Theorem 0bits 16476

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11255	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4662	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 13786	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2840	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 12341	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 14106	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2840	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 12624	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 16472	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 230	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 13723	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 4032	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 4400	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 4000	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ..^cfzo 13694  ↑cexp 14102  bitscbits 16456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-dvds 16291  df-bits 16459

This theorem is referenced by:  m1bits  16477  sadcadd  16495  sadadd2  16497  bitsres  16510  smumullem  16529  eulerpartgbij  34374  eulerpartlemmf  34377  eulerpartlemgvv  34378  eulerpartlemgh  34380