Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drgextgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drgextgsum 31008
Description: Group sum in a division ring extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
drgext.b 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1 (𝜑𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f 𝐹 = (𝐸s 𝑈)
drgext.3 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
drgextgsum.1 (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
drgextgsum (𝜑 → (𝐸 Σg (𝑖𝑋𝑌)) = (𝐵 Σg (𝑖𝑋𝑌)))
Distinct variable group:   𝑖,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑈(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem drgextgsum
StepHypRef Expression
1 drgext.b . 2 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
2 drgextgsum.1 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
32mptexd 6960 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑋𝑌) ∈ V)
4 drgext.1 . 2 (𝜑𝐸 ∈ DivRing)
5 drgext.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
6 drgext.2 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
7 drgext.f . . . 4 𝐹 = (𝐸s 𝑈)
81, 7sralvec 31001 . . 3 ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐵 ∈ LVec)
94, 5, 6, 8syl3anc 1368 . 2 (𝜑𝐵 ∈ LVec)
10 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
1110subrgss 19512 . . 3 (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
126, 11syl 17 . 2 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
131, 3, 4, 9, 12gsumsra 30693 1 (𝜑 → (𝐸 Σg (𝑖𝑋𝑌)) = (𝐵 Σg (𝑖𝑋𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3471  wss 3910  cmpt 5119  cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16462  s cress 16463   Σg cgsu 16693  DivRingcdr 19478  SubRingcsubrg 19507  LVecclvec 19850  subringAlg csra 19916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-seq 13353  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-subg 18255  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lvec 19851  df-sra 19920
This theorem is referenced by:  fedgmullem1  31036  fedgmullem2  31037  extdg1id  31064
  Copyright terms: Public domain W3C validator