MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmelbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmelbas 21161
Description: Membership in the finitely supported hull of a structure product in terms of the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmelbas.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmelbas.c 𝐶 = (𝑆m 𝑅)
dsmmelbas.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
dsmmelbas.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
dsmmelbas.i (𝜑𝐼𝑉)
dsmmelbas.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dsmmelbas (𝜑 → (𝑋𝐻 ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝐼,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝑃(𝑎)   𝐻(𝑎)   𝑉(𝑎)

Proof of Theorem dsmmelbas
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmelbas.h . . . . 5 𝐻 = (Base‘𝐶)
2 dsmmelbas.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑆m 𝑅)
32fveq2i 6850 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘(𝑆m 𝑅))
41, 3eqtri 2765 . . . 4 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
5 dsmmelbas.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
6 dsmmelbas.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
7 fnex 7172 . . . . . 6 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝑅 ∈ V)
85, 6, 7syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
9 eqid 2737 . . . . . 6 {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin}
109dsmmbase 21157 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
118, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
124, 11eqtr4id 2796 . . 3 (𝜑𝐻 = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin})
1312eleq2d 2824 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin}))
14 fveq1 6846 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝑏𝑎) = (𝑋𝑎))
1514neeq1d 3004 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ↔ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))))
1615rabbidv 3418 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
1716eleq1d 2823 . . . 4 (𝑏 = 𝑋 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
1817elrab 3650 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
19 dsmmelbas.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
20 dsmmelbas.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2120fveq2i 6850 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
2219, 21eqtr2i 2766 . . . . . 6 (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = 𝐵
2322eleq2i 2830 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋𝐵)
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋𝐵))
25 fndm 6610 . . . . . 6 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
26 rabeq 3424 . . . . . 6 (dom 𝑅 = 𝐼 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
275, 25, 263syl 18 . . . . 5 (𝜑 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
2827eleq1d 2823 . . . 4 (𝜑 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
2924, 28anbi12d 632 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin) ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
3018, 29bitrid 283 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
3113, 30bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑋𝐻 ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  {crab 3410  Vcvv 3448  dom cdm 5638   Fn wfn 6496  cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  Basecbs 17090  0gc0g 17328  Xscprds 17334  m cdsmm 21153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-prds 17336  df-dsmm 21154
This theorem is referenced by:  dsmm0cl  21162  dsmmacl  21163  dsmmsubg  21165  dsmmlss  21166
  Copyright terms: Public domain W3C validator