Theorem 0bits 16414

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11239	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4665	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 13747	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2828	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 12318	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 14063	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2828	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 12600	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 12518	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 16410	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 229	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 13689	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 4016	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 4397	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 3996	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323  {csn 4629  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  0cc0 11139  1c1 11140  2c2 12298  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12589  ..^cfzo 13660  ↑cexp 14059  bitscbits 16394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-dvds 16232  df-bits 16397

This theorem is referenced by:  m1bits  16415  sadcadd  16433  sadadd2  16435  bitsres  16448  smumullem  16467  eulerpartgbij  33992  eulerpartlemmf  33995  eulerpartlemgvv  33996  eulerpartlemgh  33998