Theorem dsmmbase 21885

Description: Base set of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dsmmval.b	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
dsmmbase	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem dsmmbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3476	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		dsmmval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}
3	2	ssrab3 4036	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
6	4, 5	ressbas2 17293	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → 𝐵 = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)))
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
8	2	dsmmval 21884	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
9	8	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)))
10	7, 9	eqtr4id 2817	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
11	1, 10	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {crab 3416  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  0_gc0g 17487  X_scprds 17493   ⊕_m cdsmm 21881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-prds 17495  df-dsmm 21882

This theorem is referenced by:  dsmmbas2  21887  dsmmelbas  21889  dsmmsubg  21893