Theorem drngmul0orOLD 20694

Description: Obsolete version of drngmul0or 20693 as of 25-Jun-2025. (Contributed by NM, 8-Oct-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmuleq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmuleq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmuleq0.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngmuleq0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drngmuleq0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drngmuleq0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
drngmul0orOLD	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))

Proof of Theorem drngmul0orOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2933	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0 )
2		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ))
3	2	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ))
4		drngmuleq0.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ DivRing)
6		drngmuleq0.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
9		drngmuleq0.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		drngmuleq0.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		drngmuleq0.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
14	9, 10, 11, 12, 13	drnginvrl 20689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
15	5, 7, 8, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
16	15	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
17		drngring 20669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	4, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
20	9, 10, 13	drnginvrcl 20686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
21	5, 7, 8, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
22		drngmuleq0.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	9, 11	ringass 20188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
25	19, 21, 7, 23, 24	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
26	9, 11, 12	ringlidm 20204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
27	18, 22, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
29	16, 25, 28	3eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = 𝑌)
30	29	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = 𝑌)
31	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
33	21	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
34	9, 11, 10	ringrz 20229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ) = 0 )
35	32, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ) = 0 )
36	3, 30, 35	3eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 = 0 )
37	36	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑋 ≠ 0 → 𝑌 = 0 ))
38	1, 37	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (¬ 𝑋 = 0 → 𝑌 = 0 ))
39	38	orrd 863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))
40	39	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
41	9, 11, 10	ringlz 20228	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 0 )
42	18, 22, 41	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = 0 )
43		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
44	43	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ ( 0 · 𝑌) = 0 ))
45	42, 44	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
46	9, 11, 10	ringrz 20229	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
47	18, 6, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )
48		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
49	48	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑌 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
50	47, 49	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
51	45, 50	jaod 859	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
52	40, 51	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  inv_rcinvr 20323  DivRingcdr 20662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-drng 20664

This theorem is referenced by: (None)