Theorem drgextgsum 33679

Description: Group sum in a division ring extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
drgext.b	⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
drgext.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
drgextgsum.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
drgextgsum	⊢ (𝜑 → (𝐸 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)) = (𝐵 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)))

Distinct variable group:   𝑖,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑈(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem drgextgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drgext.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
2		drgextgsum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3	2	mptexd 7167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌) ∈ V)
4		drgext.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
5		drgext.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
6		drgext.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
7		drgext.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
8	1, 7	sralvec 33669	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐵 ∈ LVec)
9	4, 5, 6, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ LVec)
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
11	10	subrgss 20496	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
12	6, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
13	1, 3, 4, 9, 12	gsumsra 33058	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)) = (𝐵 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127   ↾_s cress 17148   Σ_g cgsu 17351  SubRingcsubrg 20493  DivRingcdr 20653  LVecclvec 21045  subringAlg csra 21114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-seq 13916  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-subg 19044  df-mgp 20067  df-ur 20108  df-ring 20161  df-subrg 20494  df-lmod 20804  df-lvec 21046  df-sra 21116

This theorem is referenced by:  fedgmullem1  33714  fedgmullem2  33715  extdg1id  33751