MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmbase 21683
Description: Base set of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dsmmval.b 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
dsmmbase (𝑅𝑉𝐵 = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem dsmmbase
StepHypRef Expression
1 elex 3492 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 dsmmval.b . . . . 5 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}
32ssrab3 4080 . . . 4 𝐵 ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
4 eqid 2728 . . . . 5 ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)
5 eqid 2728 . . . . 5 (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
64, 5ressbas2 17227 . . . 4 (𝐵 ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → 𝐵 = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)))
73, 6ax-mp 5 . . 3 𝐵 = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
82dsmmval 21682 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
98fveq2d 6906 . . 3 (𝑅 ∈ V → (Base‘(𝑆m 𝑅)) = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)))
107, 9eqtr4id 2787 . 2 (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
111, 10syl 17 1 (𝑅𝑉𝐵 = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  {crab 3430  Vcvv 3473  wss 3949  dom cdm 5682  cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  Basecbs 17189  s cress 17218  0gc0g 17430  Xscprds 17436  m cdsmm 21679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-prds 17438  df-dsmm 21680
This theorem is referenced by:  dsmmbas2  21685  dsmmelbas  21687  dsmmsubg  21691
  Copyright terms: Public domain W3C validator