Theorem 0bits 16342

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11098	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4613	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 13639	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2828	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 12192	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 13964	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 7352	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2828	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 12471	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 12388	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 16338	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 230	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 13575	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 3981	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 4348	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 3949	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  {csn 4574  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  0cc0 10998  1c1 10999  2c2 12172  ℕ₀cn0 12373  ℤcz 12460  ..^cfzo 13546  ↑cexp 13960  bitscbits 16322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-fl 13688  df-seq 13901  df-exp 13961  df-dvds 16156  df-bits 16325

This theorem is referenced by:  m1bits  16343  sadcadd  16361  sadadd2  16363  bitsres  16376  smumullem  16395  eulerpartgbij  34375  eulerpartlemmf  34378  eulerpartlemgvv  34379  eulerpartlemgh  34381