Theorem ppinncl 27126

Description: Closure of the prime-counting function π in the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppinncl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem ppinncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppicl 27083	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
2	1	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12622	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ∈ ℤ)
4		ppi2 27122	. . 3 ⊢ (π‘2) = 1
5		2re 12324	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		ppiwordi 27114	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘2) ≤ (π‘𝐴))
7	5, 6	mp3an1 1444	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘2) ≤ (π‘𝐴))
8	4, 7	eqbrtrrid 5188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (π‘𝐴))
9		elnnz1 12626	. 2 ⊢ ((π‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((π‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (π‘𝐴)))
10	3, 8, 9	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  ℝcr 11145  1c1 11147   ≤ cle 11287  ℕcn 12250  2c2 12305  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  πcppi 27046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-prm 16650  df-ppi 27052

This theorem is referenced by:  ppieq0  27128  chebbnd1lem3  27424  chebbnd1  27425  chtppilimlem1  27426  chtppilimlem2  27427  chtppilim  27428  chebbnd2  27430  chto1lb  27431  pnt  27567