Theorem 0dgrb 26223

Description: A function has degree zero iff it is a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0dgrb	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))

Proof of Theorem 0dgrb

Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
2		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
3	1, 2	coeid 26215	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
5		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (deg‘𝐹) = 0)
6	5	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) = (0...0))
7	6	sumeq1d 15651	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
8		0z 12524	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		exp0 14016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑0) = 1)
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑0) = 1)
11	10	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · 1))
12	1	coef3 26209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
13		0nn0 12441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		ffvelcdm 7025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
15	12, 13, 14	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
16	15	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
17	16	mulridd 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · 1) = ((coeff‘𝐹)‘0))
18	11, 17	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
19	18, 16	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) ∈ ℂ)
20		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = ((coeff‘𝐹)‘0))
21		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑0))
22	20, 21	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
23	22	fsum1 15698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
24	8, 19, 23	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
25	24, 18	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
26	7, 25	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
27	26	mpteq2dva 5179	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0)))
28	4, 27	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0)))
29		fconstmpt 5684	. . . . 5 ⊢ (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0))
30	28, 29	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}))
31	30	fveq1d 6834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝐹‘0) = ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0))
32		0cn 11125	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
33		fvex 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ V
34	33	fvconst2 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0))
35	32, 34	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0)
36	31, 35	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝐹‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0))
37	36	sneqd 4580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → {(𝐹‘0)} = {((coeff‘𝐹)‘0)})
38	37	xpeq2d 5652	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘0)}) = (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}))
39	30, 38	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}))
40	39	ex 412	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
41		plyf 26175	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
42		ffvelcdm 7025	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
43	41, 32, 42	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
44		0dgr 26222	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘0) ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0)
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0)
46		fveqeq2 6841	. . 3 ⊢ (𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0))
47	45, 46	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}) → (deg‘𝐹) = 0))
48	40, 47	impbid 212	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5620  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  ...cfz 13450  ↑cexp 14012  Σcsu 15637  Polycply 26161  coeffccoe 26163  degcdgr 26164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-0p 25646  df-ply 26165  df-coe 26167  df-dgr 26168

This theorem is referenced by:  dgrnznn  26224  dgreq0  26242  dgrcolem2  26251  dgrco  26252  plyrem  26284  fta1  26287  aaliou2  26319