MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subopnmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subopnmbl 23808
Description: Sets which are open in a measurable subspace are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subopnmbl.1 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subopnmbl ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵 ∈ dom vol)

Proof of Theorem subopnmbl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subopnmbl.1 . . . . 5 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
21eleq2i 2851 . . . 4 (𝐵𝐽𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
3 retop 22973 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4 elrest 16474 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥𝐴)))
53, 4mpan 680 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥𝐴)))
62, 5syl5bb 275 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵𝐽 ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥𝐴)))
7 opnmbl 23806 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ dom vol)
8 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
9 inmbl 23746 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥𝐴) ∈ dom vol)
107, 8, 9syl2anr 590 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑥𝐴) ∈ dom vol)
11 eleq1a 2854 . . . . 5 ((𝑥𝐴) ∈ dom vol → (𝐵 = (𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
1210, 11syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝐵 = (𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
1312rexlimdva 3213 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
146, 13sylbid 232 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵𝐽𝐵 ∈ dom vol))
1514imp 397 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wrex 3091  cin 3791  dom cdm 5355  ran crn 5356  cfv 6135  (class class class)co 6922  (,)cioo 12487  t crest 16467  topGenctg 16484  Topctop 21105  volcvol 23667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-disj 4855  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-rest 16469  df-topgen 16490  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-top 21106  df-topon 21123  df-bases 21158  df-cmp 21599  df-ovol 23668  df-vol 23669
This theorem is referenced by:  cnmbf  23863  cnambfre  34085
  Copyright terms: Public domain W3C validator