Theorem ppinncl 27136

Description: Closure of the prime-counting function π in the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppinncl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem ppinncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppicl 27093	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12614	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ∈ ℤ)
4		ppi2 27132	. . 3 ⊢ (π‘2) = 1
5		2re 12314	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		ppiwordi 27124	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘2) ≤ (π‘𝐴))
7	5, 6	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘2) ≤ (π‘𝐴))
8	4, 7	eqbrtrrid 5155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (π‘𝐴))
9		elnnz1 12618	. 2 ⊢ ((π‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((π‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (π‘𝐴)))
10	3, 8, 9	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  ℝcr 11128  1c1 11130   ≤ cle 11270  ℕcn 12240  2c2 12295  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  πcppi 27056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-prm 16691  df-ppi 27062

This theorem is referenced by:  ppieq0  27138  chebbnd1lem3  27434  chebbnd1  27435  chtppilimlem1  27436  chtppilimlem2  27437  chtppilim  27438  chebbnd2  27440  chto1lb  27441  pnt  27577