MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0bits Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0bits 15787
Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
0bits (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits
StepHypRef Expression
1 c0ex 10634 . . . . . . 7 0 ∈ V
21snid 4600 . . . . . 6 0 ∈ {0}
3 fzo01 13118 . . . . . 6 (0..^1) = {0}
42, 3eleqtrri 2912 . . . . 5 0 ∈ (0..^1)
5 2cn 11711 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
6 exp0 13432 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 (2↑0) = 1
87oveq2i 7166 . . . . 5 (0..^(2↑0)) = (0..^1)
94, 8eleqtrri 2912 . . . 4 0 ∈ (0..^(2↑0))
10 0z 11991 . . . . 5 0 ∈ ℤ
11 0nn0 11911 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
12 bitsfzo 15783 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
1310, 11, 12mp2an 690 . . . 4 (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
149, 13mpbi 232 . . 3 (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15 fzo0 13060 . . 3 (0..^0) = ∅
1614, 15sseqtri 4002 . 2 (bits‘0) ⊆ ∅
17 0ss 4349 . 2 ∅ ⊆ (bits‘0)
1816, 17eqssi 3982 1 (bits‘0) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208   = wceq 1533  wcel 2110  wss 3935  c0 4290  {csn 4566  cfv 6354  (class class class)co 7155  cc 10534  0cc0 10536  1c1 10537  2c2 11691  0cn0 11896  cz 11980  ..^cfzo 13032  cexp 13428  bitscbits 15767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-dvds 15607  df-bits 15770
This theorem is referenced by:  m1bits  15788  sadcadd  15806  sadadd2  15808  bitsres  15821  smumullem  15840  eulerpartgbij  31630  eulerpartlemmf  31633  eulerpartlemgvv  31634  eulerpartlemgh  31636
  Copyright terms: Public domain W3C validator