Theorem cnfldexp 21440

Description: The exponentiation operator in the field of complex numbers (for nonnegative exponents). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵))

Proof of Theorem cnfldexp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
2		oveq2 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑0))
3	1, 2	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥) ↔ (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0)))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0))))
5		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
6		oveq2 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
7	5, 6	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥) ↔ (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦)))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦))))
9		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
10		oveq2 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))
11	9, 10	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥) ↔ ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1))))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
13		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
14		oveq2 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝐵))
15	13, 14	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥) ↔ (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵)))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵))))
17		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
18		cnfldbas 21391	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	17, 18	mgpbas 20167	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20		cnfld1 21429	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	17, 20	ringidval 20210	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
23	19, 21, 22	mulg0 19114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = 1)
24		exp0 14116	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
25	23, 24	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0))
26		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦) → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴) = ((𝐴↑𝑦) · 𝐴))
27		cnring 21426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
28	17	ringmgp 20266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
30		cnfldmul 21395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
31	17, 30	mgpplusg 20165	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
32	19, 22, 31	mulgnn0p1 19125	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
33	29, 32	mp3an1 1448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
34	33	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
35		expp1 14119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴↑𝑦) · 𝐴))
36	34, 35	eqeq12d 2756	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)) ↔ ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴) = ((𝐴↑𝑦) · 𝐴)))
37	26, 36	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1))))
38	37	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
39	38	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
40	4, 8, 12, 16, 25, 39	nn0ind 12738	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵)))
41	40	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112  Mndcmnd 18772  ._gcmg 19107  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260  ℂ_fldccnfld 21387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-mulg 19108  df-cmn 19824  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-cnfld 21388

This theorem is referenced by:  fermltlchr  21567  cmodscexp  25173  plypf1  26271  dchrfi  27317  dchrabs  27322  lgsqrlem1  27408  lgseisenlem4  27440  dchrisum0flblem1  27570  znfermltl  33359  constrelextdg2  33737  2sqr3minply  33738  proot1ex  43157