MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1term Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1term 26055
Description: A one-term polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1term.1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧𝑁)))
Assertion
Ref Expression
ply1term ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁   𝑧,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem ply1term
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel2 3977 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 ply1term.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧𝑁)))
32ply1termlem 26054 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧𝑘))))
41, 3stoic3 1777 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧𝑘))))
5 simp1 1135 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6 0cnd 11214 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
76snssd 4812 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℂ)
85, 7unssd 4186 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
9 simp3 1137 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
11 elun1 4176 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
13 ssun2 4173 . . . . . 6 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
14 c0ex 11215 . . . . . . 7 0 ∈ V
1514snss 4789 . . . . . 6 (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
1613, 15mpbir 230 . . . . 5 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
17 ifcl 4573 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
1812, 16, 17sylancl 585 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
198, 9, 18elplyd 26053 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
204, 19eqeltrd 2832 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
21 plyun0 26048 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
2220, 21eleqtrdi 2842 1 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cun 3946  wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  0cc0 11116   · cmul 11121  0cn0 12479  ...cfz 13491  cexp 14034  Σcsu 15639  Polycply 26035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-ply 26039
This theorem is referenced by:  plypow  26056  plyconst  26057  coe1termlem  26109  dgrcolem2  26126  plydivlem4  26147
  Copyright terms: Public domain W3C validator