Theorem cnfldexp 21392

Description: The exponentiation operator in the field of complex numbers (for nonnegative exponents). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵))

Proof of Theorem cnfldexp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
2		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑0))
3	1, 2	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥) ↔ (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0)))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0))))
5		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
6		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
7	5, 6	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥) ↔ (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦)))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦))))
9		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
10		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))
11	9, 10	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥) ↔ ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1))))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
13		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
14		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝐵))
15	13, 14	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥) ↔ (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵)))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵))))
17		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
18		cnfldbas 21346	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	17, 18	mgpbas 20115	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20		cnfld1 21381	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	17, 20	ringidval 20153	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
23	19, 21, 22	mulg0 19039	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = 1)
24		exp0 14016	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
25	23, 24	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0))
26		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦) → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴) = ((𝐴↑𝑦) · 𝐴))
27		cnring 21378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
28	17	ringmgp 20209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
30		cnfldmul 21350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
31	17, 30	mgpplusg 20114	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
32	19, 22, 31	mulgnn0p1 19050	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
33	29, 32	mp3an1 1451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
34	33	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
35		expp1 14019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴↑𝑦) · 𝐴))
36	34, 35	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)) ↔ ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴) = ((𝐴↑𝑦) · 𝐴)))
37	26, 36	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1))))
38	37	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
39	38	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
40	4, 8, 12, 16, 25, 39	nn0ind 12613	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵)))
41	40	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  ℕ₀cn0 12426  ↑cexp 14012  Mndcmnd 18691  ._gcmg 19032  mulGrpcmgp 20110  Ringcrg 20203  ℂ_fldccnfld 21342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-seq 13953  df-exp 14013  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-mulg 19033  df-cmn 19746  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-cnfld 21343

This theorem is referenced by:  fermltlchr  21517  cmodscexp  25097  plypf1  26189  dchrfi  27237  dchrabs  27242  lgsqrlem1  27328  lgseisenlem4  27360  dchrisum0flblem1  27490  znfermltl  33446  constrelextdg2  33912  2sqr3minply  33945  cos9thpiminplylem6  33952  proot1ex  43639