Theorem drngmul0orOLD 20678

Description: Obsolete version of drngmul0or 20677 as of 25-Jun-2025. (Contributed by NM, 8-Oct-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmuleq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmuleq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmuleq0.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngmuleq0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drngmuleq0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drngmuleq0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
drngmul0orOLD	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))

Proof of Theorem drngmul0orOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2930	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0 )
2		oveq2 7360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ))
3	2	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ))
4		drngmuleq0.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ DivRing)
6		drngmuleq0.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
9		drngmuleq0.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		drngmuleq0.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		drngmuleq0.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
14	9, 10, 11, 12, 13	drnginvrl 20673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
15	5, 7, 8, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
16	15	oveq1d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
17		drngring 20653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	4, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
20	9, 10, 13	drnginvrcl 20670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
21	5, 7, 8, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
22		drngmuleq0.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	9, 11	ringass 20173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
25	19, 21, 7, 23, 24	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)))
26	9, 11, 12	ringlidm 20189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
27	18, 22, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
29	16, 25, 28	3eqtr3d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = 𝑌)
30	29	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · (𝑋 · 𝑌)) = 𝑌)
31	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
33	21	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
34	9, 11, 10	ringrz 20214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ) = 0 )
35	32, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 0 ) = 0 )
36	3, 30, 35	3eqtr3d 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 = 0 )
37	36	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑋 ≠ 0 → 𝑌 = 0 ))
38	1, 37	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (¬ 𝑋 = 0 → 𝑌 = 0 ))
39	38	orrd 863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))
40	39	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
41	9, 11, 10	ringlz 20213	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 0 )
42	18, 22, 41	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = 0 )
43		oveq1 7359	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
44	43	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ ( 0 · 𝑌) = 0 ))
45	42, 44	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
46	9, 11, 10	ringrz 20214	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
47	18, 6, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )
48		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
49	48	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑌 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
50	47, 49	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
51	45, 50	jaod 859	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
52	40, 51	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  ._rcmulr 17164  0_gc0g 17345  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  inv_rcinvr 20307  DivRingcdr 20646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-drng 20648

This theorem is referenced by: (None)