MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binom 15782
Description: The binomial theorem: (๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ is the sum from ๐‘˜ = 0 to ๐‘ of (๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)). Theorem 15-2.8 of [Gleason] p. 296. This part of the proof sets up the induction and does the base case, with the bulk of the work (the induction step) in binomlem 15781. This is Metamath 100 proof #44. (Contributed by NM, 7-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
binom ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem binom
Dummy variables ๐‘› ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ฅ) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘0))
2 oveq2 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (0...๐‘ฅ) = (0...0))
3 oveq1 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅC๐‘˜) = (0C๐‘˜))
4 oveq1 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜) = (0 โˆ’ ๐‘˜))
54oveq2d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ดโ†‘(0 โˆ’ ๐‘˜)))
65oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘(0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))
73, 6oveq12d 7431 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ((0C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
87adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = 0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ((0C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
92, 8sumeq12dv 15658 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((0C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
101, 9eqeq12d 2746 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต)โ†‘0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((0C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
1110imbi2d 339 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((0C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))))
12 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ฅ) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘›))
13 oveq2 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (0...๐‘ฅ) = (0...๐‘›))
14 oveq1 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (๐‘ฅC๐‘˜) = (๐‘›C๐‘˜))
15 oveq1 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))
1615oveq2d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ดโ†‘(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)))
1716oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))
1814, 17oveq12d 7431 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ ((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
1918adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘› โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
2013, 19sumeq12dv 15658 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
2112, 20eqeq12d 2746 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
2221imbi2d 339 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))))
23 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ฅ) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘(๐‘› + 1)))
24 oveq2 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (0...๐‘ฅ) = (0...(๐‘› + 1)))
25 oveq1 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘ฅC๐‘˜) = ((๐‘› + 1)C๐‘˜))
26 oveq1 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜) = ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜))
2726oveq2d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ดโ†‘((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)))
2827oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))
2925, 28oveq12d 7431 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = (((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
3029adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = (((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
3124, 30sumeq12dv 15658 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
3223, 31eqeq12d 2746 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต)โ†‘(๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
3332imbi2d 339 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))))
34 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ฅ) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘))
35 oveq2 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (0...๐‘ฅ) = (0...๐‘))
36 oveq1 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅC๐‘˜) = (๐‘C๐‘˜))
37 oveq1 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐‘˜))
3837oveq2d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))
3938oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))
4036, 39oveq12d 7431 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
4140adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
4235, 41sumeq12dv 15658 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
4334, 42eqeq12d 2746 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
4443imbi2d 339 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((๐‘ฅC๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))))
45 exp0 14037 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
46 exp0 14037 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
4745, 46oveqan12d 7432 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0)) = (1 ยท 1))
48 1t1e1 12380 . . . . . . . 8 (1 ยท 1) = 1
4947, 48eqtrdi 2786 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0)) = 1)
5049oveq2d 7429 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0))) = (1 ยท 1))
5150, 48eqtrdi 2786 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0))) = 1)
52 0z 12575 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
53 ax-1cn 11172 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
5451, 53eqeltrdi 2839 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0))) โˆˆ โ„‚)
55 oveq2 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0C๐‘˜) = (0C0))
56 0nn0 12493 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„•0
57 bcn0 14276 . . . . . . . . . 10 (0 โˆˆ โ„•0 โ†’ (0C0) = 1)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0C0) = 1
5955, 58eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0C๐‘˜) = 1)
60 oveq2 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) = (0 โˆ’ 0))
61 0m0e0 12338 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆ’ 0) = 0
6260, 61eqtrdi 2786 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) = 0)
6362oveq2d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘(0 โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ดโ†‘0))
64 oveq2 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = (๐ตโ†‘0))
6563, 64oveq12d 7431 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘(0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0)))
6659, 65oveq12d 7431 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((0C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = (1 ยท ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0))))
6766fsum1 15699 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (1 ยท ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((0C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = (1 ยท ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0))))
6852, 54, 67sylancr 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((0C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = (1 ยท ((๐ดโ†‘0) ยท (๐ตโ†‘0))))
69 addcl 11196 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
7069exp0d 14111 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘0) = 1)
7151, 68, 703eqtr4rd 2781 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((0C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
72 simprl 767 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
73 simprr 769 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
74 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
75 id 22 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
7672, 73, 74, 75binomlem 15781 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โˆง ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
7776exp31 418 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))))
7877a2d 29 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))))
7911, 22, 33, 44, 71, 78nn0ind 12663 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
8079impcom 406 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
81803impa 1108 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   โˆ’ cmin 11450  โ„•0cn0 12478  โ„คcz 12564  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14033  Ccbc 14268  ฮฃcsu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-bc 14269  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  binom1p  15783  efaddlem  16042  basellem3  26821  lcmineqlem1  41202  jm2.22  42038  binomcxplemnn0  43412  altgsumbc  47118
  Copyright terms: Public domain W3C validator