Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem9 36048
Description: Lemma for knoppndv 36062. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem9.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
knoppndvlem9.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppndvlem9.a ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
knoppndvlem9.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
knoppndvlem9.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
knoppndvlem9.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
knoppndvlem9.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
knoppndvlem9.1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem9 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘ฆ   ๐ถ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐ฝ   ๐‘›,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐‘‡(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem knoppndvlem9
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem9.t . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
2 knoppndvlem9.f . . 3 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
3 knoppndvlem9.a . . 3 ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
4 knoppndvlem9.j . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
5 knoppndvlem9.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
6 knoppndvlem9.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
71, 2, 3, 4, 5, 6knoppndvlem7 36046 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2))))
8 knoppndvlem9.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
9 odd2np1 16312 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€))
105, 9syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€))
118, 10mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€)
12 eqcom 2732 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€ โ†” ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘š) + 1))
1312biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘š) + 1))
1413oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€ โ†’ (๐‘€ / 2) = (((2 ยท ๐‘š) + 1) / 2))
1514adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€) โ†’ (๐‘€ / 2) = (((2 ยท ๐‘š) + 1) / 2))
1615adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€)) โ†’ (๐‘€ / 2) = (((2 ยท ๐‘š) + 1) / 2))
17 2cnd 12315 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
18 zcn 12588 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
1918adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
2017, 19mulcld 11259 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
21 1cnd 11234 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
22 2ne0 12341 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โ‰  0)
2420, 21, 17, 23divdird 12053 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘š) + 1) / 2) = (((2 ยท ๐‘š) / 2) + (1 / 2)))
2519, 17, 23divcan3d 12020 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) / 2) = ๐‘š)
2625oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘š) / 2) + (1 / 2)) = (๐‘š + (1 / 2)))
2724, 26eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘š) + 1) / 2) = (๐‘š + (1 / 2)))
2827adantrr 715 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€)) โ†’ (((2 ยท ๐‘š) + 1) / 2) = (๐‘š + (1 / 2)))
2916, 28eqtrd 2765 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€)) โ†’ (๐‘€ / 2) = (๐‘š + (1 / 2)))
3029fveq2d 6894 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2)) = (๐‘‡โ€˜(๐‘š + (1 / 2))))
31 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
321, 31dnizphlfeqhlf 36004 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘š + (1 / 2))) = (1 / 2))
3332adantl 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘š + (1 / 2))) = (1 / 2))
3433adantrr 715 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘š + (1 / 2))) = (1 / 2))
3530, 34eqtrd 2765 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘š) + 1) = ๐‘€)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2)) = (1 / 2))
3611, 35rexlimddv 3151 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2)) = (1 / 2))
3736oveq2d 7429 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2))) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (1 / 2)))
38 knoppndvlem9.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
3938knoppndvlem3 36042 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) < 1))
4039simpld 493 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
4140recnd 11267 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4241, 4expcld 14137 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
43 1cnd 11234 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
44 2cnd 12315 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4522a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
4642, 43, 44, 45div12d 12051 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (1 / 2)) = (1 ยท ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)))
4742, 44, 45divcld 12015 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„‚)
4847mullidd 11257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
4946, 48eqtrd 2765 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (1 / 2)) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
507, 37, 493eqtrd 2769 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆƒwrex 3060   class class class wbr 5144   โ†ฆ cmpt 5227  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   < clt 11273   โˆ’ cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11896  โ„•cn 12237  2c2 12292  โ„•0cn0 12497  โ„คcz 12583  (,)cioo 13351  โŒŠcfl 13782  โ†‘cexp 14053  abscabs 15208   โˆฅ cdvds 16225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ioo 13355  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-dvds 16226
This theorem is referenced by:  knoppndvlem10  36049
  Copyright terms: Public domain W3C validator