Theorem 0bits 16445

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11159	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4611	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 13739	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2851	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 12279	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 14064	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 7392	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2851	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 12565	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 12482	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 16441	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 700	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 232	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 13675	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 3975	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 4344	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 3943	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ⊆ wss 3895  ∅c0 4276  {csn 4572  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  0cc0 11059  1c1 11060  2c2 12258  ℕ₀cn0 12467  ℤcz 12554  ..^cfzo 13645  ↑cexp 14060  bitscbits 16425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-fl 13788  df-seq 14001  df-exp 14061  df-dvds 16259  df-bits 16428

This theorem is referenced by:  m1bits  16446  sadcadd  16464  sadadd2  16466  bitsres  16479  smumullem  16498  eulerpartgbij  34613  eulerpartlemmf  34616  eulerpartlemgvv  34617  eulerpartlemgh  34619