MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmelbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmelbas 21130
Description: Membership in the finitely supported hull of a structure product in terms of the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmelbas.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmelbas.c 𝐶 = (𝑆m 𝑅)
dsmmelbas.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
dsmmelbas.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
dsmmelbas.i (𝜑𝐼𝑉)
dsmmelbas.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dsmmelbas (𝜑 → (𝑋𝐻 ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝐼,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝑃(𝑎)   𝐻(𝑎)   𝑉(𝑎)

Proof of Theorem dsmmelbas
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmelbas.h . . . . 5 𝐻 = (Base‘𝐶)
2 dsmmelbas.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑆m 𝑅)
32fveq2i 6842 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘(𝑆m 𝑅))
41, 3eqtri 2764 . . . 4 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
5 dsmmelbas.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
6 dsmmelbas.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
7 fnex 7163 . . . . . 6 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝑅 ∈ V)
85, 6, 7syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
9 eqid 2736 . . . . . 6 {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin}
109dsmmbase 21126 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
118, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
124, 11eqtr4id 2795 . . 3 (𝜑𝐻 = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin})
1312eleq2d 2823 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin}))
14 fveq1 6838 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝑏𝑎) = (𝑋𝑎))
1514neeq1d 3001 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ↔ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))))
1615rabbidv 3413 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
1716eleq1d 2822 . . . 4 (𝑏 = 𝑋 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
1817elrab 3643 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
19 dsmmelbas.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
20 dsmmelbas.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2120fveq2i 6842 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
2219, 21eqtr2i 2765 . . . . . 6 (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = 𝐵
2322eleq2i 2829 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋𝐵)
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋𝐵))
25 fndm 6602 . . . . . 6 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
26 rabeq 3419 . . . . . 6 (dom 𝑅 = 𝐼 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
275, 25, 263syl 18 . . . . 5 (𝜑 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
2827eleq1d 2822 . . . 4 (𝜑 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
2924, 28anbi12d 631 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin) ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
3018, 29bitrid 282 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
3113, 30bitrd 278 1 (𝜑 → (𝑋𝐻 ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  {crab 3405  Vcvv 3443  dom cdm 5631   Fn wfn 6488  cfv 6493  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  Basecbs 17075  0gc0g 17313  Xscprds 17319  m cdsmm 21122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-fz 13417  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-hom 17149  df-cco 17150  df-prds 17321  df-dsmm 21123
This theorem is referenced by:  dsmm0cl  21131  dsmmacl  21132  dsmmsubg  21134  dsmmlss  21135
  Copyright terms: Public domain W3C validator