Theorem 0bits 16409

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11168	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4626	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 13708	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2827	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 12261	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 14030	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 7398	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2827	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 12540	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 12457	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 16405	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 230	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 13644	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 3995	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 4363	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 3963	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ..^cfzo 13615  ↑cexp 14026  bitscbits 16389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-dvds 16223  df-bits 16392

This theorem is referenced by:  m1bits  16410  sadcadd  16428  sadadd2  16430  bitsres  16443  smumullem  16462  eulerpartgbij  34363  eulerpartlemmf  34366  eulerpartlemgvv  34367  eulerpartlemgh  34369