Theorem 0bits 15882

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10713	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4552	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 13210	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2832	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 11791	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 13525	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 7181	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2832	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 12073	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 11991	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 15878	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 233	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 13152	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 3913	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 4285	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 3893	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3843  ∅c0 4211  {csn 4516  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  ℂcc 10613  0cc0 10615  1c1 10616  2c2 11771  ℕ₀cn0 11976  ℤcz 12062  ..^cfzo 13124  ↑cexp 13521  bitscbits 15862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-dvds 15700  df-bits 15865

This theorem is referenced by:  m1bits  15883  sadcadd  15901  sadadd2  15903  bitsres  15916  smumullem  15935  eulerpartgbij  31909  eulerpartlemmf  31912  eulerpartlemgvv  31913  eulerpartlemgh  31915