Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drgextgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drgextgsum 33632
Description: Group sum in a division ring extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
drgext.b 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1 (𝜑𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f 𝐹 = (𝐸s 𝑈)
drgext.3 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
drgextgsum.1 (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
drgextgsum (𝜑 → (𝐸 Σg (𝑖𝑋𝑌)) = (𝐵 Σg (𝑖𝑋𝑌)))
Distinct variable group:   𝑖,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑈(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem drgextgsum
StepHypRef Expression
1 drgext.b . 2 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
2 drgextgsum.1 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
32mptexd 7242 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑋𝑌) ∈ V)
4 drgext.1 . 2 (𝜑𝐸 ∈ DivRing)
5 drgext.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
6 drgext.2 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
7 drgext.f . . . 4 𝐹 = (𝐸s 𝑈)
81, 7sralvec 33623 . . 3 ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐵 ∈ LVec)
94, 5, 6, 8syl3anc 1373 . 2 (𝜑𝐵 ∈ LVec)
10 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
1110subrgss 20564 . . 3 (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
126, 11syl 17 . 2 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
131, 3, 4, 9, 12gsumsra 33035 1 (𝜑 → (𝐸 Σg (𝑖𝑋𝑌)) = (𝐵 Σg (𝑖𝑋𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3479  wss 3950  cmpt 5223  cfv 6559  (class class class)co 7429  Basecbs 17243  s cress 17270   Σg cgsu 17481  SubRingcsubrg 20561  DivRingcdr 20721  LVecclvec 21093  subringAlg csra 21162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-seq 14039  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-sca 17309  df-vsca 17310  df-ip 17311  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-grp 18950  df-subg 19137  df-mgp 20134  df-ur 20175  df-ring 20228  df-subrg 20562  df-lmod 20852  df-lvec 21094  df-sra 21164
This theorem is referenced by:  fedgmullem1  33667  fedgmullem2  33668  extdg1id  33701
  Copyright terms: Public domain W3C validator