Theorem 0bits 16371

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11131	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4620	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 13668	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2836	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 12225	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 13993	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 7372	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2836	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 12504	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 12421	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 16367	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 230	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 13604	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 3983	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 4353	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 3951	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  {csn 4581  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11029  0cc0 11031  1c1 11032  2c2 12205  ℕ₀cn0 12406  ℤcz 12493  ..^cfzo 13575  ↑cexp 13989  bitscbits 16351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-rp 12911  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13717  df-seq 13930  df-exp 13990  df-dvds 16185  df-bits 16354

This theorem is referenced by:  m1bits  16372  sadcadd  16390  sadadd2  16392  bitsres  16405  smumullem  16424  eulerpartgbij  34542  eulerpartlemmf  34545  eulerpartlemgvv  34546  eulerpartlemgh  34548