MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dgrb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dgrb 26088
Description: A function has degree zero iff it is a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dgrb (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))

Proof of Theorem 0dgrb
Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . . . . 8 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
2 eqid 2724 . . . . . . . 8 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
31, 2coeid 26080 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
5 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (deg‘𝐹) = 0)
65oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) = (0...0))
76sumeq1d 15643 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
8 0z 12565 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
9 exp0 14027 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑0) = 1)
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑0) = 1)
1110oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · 1))
121coef3 26074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
13 0nn0 12483 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℕ0
14 ffvelcdm 7073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
1512, 13, 14sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
1716mulridd 11227 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · 1) = ((coeff‘𝐹)‘0))
1811, 17eqtrd 2764 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
1918, 16eqeltrd 2825 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) ∈ ℂ)
20 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = ((coeff‘𝐹)‘0))
21 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑧𝑘) = (𝑧↑0))
2220, 21oveq12d 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
2322fsum1 15689 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
248, 19, 23sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
2524, 18eqtrd 2764 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
267, 25eqtrd 2764 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
2726mpteq2dva 5238 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0)))
284, 27eqtrd 2764 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0)))
29 fconstmpt 5728 . . . . 5 (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0))
3028, 29eqtr4di 2782 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}))
3130fveq1d 6883 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝐹‘0) = ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0))
32 0cn 11202 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
33 fvex 6894 . . . . . . . . 9 ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ V
3433fvconst2 7197 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0))
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0)
3631, 35eqtrdi 2780 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝐹‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0))
3736sneqd 4632 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → {(𝐹‘0)} = {((coeff‘𝐹)‘0)})
3837xpeq2d 5696 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘0)}) = (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}))
3930, 38eqtr4d 2767 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}))
4039ex 412 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
41 plyf 26040 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
42 ffvelcdm 7073 . . . . 5 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
4341, 32, 42sylancl 585 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
44 0dgr 26087 . . . 4 ((𝐹‘0) ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0)
4543, 44syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0)
46 fveqeq2 6890 . . 3 (𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0))
4745, 46syl5ibrcom 246 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}) → (deg‘𝐹) = 0))
4840, 47impbid 211 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4620  cmpt 5221   × cxp 5664  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11103  0cc0 11105  1c1 11106   · cmul 11110  0cn0 12468  cz 12554  ...cfz 13480  cexp 14023  Σcsu 15628  Polycply 26026  coeffccoe 26028  degcdgr 26029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-0p 25509  df-ply 26030  df-coe 26032  df-dgr 26033
This theorem is referenced by:  dgrnznn  26089  dgreq0  26108  dgrcolem2  26117  dgrco  26118  plyrem  26147  fta1  26150  aaliou2  26182
  Copyright terms: Public domain W3C validator