Theorem flge1nn 13725

Description: The floor of a number greater than or equal to 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flge1nn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem flge1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13699	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3		1z 12502	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		flge 13709	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝐴 ↔ 1 ≤ (⌊‘𝐴)))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 ↔ 1 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	5	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (⌊‘𝐴))
7		elnnz1 12498	. 2 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  ℝcr 11005  1c1 11007   ≤ cle 11147  ℕcn 12125  ℤcz 12468  ⌊cfl 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fl 13696

This theorem is referenced by:  o1fsum  15720  harmonicubnd  26948  logfacubnd  27160  rplogsumlem2  27424  dchrisumlem3  27430  dchrmusum2  27433  dchrvmasum2lem  27435  dchrvmasumiflem1  27440  dchrisum0lem1b  27454  dchrisum0lem2a  27456  dchrisum0lem2  27457  mudivsum  27469  mulogsum  27471  mulog2sumlem2  27474  pntrlog2bndlem4  27519  pntlemk  27545  dstfrvunirn  34486