Theorem drgextgsum 33599

Description: Group sum in a division ring extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
drgext.b	⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
drgext.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
drgextgsum.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
drgextgsum	⊢ (𝜑 → (𝐸 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)) = (𝐵 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)))

Distinct variable group:   𝑖,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑈(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem drgextgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drgext.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
2		drgextgsum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3	2	mptexd 7153	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌) ∈ V)
4		drgext.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
5		drgext.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
6		drgext.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
7		drgext.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
8	1, 7	sralvec 33589	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐵 ∈ LVec)
9	4, 5, 6, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ LVec)
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
11	10	subrgss 20482	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
12	6, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
13	1, 3, 4, 9, 12	gsumsra 33019	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)) = (𝐵 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115   ↾_s cress 17136   Σ_g cgsu 17339  SubRingcsubrg 20479  DivRingcdr 20639  LVecclvec 21031  subringAlg csra 21100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-seq 13904  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-subg 19031  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148  df-subrg 20480  df-lmod 20790  df-lvec 21032  df-sra 21102

This theorem is referenced by:  fedgmullem1  33634  fedgmullem2  33635  extdg1id  33671