Theorem 0bits 16403

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11133	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4597	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 13697	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2840	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 12251	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 14022	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2840	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 12530	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 12447	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 16399	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 699	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 232	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 13633	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 3965	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 4331	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 3933	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  {csn 4558  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034  2c2 12231  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ..^cfzo 13603  ↑cexp 14018  bitscbits 16383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-dvds 16217  df-bits 16386

This theorem is referenced by:  m1bits  16404  sadcadd  16422  sadadd2  16424  bitsres  16437  smumullem  16456  eulerpartgbij  34568  eulerpartlemmf  34571  eulerpartlemgvv  34572  eulerpartlemgh  34574