Theorem 0bits 16421

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11246	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4669	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 13754	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2828	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 12325	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 14070	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 7437	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2828	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 12607	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 16417	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 229	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 13696	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 4018	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 4400	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 3998	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  {csn 4632  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  0cc0 11146  1c1 11147  2c2 12305  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  ..^cfzo 13667  ↑cexp 14066  bitscbits 16401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-dvds 16239  df-bits 16404

This theorem is referenced by:  m1bits  16422  sadcadd  16440  sadadd2  16442  bitsres  16455  smumullem  16474  eulerpartgbij  34025  eulerpartlemmf  34028  eulerpartlemgvv  34029  eulerpartlemgh  34031