MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmbase 20404
Description: Base set of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dsmmval.b 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
dsmmbase (𝑅𝑉𝐵 = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem dsmmbase
StepHypRef Expression
1 elex 3400 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 dsmmval.b . . . . 5 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}
32dsmmval 20403 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
43fveq2d 6415 . . 3 (𝑅 ∈ V → (Base‘(𝑆m 𝑅)) = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)))
5 ssrab2 3883 . . . . 5 {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
62, 5eqsstri 3831 . . . 4 𝐵 ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
7 eqid 2799 . . . . 5 ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)
8 eqid 2799 . . . . 5 (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
97, 8ressbas2 16256 . . . 4 (𝐵 ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → 𝐵 = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵)))
106, 9ax-mp 5 . . 3 𝐵 = (Base‘((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
114, 10syl6reqr 2852 . 2 (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
121, 11syl 17 1 (𝑅𝑉𝐵 = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  {crab 3093  Vcvv 3385  wss 3769  dom cdm 5312  cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  Basecbs 16184  s cress 16185  0gc0g 16415  Xscprds 16421  m cdsmm 20400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-prds 16423  df-dsmm 20401
This theorem is referenced by:  dsmmbas2  20406  dsmmelbas  20408  dsmmsubg  20412
  Copyright terms: Public domain W3C validator