Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subopnmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subopnmbl 24208
 Description: Sets which are open in a measurable subspace are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subopnmbl.1 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subopnmbl ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵 ∈ dom vol)

Proof of Theorem subopnmbl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subopnmbl.1 . . . . 5 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
21eleq2i 2881 . . . 4 (𝐵𝐽𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
3 retop 23367 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4 elrest 16693 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥𝐴)))
53, 4mpan 689 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥𝐴)))
62, 5syl5bb 286 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵𝐽 ↔ ∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥𝐴)))
7 opnmbl 24206 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ dom vol)
8 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
9 inmbl 24146 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥𝐴) ∈ dom vol)
107, 8, 9syl2anr 599 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑥𝐴) ∈ dom vol)
11 eleq1a 2885 . . . . 5 ((𝑥𝐴) ∈ dom vol → (𝐵 = (𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
1210, 11syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝐵 = (𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
1312rexlimdva 3243 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (∃𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))𝐵 = (𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol))
146, 13sylbid 243 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵𝐽𝐵 ∈ dom vol))
1514imp 410 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵 ∈ dom vol)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ∩ cin 3880  dom cdm 5519  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  (,)cioo 12726   ↾t crest 16686  topGenctg 16703  Topctop 21498  volcvol 24067 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-cmp 21992  df-ovol 24068  df-vol 24069 This theorem is referenced by:  cnmbf  24263  cnambfre  35102
 Copyright terms: Public domain W3C validator