Theorem dsmmelbas 21293

Description: Membership in the finitely supported hull of a structure product in terms of the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmelbas.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmelbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑆 ⊕m 𝑅)
dsmmelbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
dsmmelbas.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
dsmmelbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
dsmmelbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dsmmelbas	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐻 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝐼,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝑃(𝑎)   𝐻(𝑎)   𝑉(𝑎)

Proof of Theorem dsmmelbas

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmelbas.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
2		dsmmelbas.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑆 ⊕m 𝑅)
3	2	fveq2i 6894	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
4	1, 3	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
5		dsmmelbas.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
6		dsmmelbas.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		fnex 7218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
9		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin}
10	9	dsmmbase 21289	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
12	4, 11	eqtr4id 2791	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin})
13	12	eleq2d 2819	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐻 ↔ 𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin}))
14		fveq1 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘𝑎) = (𝑋‘𝑎))
15	14	neeq1d 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))))
16	15	rabbidv 3440	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
17	16	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
18	17	elrab 3683	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
19		dsmmelbas.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
20		dsmmelbas.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
21	20	fveq2i 6894	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
22	19, 21	eqtr2i 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = 𝐵
23	22	eleq2i 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ 𝐵)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
25		fndm 6652	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
26		rabeq 3446	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑅 = 𝐼 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
27	5, 25, 26	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
28	27	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
29	24, 28	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
30	18, 29	bitrid 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
31	13, 30	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐻 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474  dom cdm 5676   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  X_scprds 17390   ⊕_m cdsmm 21285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-prds 17392  df-dsmm 21286

This theorem is referenced by:  dsmm0cl  21294  dsmmacl  21295  dsmmsubg  21297  dsmmlss  21298