Theorem drgextgsum 31676

Description: Group sum in a division ring extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
drgext.b	⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
drgext.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
drgextgsum.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
drgextgsum	⊢ (𝜑 → (𝐸 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)) = (𝐵 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)))

Distinct variable group:   𝑖,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑈(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem drgextgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drgext.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
2		drgextgsum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3	2	mptexd 7095	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌) ∈ V)
4		drgext.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
5		drgext.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
6		drgext.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
7		drgext.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
8	1, 7	sralvec 31669	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐵 ∈ LVec)
9	4, 5, 6, 8	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ LVec)
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
11	10	subrgss 20021	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
12	6, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
13	1, 3, 4, 9, 12	gsumsra 31301	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)) = (𝐵 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431   ⊆ wss 3892   ↦ cmpt 5162  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16908   ↾_s cress 16937   Σ_g cgsu 17147  DivRingcdr 19987  SubRingcsubrg 20016  LVecclvec 20360  subringAlg csra 20426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-seq 13718  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-ip 16976  df-0g 17148  df-gsum 17149  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-grp 18576  df-subg 18748  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781  df-subrg 20018  df-lmod 20121  df-lvec 20361  df-sra 20430

This theorem is referenced by:  fedgmullem1  31704  fedgmullem2  31705  extdg1id  31732