MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1term Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1term 24397
Description: A one-term polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1term.1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧𝑁)))
Assertion
Ref Expression
ply1term ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁   𝑧,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem ply1term
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel2 3816 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 ply1term.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧𝑁)))
32ply1termlem 24396 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧𝑘))))
41, 3stoic3 1820 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧𝑘))))
5 simp1 1127 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6 0cnd 10369 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
76snssd 4571 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℂ)
85, 7unssd 4012 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
9 simp3 1129 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 simpl2 1201 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
11 elun1 4003 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
13 ssun2 4000 . . . . . 6 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
14 c0ex 10370 . . . . . . 7 0 ∈ V
1514snss 4549 . . . . . 6 (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
1613, 15mpbir 223 . . . . 5 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
17 ifcl 4351 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
1812, 16, 17sylancl 580 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
198, 9, 18elplyd 24395 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
204, 19eqeltrd 2859 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
21 plyun0 24390 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
2220, 21syl6eleq 2869 1 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  cun 3790  wss 3792  ifcif 4307  {csn 4398  cmpt 4965  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272   · cmul 10277  0cn0 11642  ...cfz 12643  cexp 13178  Σcsu 14824  Polycply 24377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-ply 24381
This theorem is referenced by:  plypow  24398  plyconst  24399  coe1termlem  24451  dgrcolem2  24467  plydivlem4  24488
  Copyright terms: Public domain W3C validator