Theorem dsmmelbas 21777

Description: Membership in the finitely supported hull of a structure product in terms of the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmelbas.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmelbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑆 ⊕m 𝑅)
dsmmelbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
dsmmelbas.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
dsmmelbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
dsmmelbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dsmmelbas	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐻 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝐼,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝑃(𝑎)   𝐻(𝑎)   𝑉(𝑎)

Proof of Theorem dsmmelbas

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmelbas.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
2		dsmmelbas.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑆 ⊕m 𝑅)
3	2	fveq2i 6910	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
4	1, 3	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
5		dsmmelbas.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
6		dsmmelbas.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		fnex 7237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
9		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin}
10	9	dsmmbase 21773	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
12	4, 11	eqtr4id 2794	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin})
13	12	eleq2d 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐻 ↔ 𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin}))
14		fveq1 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘𝑎) = (𝑋‘𝑎))
15	14	neeq1d 2998	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))))
16	15	rabbidv 3441	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
17	16	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
18	17	elrab 3695	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
19		dsmmelbas.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
20		dsmmelbas.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
21	20	fveq2i 6910	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
22	19, 21	eqtr2i 2764	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = 𝐵
23	22	eleq2i 2831	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ 𝐵)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
25		fndm 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
26		rabeq 3448	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑅 = 𝐼 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
27	5, 25, 26	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
28	27	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
29	24, 28	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
30	18, 29	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
31	13, 30	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐻 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478  dom cdm 5689   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  X_scprds 17492   ⊕_m cdsmm 21769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-prds 17494  df-dsmm 21770

This theorem is referenced by:  dsmm0cl  21778  dsmmacl  21779  dsmmsubg  21781  dsmmlss  21782