Theorem 0bits 16368

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11128	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4616	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 13668	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2827	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 12221	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 13990	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 7364	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2827	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 12500	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 12417	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 16364	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 230	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 13604	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 3986	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 4353	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 3954	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ..^cfzo 13575  ↑cexp 13986  bitscbits 16348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-dvds 16182  df-bits 16351

This theorem is referenced by:  m1bits  16369  sadcadd  16387  sadadd2  16389  bitsres  16402  smumullem  16421  eulerpartgbij  34339  eulerpartlemmf  34342  eulerpartlemgvv  34343  eulerpartlemgh  34345