Theorem 0bits 16383

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11207	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4657	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 13715	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2824	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 12286	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 14032	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 7413	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2824	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 12568	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 12486	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 16379	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 229	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 13657	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 4011	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 4389	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 3991	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315  {csn 4621  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  0cc0 11107  1c1 11108  2c2 12266  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ..^cfzo 13628  ↑cexp 14028  bitscbits 16363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-dvds 16201  df-bits 16366

This theorem is referenced by:  m1bits  16384  sadcadd  16402  sadadd2  16404  bitsres  16417  smumullem  16436  eulerpartgbij  33891  eulerpartlemmf  33894  eulerpartlemgvv  33895  eulerpartlemgh  33897