Theorem drngmul0orOLD 20721

Description: Obsolete version of drngmul0or 20720 as of 25-Jun-2025. (Contributed by NM, 8-Oct-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmuleq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmuleq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmuleq0.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngmuleq0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drngmuleq0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drngmuleq0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
drngmul0orOLD	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))

Proof of Theorem drngmul0orOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2933	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0 )
2		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ))
3	2	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ))
4		drngmuleq0.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ DivRing)
6		drngmuleq0.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
9		drngmuleq0.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		drngmuleq0.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		drngmuleq0.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
14	9, 10, 11, 12, 13	drnginvrl 20716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
15	5, 7, 8, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
16	15	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
17		drngring 20696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	4, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
20	9, 10, 13	drnginvrcl 20713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
21	5, 7, 8, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
22		drngmuleq0.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	9, 11	ringass 20213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
25	19, 21, 7, 23, 24	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
26	9, 11, 12	ringlidm 20229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
27	18, 22, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
29	16, 25, 28	3eqtr3d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = 𝑌)
30	29	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = 𝑌)
31	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
33	21	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
34	9, 11, 10	ringrz 20254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ) = 0 )
35	32, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ) = 0 )
36	3, 30, 35	3eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 = 0 )
37	36	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑋 ≠ 0 → 𝑌 = 0 ))
38	1, 37	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (¬ 𝑋 = 0 → 𝑌 = 0 ))
39	38	orrd 863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))
40	39	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
41	9, 11, 10	ringlz 20253	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 0 )
42	18, 22, 41	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = 0 )
43		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
44	43	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ ( 0 · 𝑌) = 0 ))
45	42, 44	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
46	9, 11, 10	ringrz 20254	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
47	18, 6, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )
48		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
49	48	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ (𝑌 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
50	47, 49	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
51	45, 50	jaod 859	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
52	40, 51	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  0_gc0g 17453  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  inv_rcinvr 20347  DivRingcdr 20689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-drng 20691

This theorem is referenced by: (None)