MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmelbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmelbas 20570
Description: Membership in the finitely supported hull of a structure product in terms of the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmelbas.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmelbas.c 𝐶 = (𝑆m 𝑅)
dsmmelbas.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
dsmmelbas.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
dsmmelbas.i (𝜑𝐼𝑉)
dsmmelbas.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dsmmelbas (𝜑 → (𝑋𝐻 ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝐼,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝑃(𝑎)   𝐻(𝑎)   𝑉(𝑎)

Proof of Theorem dsmmelbas
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmelbas.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
2 dsmmelbas.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
3 fnex 6851 . . . . . 6 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝑅 ∈ V)
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
5 eqid 2795 . . . . . 6 {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin}
65dsmmbase 20566 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
8 dsmmelbas.h . . . . 5 𝐻 = (Base‘𝐶)
9 dsmmelbas.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑆m 𝑅)
109fveq2i 6546 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘(𝑆m 𝑅))
118, 10eqtri 2819 . . . 4 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
127, 11syl6reqr 2850 . . 3 (𝜑𝐻 = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin})
1312eleq2d 2868 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin}))
14 fveq1 6542 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝑏𝑎) = (𝑋𝑎))
1514neeq1d 3043 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ↔ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))))
1615rabbidv 3425 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
1716eleq1d 2867 . . . 4 (𝑏 = 𝑋 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
1817elrab 3619 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
19 dsmmelbas.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
20 dsmmelbas.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2120fveq2i 6546 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
2219, 21eqtr2i 2820 . . . . . 6 (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = 𝐵
2322eleq2i 2874 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋𝐵)
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋𝐵))
25 fndm 6330 . . . . . 6 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
26 rabeq 3428 . . . . . 6 (dom 𝑅 = 𝐼 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
271, 25, 263syl 18 . . . . 5 (𝜑 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
2827eleq1d 2867 . . . 4 (𝜑 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
2924, 28anbi12d 630 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin) ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
3018, 29syl5bb 284 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
3113, 30bitrd 280 1 (𝜑 → (𝑋𝐻 ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  {crab 3109  Vcvv 3437  dom cdm 5448   Fn wfn 6225  cfv 6230  (class class class)co 7021  Fincfn 8362  Basecbs 16317  0gc0g 16547  Xscprds 16553  m cdsmm 20562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-sup 8757  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-fz 12748  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-hom 16423  df-cco 16424  df-prds 16555  df-dsmm 20563
This theorem is referenced by:  dsmm0cl  20571  dsmmacl  20572  dsmmsubg  20574  dsmmlss  20575
  Copyright terms: Public domain W3C validator