Theorem 0bits 16367

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11127	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4607	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 13664	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2836	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 12221	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 13989	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 7369	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2836	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 12500	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 12417	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 16363	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 230	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 13600	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 3971	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 4341	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 3939	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ..^cfzo 13571  ↑cexp 13985  bitscbits 16347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-seq 13926  df-exp 13986  df-dvds 16181  df-bits 16350

This theorem is referenced by:  m1bits  16368  sadcadd  16386  sadadd2  16388  bitsres  16401  smumullem  16420  eulerpartgbij  34522  eulerpartlemmf  34525  eulerpartlemgvv  34526  eulerpartlemgh  34528