MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dgrb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dgrb 24770
Description: A function has degree zero iff it is a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dgrb (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))

Proof of Theorem 0dgrb
Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . . . . . . 8 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
2 eqid 2826 . . . . . . . 8 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
31, 2coeid 24762 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
5 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (deg‘𝐹) = 0)
65oveq2d 7166 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) = (0...0))
76sumeq1d 15053 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
8 0z 11986 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
9 exp0 13428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑0) = 1)
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑0) = 1)
1110oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · 1))
121coef3 24756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
13 0nn0 11906 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℕ0
14 ffvelrn 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
1512, 13, 14sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
1615ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
1716mulid1d 10652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · 1) = ((coeff‘𝐹)‘0))
1811, 17eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
1918, 16eqeltrd 2918 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) ∈ ℂ)
20 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = ((coeff‘𝐹)‘0))
21 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑧𝑘) = (𝑧↑0))
2220, 21oveq12d 7168 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
2322fsum1 15097 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
248, 19, 23sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
2524, 18eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
267, 25eqtrd 2861 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
2726mpteq2dva 5158 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0)))
284, 27eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0)))
29 fconstmpt 5613 . . . . 5 (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0))
3028, 29syl6eqr 2879 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}))
3130fveq1d 6671 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝐹‘0) = ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0))
32 0cn 10627 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
33 fvex 6682 . . . . . . . . 9 ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ V
3433fvconst2 6964 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0))
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0)
3631, 35syl6eq 2877 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝐹‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0))
3736sneqd 4576 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → {(𝐹‘0)} = {((coeff‘𝐹)‘0)})
3837xpeq2d 5584 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘0)}) = (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}))
3930, 38eqtr4d 2864 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}))
4039ex 413 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
41 plyf 24722 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
42 ffvelrn 6847 . . . . 5 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
4341, 32, 42sylancl 586 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
44 0dgr 24769 . . . 4 ((𝐹‘0) ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0)
4543, 44syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0)
46 fveqeq2 6678 . . 3 (𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0))
4745, 46syl5ibrcom 248 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}) → (deg‘𝐹) = 0))
4840, 47impbid 213 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  {csn 4564  cmpt 5143   × cxp 5552  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536  0cn0 11891  cz 11975  ...cfz 12887  cexp 13424  Σcsu 15037  Polycply 24708  coeffccoe 24710  degcdgr 24711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-0p 24205  df-ply 24712  df-coe 24714  df-dgr 24715
This theorem is referenced by:  dgrnznn  24771  dgreq0  24789  dgrcolem2  24798  dgrco  24799  plyrem  24828  fta1  24831  aaliou2  24863
  Copyright terms: Public domain W3C validator