Theorem drgextgsum 33966

Description: Group sum in a division ring extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
drgext.b	⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
drgext.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
drgext.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
drgext.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
drgext.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
drgextgsum.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
drgextgsum	⊢ (𝜑 → (𝐸 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)) = (𝐵 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)))

Distinct variable group:   𝑖,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑈(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem drgextgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drgext.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
2		drgextgsum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3	2	mptexd 7224	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌) ∈ V)
4		drgext.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
5		drgext.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
6		drgext.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
7		drgext.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
8	1, 7	sralvec 33956	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐵 ∈ LVec)
9	4, 5, 6, 8	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ LVec)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
11	10	subrgss 20658	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
12	6, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐸))
13	1, 3, 4, 9, 12	gsumsra 33348	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)) = (𝐵 Σg (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291   Σ_g cgsu 17494  SubRingcsubrg 20655  DivRingcdr 20814  LVecclvec 21204  subringAlg csra 21273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-seq 14040  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-subg 19190  df-mgp 20218  df-ur 20265  df-ring 20318  df-subrg 20656  df-lmod 20964  df-lvec 21205  df-sra 21275

This theorem is referenced by:  fedgmullem1  34000  fedgmullem2  34001  extdg1id  34037