Theorem subopnmbl 25542

Description: Sets which are open in a measurable subspace are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subopnmbl.1	⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subopnmbl	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐵 ∈ dom vol)

Proof of Theorem subopnmbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subopnmbl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
2	1	eleq2i 2825	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ 𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
3		retop 24686	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4		elrest 17341	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥 ∩ 𝐴)))
5	3, 4	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥 ∩ 𝐴)))
6	2, 5	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥 ∩ 𝐴)))
7		opnmbl 25540	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ dom vol)
8		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
9		inmbl 25480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
10	7, 8, 9	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
11		eleq1a 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol → (𝐵 = (𝑥 ∩ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝐵 = (𝑥 ∩ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
13	12	rexlimdva 3135	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥 ∩ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
14	6, 13	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ∈ dom vol))
15	14	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐵 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058   ∩ cin 3898  dom cdm 5621  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  (,)cioo 13255   ↾_t crest 17334  topGenctg 17351  Topctop 22818  volcvol 25401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9406  df-dju 9804  df-card 9842  df-acn 9845  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-xneg 13021  df-xadd 13022  df-xmul 13023  df-ioo 13259  df-ico 13261  df-icc 13262  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-fl 13706  df-seq 13919  df-exp 13979  df-hash 14248  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-clim 15405  df-rlim 15406  df-sum 15604  df-rest 17336  df-topgen 17357  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-top 22819  df-topon 22836  df-bases 22871  df-cmp 23312  df-ovol 25402  df-vol 25403

This theorem is referenced by:  cnmbf  25597  cnambfre  37718