![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > risefaccllem | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for rising factorial closure laws. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
risefallfaccllem.1 | โข ๐ โ โ |
risefallfaccllem.2 | โข 1 โ ๐ |
risefallfaccllem.3 | โข ((๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ ๐) |
risefaccllem.4 | โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐ด + ๐) โ ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
risefaccllem | โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐ด RiseFac ๐) โ ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | risefallfaccllem.1 | . . . 4 โข ๐ โ โ | |
2 | 1 | sseli 3969 | . . 3 โข (๐ด โ ๐ โ ๐ด โ โ) |
3 | risefacval 15979 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ (๐ด RiseFac ๐) = โ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ด + ๐)) | |
4 | 2, 3 | sylan 578 | . 2 โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐ด RiseFac ๐) = โ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ด + ๐)) |
5 | 1 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ด โ ๐ โ ๐ โ โ) |
6 | risefallfaccllem.3 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ ๐) | |
7 | 6 | adantl 480 | . . . 4 โข ((๐ด โ ๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐)) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ ๐) |
8 | fzfid 13965 | . . . 4 โข (๐ด โ ๐ โ (0...(๐ โ 1)) โ Fin) | |
9 | elfznn0 13621 | . . . . 5 โข (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โ ๐ โ โ0) | |
10 | risefaccllem.4 | . . . . 5 โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐ด + ๐) โ ๐) | |
11 | 9, 10 | sylan2 591 | . . . 4 โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ (๐ด + ๐) โ ๐) |
12 | risefallfaccllem.2 | . . . . 5 โข 1 โ ๐ | |
13 | 12 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ด โ ๐ โ 1 โ ๐) |
14 | 5, 7, 8, 11, 13 | fprodcllem 15922 | . . 3 โข (๐ด โ ๐ โ โ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ด + ๐) โ ๐) |
15 | 14 | adantr 479 | . 2 โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ โ โ0) โ โ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ด + ๐) โ ๐) |
16 | 4, 15 | eqeltrd 2825 | 1 โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ โ โ0) โ (๐ด RiseFac ๐) โ ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wss 3941 (class class class)co 7413 โcc 11131 0cc0 11133 1c1 11134 + caddc 11136 ยท cmul 11138 โ cmin 11469 โ0cn0 12497 ...cfz 13511 โcprod 15876 RiseFac crisefac 15976 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5281 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-inf2 9659 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 ax-pre-sup 11211 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3961 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4905 df-int 4946 df-iun 4994 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-tr 5262 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-se 5629 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7866 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-sup 9460 df-oi 9528 df-card 9957 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11897 df-nn 12238 df-2 12300 df-3 12301 df-n0 12498 df-z 12584 df-uz 12848 df-rp 13002 df-fz 13512 df-fzo 13655 df-seq 13994 df-exp 14054 df-hash 14317 df-cj 15073 df-re 15074 df-im 15075 df-sqrt 15209 df-abs 15210 df-clim 15459 df-prod 15877 df-risefac 15977 |
This theorem is referenced by: risefaccl 15986 rerisefaccl 15988 nnrisefaccl 15990 zrisefaccl 15991 nn0risefaccl 15993 rprisefaccl 15994 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |