Theorem wilth 26564

Description: Wilson's theorem. A number is prime iff it is greater than or equal to 2 and (𝑁 − 1)! is congruent to -1, mod 𝑁, or alternatively if 𝑁 divides (𝑁 − 1)! + 1. In this part of the proof we show the relatively simple reverse implication; see wilthlem3 26563 for the forward implication. This is Metamath 100 proof #51. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
wilth	⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))

Proof of Theorem wilth

Dummy variables 𝑥 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16629	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
2		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
3		eleq2w 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁 − 1) ∈ 𝑧 ↔ (𝑁 − 1) ∈ 𝑥))
4		oveq1 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑛↑(𝑁 − 2)) = (𝑦↑(𝑁 − 2)))
5	4	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) = ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁))
6	5	eleq1d 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧))
7	6	cbvralvw 3234	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑧 ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧)
8		eleq2w 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥))
9	8	raleqbi1dv 3333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥))
10	7, 9	bitrid 282	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑛 ∈ 𝑧 ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥))
11	3, 10	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑁 − 1) ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑧 ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥)))
12	11	cbvrabv 3442	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 − 1)) ∣ ((𝑁 − 1) ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑧 ((𝑛↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑧)} = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑁 − 1)) ∣ ((𝑁 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑁 − 2)) mod 𝑁) ∈ 𝑥)}
13	2, 12	wilthlem3 26563	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1))
14	1, 13	jca 512	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
15		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
16		elfzuz 13493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
17	16	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
18		eluz2nn 12864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
20		elfzuz3 13494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑛))
21	20	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑛))
22		dvdsfac 16265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
23	19, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
24		eluz2nn 12864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
26		nnm1nn0 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
27		faccl 14239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
30		eluz2gt1 12900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑛)
31	17, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 1 < 𝑛)
32		ndvdsp1 16350	. . . . . . 7 ⊢ (((!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑛) → (𝑛 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
33	29, 19, 31, 32	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (𝑛 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
34	23, 33	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1))
35		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1))
36	19	nnzd 12581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
37	25	nnzd 12581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	29	peano2zd 12665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℤ)
39		dvdstr 16233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ((𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
41	35, 40	mpan2d 692	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → (𝑛 ∥ 𝑁 → 𝑛 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))
42	34, 41	mtod 197	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) ∧ 𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∥ 𝑁)
43	42	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → ∀𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑛 ∥ 𝑁)
44		isprm3 16616	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑛 ∥ 𝑁))
45	15, 43, 44	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)) → 𝑁 ∈ ℙ)
46	14, 45	impbii 208	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∥ ((!‘(𝑁 − 1)) + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  {crab 3432  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   − cmin 11440  ℕcn 12208  2c2 12263  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  ...cfz 13480   mod cmo 13830  ↑cexp 14023  !cfa 14229   ∥ cdvds 16193  ℙcprime 16604  mulGrpcmgp 19981  ℂ_fldccnfld 20936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-phi 16695  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-cnfld 20937

This theorem is referenced by:  wilthimp  26565