MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subopnmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subopnmbl 24966
Description: Sets which are open in a measurable subspace are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subopnmbl.1 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subopnmbl ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵 ∈ dom vol)

Proof of Theorem subopnmbl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subopnmbl.1 . . . . 5 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
21eleq2i 2829 . . . 4 (𝐵𝐽𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
3 retop 24123 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4 elrest 17308 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥𝐴)))
53, 4mpan 688 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥𝐴)))
62, 5bitrid 282 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵𝐽 ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥𝐴)))
7 opnmbl 24964 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ dom vol)
8 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
9 inmbl 24904 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥𝐴) ∈ dom vol)
107, 8, 9syl2anr 597 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑥𝐴) ∈ dom vol)
11 eleq1a 2833 . . . . 5 ((𝑥𝐴) ∈ dom vol → (𝐵 = (𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
1210, 11syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝐵 = (𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
1312rexlimdva 3152 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
146, 13sylbid 239 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵𝐽𝐵 ∈ dom vol))
1514imp 407 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  cin 3909  dom cdm 5633  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7356  (,)cioo 13263  t crest 17301  topGenctg 17318  Topctop 22240  volcvol 24825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-inf2 9576  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8647  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fi 9346  df-sup 9377  df-inf 9378  df-oi 9445  df-dju 9836  df-card 9874  df-acn 9877  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-q 12873  df-rp 12915  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13267  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-fl 13696  df-seq 13906  df-exp 13967  df-hash 14230  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-clim 15369  df-rlim 15370  df-sum 15570  df-rest 17303  df-topgen 17324  df-psmet 20786  df-xmet 20787  df-met 20788  df-bl 20789  df-mopn 20790  df-top 22241  df-topon 22258  df-bases 22294  df-cmp 22736  df-ovol 24826  df-vol 24827
This theorem is referenced by:  cnmbf  25021  cnambfre  36116
  Copyright terms: Public domain W3C validator