MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dgrb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0dgrb 25984
Description: A function has degree zero iff it is a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dgrb (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((degβ€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)})))
Proof of Theorem 0dgrb
Dummy variables 𝑧 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . . 8 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
2 eqid 2732 . . . . . . . 8 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
31, 2coeid 25976 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
5 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (degβ€˜πΉ) = 0)
65oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...(degβ€˜πΉ)) = (0...0))
76sumeq1d 15651 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
8 0z 12573 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„€
9 exp0 14035 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (𝑧↑0) = 1)
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧↑0) = 1)
1110oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· (𝑧↑0)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· 1))
121coef3 25970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
13 0nn0 12491 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ β„•0
14 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) ∈ β„‚)
1512, 13, 14sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) ∈ β„‚)
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) ∈ β„‚)
1716mulridd 11235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· 1) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0))
1811, 17eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· (𝑧↑0)) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0))
1918, 16eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· (𝑧↑0)) ∈ β„‚)
20 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 0 β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0))
21 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘§β†‘π‘˜) = (𝑧↑0))
2220, 21oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 0 β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· (𝑧↑0)))
2322fsum1 15697 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„€ ∧ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· (𝑧↑0)) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· (𝑧↑0)))
248, 19, 23sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) Β· (𝑧↑0)))
2524, 18eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0))
267, 25eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0))
2726mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)))
284, 27eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)))
29 fconstmpt 5738 . . . . 5 (β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0))
3028, 29eqtr4di 2790 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) β†’ 𝐹 = (β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)}))
3130fveq1d 6893 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) β†’ (πΉβ€˜0) = ((β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)})β€˜0))
32 0cn 11210 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
33 fvex 6904 . . . . . . . . 9 ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0) ∈ V
3433fvconst2 7207 . . . . . . . 8 (0 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)})β€˜0) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0))
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ((β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)})β€˜0) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)
3631, 35eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) β†’ (πΉβ€˜0) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜0))
3736sneqd 4640 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) β†’ {(πΉβ€˜0)} = {((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)})
3837xpeq2d 5706 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) β†’ (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)}) = (β„‚ Γ— {((coeffβ€˜πΉ)β€˜0)}))
3930, 38eqtr4d 2775 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) = 0) β†’ 𝐹 = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)}))
4039ex 413 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((degβ€˜πΉ) = 0 β†’ 𝐹 = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)})))
41 plyf 25936 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
42 ffvelcdm 7083 . . . . 5 ((𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ β„‚)
4341, 32, 42sylancl 586 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ β„‚)
44 0dgr 25983 . . . 4 ((πΉβ€˜0) ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)})) = 0)
4543, 44syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)})) = 0)
46 fveqeq2 6900 . . 3 (𝐹 = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)}) β†’ ((degβ€˜πΉ) = 0 ↔ (degβ€˜(β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)})) = 0))
4745, 46syl5ibrcom 246 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)}) β†’ (degβ€˜πΉ) = 0))
4840, 47impbid 211 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((degβ€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  Ξ£csu 15636  Polycply 25922  coeffccoe 25924  degcdgr 25925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25411  df-ply 25926  df-coe 25928  df-dgr 25929
This theorem is referenced by:  dgrnznn  25985  dgreq0  26003  dgrcolem2  26012  dgrco  26013  plyrem  26042  fta1  26045  aaliou2  26077
  Copyright terms: Public domain W3C validator