Theorem dsmmelbas 21782

Description: Membership in the finitely supported hull of a structure product in terms of the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmelbas.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmelbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑆 ⊕m 𝑅)
dsmmelbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
dsmmelbas.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
dsmmelbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
dsmmelbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dsmmelbas	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐻 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝐼,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝑃(𝑎)   𝐻(𝑎)   𝑉(𝑎)

Proof of Theorem dsmmelbas

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmelbas.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
2		dsmmelbas.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑆 ⊕m 𝑅)
3	2	fveq2i 6923	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
4	1, 3	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
5		dsmmelbas.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
6		dsmmelbas.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		fnex 7254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
8	5, 6, 7	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
9		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin}
10	9	dsmmbase 21778	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
12	4, 11	eqtr4id 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin})
13	12	eleq2d 2830	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐻 ↔ 𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin}))
14		fveq1 6919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘𝑎) = (𝑋‘𝑎))
15	14	neeq1d 3006	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))))
16	15	rabbidv 3451	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
17	16	eleq1d 2829	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
18	17	elrab 3708	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
19		dsmmelbas.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
20		dsmmelbas.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
21	20	fveq2i 6923	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
22	19, 21	eqtr2i 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = 𝐵
23	22	eleq2i 2836	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ 𝐵)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
25		fndm 6682	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
26		rabeq 3458	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑅 = 𝐼 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
27	5, 25, 26	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
28	27	eleq1d 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
29	24, 28	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
30	18, 29	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
31	13, 30	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐻 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  {crab 3443  Vcvv 3488  dom cdm 5700   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  X_scprds 17505   ⊕_m cdsmm 21774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-prds 17507  df-dsmm 21775

This theorem is referenced by:  dsmm0cl  21783  dsmmacl  21784  dsmmsubg  21786  dsmmlss  21787