Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem9 33756
Description: Lemma for knoppndv 33770. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem9.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem9.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem9.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem9.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem9.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem9.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem9.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem9.1 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem9 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem9
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem9.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppndvlem9.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppndvlem9.a . . 3 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
4 knoppndvlem9.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
5 knoppndvlem9.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 knoppndvlem9.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
71, 2, 3, 4, 5, 6knoppndvlem7 33754 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
8 knoppndvlem9.1 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
9 odd2np1 15678 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
105, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
118, 10mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)
12 eqcom 2825 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
1312biimpi 217 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
1413oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
1514adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
1615adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
17 2cnd 11703 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
18 zcn 11974 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
2017, 19mulcld 10649 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21 1cnd 10624 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
22 2ne0 11729 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
2420, 21, 17, 23divdird 11442 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)))
2519, 17, 23divcan3d 11409 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑚) / 2) = 𝑚)
2625oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)) = (𝑚 + (1 / 2)))
2724, 26eqtrd 2853 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
2827adantrr 713 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
2916, 28eqtrd 2853 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
3029fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))))
31 id 22 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℤ)
321, 31dnizphlfeqhlf 33712 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
3332adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
3433adantrr 713 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
3530, 34eqtrd 2853 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
3611, 35rexlimddv 3288 . . 3 (𝜑 → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
3736oveq2d 7161 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))) = ((𝐶𝐽) · (1 / 2)))
38 knoppndvlem9.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
3938knoppndvlem3 33750 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
4039simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4140recnd 10657 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4241, 4expcld 13498 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
43 1cnd 10624 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
44 2cnd 11703 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4522a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
4642, 43, 44, 45div12d 11440 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (1 / 2)) = (1 · ((𝐶𝐽) / 2)))
4742, 44, 45divcld 11404 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐽) / 2) ∈ ℂ)
4847mulid2d 10647 . . 3 (𝜑 → (1 · ((𝐶𝐽) / 2)) = ((𝐶𝐽) / 2))
4946, 48eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (1 / 2)) = ((𝐶𝐽) / 2))
507, 37, 493eqtrd 2857 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  (,)cioo 12726  cfl 13148  cexp 13417  abscabs 14581  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596
This theorem is referenced by:  knoppndvlem10  33757
  Copyright terms: Public domain W3C validator