Theorem drgextgsum 33926

Description: Group sum in a division ring extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
drgext.b	⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
drgext.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
drgextgsum.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
drgextgsum	⊢ (𝜑 → (𝐸 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)) = (𝐵 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)))

Distinct variable group:   𝑖,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑈(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem drgextgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drgext.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
2		drgextgsum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3	2	mptexd 7220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌) ∈ V)
4		drgext.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
5		drgext.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
6		drgext.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
7		drgext.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
8	1, 7	sralvec 33916	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐵 ∈ LVec)
9	4, 5, 6, 8	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ LVec)
10		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
11	10	subrgss 20653	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
12	6, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
13	1, 3, 4, 9, 12	gsumsra 33304	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)) = (𝐵 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286   Σ_g cgsu 17489  SubRingcsubrg 20650  DivRingcdr 20809  LVecclvec 21197  subringAlg csra 21266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-seq 14034  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-subg 19185  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-subrg 20651  df-lmod 20957  df-lvec 21198  df-sra 21268

This theorem is referenced by:  fedgmullem1  33960  fedgmullem2  33961  extdg1id  33997