Theorem 0bits 16496

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11199	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4627	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 13775	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2860	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 12315	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 14100	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2860	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 12601	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 12518	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 16492	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 233	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 13711	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 3984	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 4356	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 3952	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4588  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  0cc0 11099  1c1 11100  2c2 12294  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ..^cfzo 13681  ↑cexp 14096  bitscbits 16476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-dvds 16310  df-bits 16479

This theorem is referenced by:  m1bits  16497  sadcadd  16515  sadadd2  16517  bitsres  16530  smumullem  16549  eulerpartgbij  34728  eulerpartlemmf  34731  eulerpartlemgvv  34732  eulerpartlemgh  34734