Theorem 0dgrb 26305

Description: A function has degree zero iff it is a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0dgrb	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))

Proof of Theorem 0dgrb

Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
2		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
3	1, 2	coeid 26297	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
5		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (deg‘𝐹) = 0)
6	5	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) = (0...0))
7	6	sumeq1d 15748	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
8		0z 12650	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		exp0 14116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑0) = 1)
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑0) = 1)
11	10	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · 1))
12	1	coef3 26291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
13		0nn0 12568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		ffvelcdm 7115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
15	12, 13, 14	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
16	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
17	16	mulridd 11307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · 1) = ((coeff‘𝐹)‘0))
18	11, 17	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
19	18, 16	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) ∈ ℂ)
20		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = ((coeff‘𝐹)‘0))
21		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑0))
22	20, 21	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
23	22	fsum1 15795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
24	8, 19, 23	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
25	24, 18	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
26	7, 25	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
27	26	mpteq2dva 5266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0)))
28	4, 27	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0)))
29		fconstmpt 5762	. . . . 5 ⊢ (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0))
30	28, 29	eqtr4di 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}))
31	30	fveq1d 6922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝐹‘0) = ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0))
32		0cn 11282	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
33		fvex 6933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ V
34	33	fvconst2 7241	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0))
35	32, 34	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0)
36	31, 35	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝐹‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0))
37	36	sneqd 4660	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → {(𝐹‘0)} = {((coeff‘𝐹)‘0)})
38	37	xpeq2d 5730	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘0)}) = (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}))
39	30, 38	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}))
40	39	ex 412	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
41		plyf 26257	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
42		ffvelcdm 7115	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
43	41, 32, 42	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
44		0dgr 26304	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘0) ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0)
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0)
46		fveqeq2 6929	. . 3 ⊢ (𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0))
47	45, 46	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}) → (deg‘𝐹) = 0))
48	40, 47	impbid 212	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ...cfz 13567  ↑cexp 14112  Σcsu 15734  Polycply 26243  coeffccoe 26245  degcdgr 26246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-0p 25724  df-ply 26247  df-coe 26249  df-dgr 26250

This theorem is referenced by:  dgrnznn  26306  dgreq0  26325  dgrcolem2  26334  dgrco  26335  plyrem  26365  fta1  26368  aaliou2  26400