Theorem wilth 27307

Description: Wilson's theorem. A number is prime iff it is greater than or equal to 2 and (𝑁 − 1)! is congruent to -1, mod 𝑁, or alternatively if 𝑁 divides (𝑁 − 1)! + 1. In this part of the proof we show the relatively simple reverse implication; see wilthlem3 27306 for the forward implication. This is Metamath 100 proof #51. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
wilth	⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))

Proof of Theorem wilth

Dummy variables 𝑥 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16786	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
3		eleq2w 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁 − 1) ∈ 𝑧 ↔ (𝑁 − 1) ∈ 𝑥))
4		oveq1 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛↑(𝑁 − 2)) = (𝑦↑(𝑁 − 2)))
5	4	oveq1d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) = ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁))
6	5	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧))
7	6	cbvralvw 3240	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑧 ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧)
8		eleq2w 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥))
9	8	raleqbi1dv 3329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥))
10	7, 9	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑛 ∈ 𝑧 ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥))
11	3, 10	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑁 − 1) ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑧 ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥)))
12	11	cbvrabv 3422	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 − 1)) ∣ ((𝑁 − 1) ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑧 ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧)} = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 − 1)) ∣ ((𝑁 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥)}
13	2, 12	wilthlem3 27306	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1))
14	1, 13	jca 521	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
15		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
16		elfzuz 13574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
17	16	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
18		eluz2nn 12937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
20		elfzuz3 13575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑛))
21	20	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑛))
22		dvdsfac 16416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
23	19, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
24		eluz2nn 12937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
26		nnm1nn0 12569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
27		faccl 14347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
28	25, 26, 27	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
30		eluz2gt1 12969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑛)
31	17, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 1 < 𝑛)
32		ndvdsp1 16501	. . . . . . 7 ⊢ (((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛) → (𝑛 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
33	29, 19, 31, 32	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (𝑛 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
34	23, 33	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1))
35		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1))
36	19	nnzd 12641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
37	25	nnzd 12641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	29	peano2zd 12728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℤ)
39		dvdstr 16384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ((𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
41	35, 40	mpan2d 707	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (𝑛 ∥ 𝑁 → 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
42	34, 41	mtod 201	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∥ 𝑁)
43	42	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → ∀𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑛 ∥ 𝑁)
44		isprm3 16773	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑛 ∥ 𝑁))
45	15, 43, 44	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → 𝑁 ∈ ℙ)
46	14, 45	impbii 212	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11267   − cmin 11465  ℕcn 12257  2c2 12319  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ...cfz 13561   mod cmo 13930  ↑cexp 14125  !cfa 14337   ∥ cdvds 16342  ℙcprime 16761  mulGrpcmgp 20273  ℂ_fldccnfld 21585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-prm 16762  df-phi 16857  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-cnfld 21586

This theorem is used by:  wilthimp  27308  ppivalnnprm  48528