Theorem subopnmbl 25724

Description: Sets which are open in a measurable subspace are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subopnmbl.1	⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subopnmbl	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐵 ∈ dom vol)

Proof of Theorem subopnmbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subopnmbl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
2	1	eleq2i 2857	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ 𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
3		retop 24879	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4		elrest 17470	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥 ∩ 𝐴)))
5	3, 4	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥 ∩ 𝐴)))
6	2, 5	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥 ∩ 𝐴)))
7		opnmbl 25722	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ dom vol)
8		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
9		inmbl 25662	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
10	7, 8, 9	syl2anr 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
11		eleq1a 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol → (𝐵 = (𝑥 ∩ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝐵 = (𝑥 ∩ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
13	12	rexlimdva 3166	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥 ∩ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
14	6, 13	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ∈ dom vol))
15	14	imp 411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐵 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ∩ cin 3906  dom cdm 5652  ran crn 5653  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  (,)cioo 13363   ↾_t crest 17463  topGenctg 17480  Topctop 23011  volcvol 25583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-disj 5073  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-rest 17465  df-topgen 17486  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-top 23012  df-topon 23029  df-bases 23064  df-cmp 23505  df-ovol 25584  df-vol 25585

This theorem is referenced by:  cnmbf  25779  cnambfre  38179