Theorem dsmmelbas 21849

Description: Membership in the finitely supported hull of a structure product in terms of the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmelbas.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmelbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑆 ⊕m 𝑅)
dsmmelbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
dsmmelbas.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
dsmmelbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
dsmmelbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dsmmelbas	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐻 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝐼,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝑃(𝑎)   𝐻(𝑎)   𝑉(𝑎)

Proof of Theorem dsmmelbas

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmelbas.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
2		dsmmelbas.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑆 ⊕m 𝑅)
3	2	fveq2i 6874	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
4	1, 3	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
5		dsmmelbas.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
6		dsmmelbas.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		fnex 7205	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
8	5, 6, 7	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
9		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin}
10	9	dsmmbase 21845	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
11	8, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
12	4, 11	eqtr4id 2819	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin})
13	12	eleq2d 2851	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐻 ↔ 𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin}))
14		fveq1 6870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘𝑎) = (𝑋‘𝑎))
15	14	neeq1d 3019	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))))
16	15	rabbidv 3424	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
17	16	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
18	17	elrab 3653	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
19		dsmmelbas.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
20		dsmmelbas.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
21	20	fveq2i 6874	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
22	19, 21	eqtr2i 2789	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = 𝐵
23	22	eleq2i 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ 𝐵)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
25		fndm 6628	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
26		rabeq 3431	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑅 = 𝐼 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
27	5, 25, 26	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
28	27	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
29	24, 28	anbi12d 643	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
30	18, 29	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
31	13, 30	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐻 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  {crab 3417  Vcvv 3457  dom cdm 5652   Fn wfn 6520  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  X_scprds 17488   ⊕_m cdsmm 21841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-hom 17324  df-cco 17325  df-prds 17490  df-dsmm 21842

This theorem is referenced by:  dsmm0cl  21850  dsmmacl  21851  dsmmsubg  21853  dsmmlss  21854