, 4	expcld 14329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝐽) ∈ ℂ)
43		1cnd 11341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
44		2cnd 12461	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
45	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
46	42, 43, 44, 45	div12d 12169	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (1 / 2)) = (1 · ((𝐶↑𝐽) / 2)))
47	42, 44, 45	divcld 12133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
48	47	mullidd 11366	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · ((𝐶↑𝐽) / 2)) = ((𝐶↑𝐽) / 2))
49	46, 48	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (1 / 2)) = ((𝐶↑𝐽) / 2))
50	7, 37, 49	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) / 2))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  (,)cioo 13516  ⌊cfl 13970  ↑cexp 14244  abscabs 15444   ∥ cdvds 16466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ioo 13520  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467

This theorem is used by:  knoppndvlem10  37602