Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  drgextgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drgextgsum 32358
Description: Group sum in a division ring extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
drgext.b 𝐡 = ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜π‘ˆ)
drgext.1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
drgext.f 𝐹 = (𝐸 β†Ύs π‘ˆ)
drgext.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
drgextgsum.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
drgextgsum (πœ‘ β†’ (𝐸 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ π‘Œ)) = (𝐡 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ π‘Œ)))
Distinct variable group:   𝑖,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖)   𝐡(𝑖)   π‘ˆ(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑉(𝑖)   π‘Œ(𝑖)

Proof of Theorem drgextgsum
StepHypRef Expression
1 drgext.b . 2 𝐡 = ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜π‘ˆ)
2 drgextgsum.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
32mptexd 7178 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ π‘Œ) ∈ V)
4 drgext.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ DivRing)
5 drgext.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
6 drgext.2 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
7 drgext.f . . . 4 𝐹 = (𝐸 β†Ύs π‘ˆ)
81, 7sralvec 32351 . . 3 ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ)) β†’ 𝐡 ∈ LVec)
94, 5, 6, 8syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ LVec)
10 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΈ) = (Baseβ€˜πΈ)
1110subrgss 20265 . . 3 (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΈ))
126, 11syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΈ))
131, 3, 4, 9, 12gsumsra 31945 1 (πœ‘ β†’ (𝐸 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ π‘Œ)) = (𝐡 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120   Ξ£g cgsu 17330  DivRingcdr 20219  SubRingcsubrg 20260  LVecclvec 20607  subringAlg csra 20674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-seq 13916  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-subg 18933  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lvec 20608  df-sra 20678
This theorem is referenced by:  fedgmullem1  32388  fedgmullem2  32389  extdg1id  32416
  Copyright terms: Public domain W3C validator