MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  risefaccllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem risefaccllem 15984
Description: Lemma for rising factorial closure laws. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
risefallfaccllem.1 ๐‘† โІ โ„‚
risefallfaccllem.2 1 โˆˆ ๐‘†
risefallfaccllem.3 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
risefaccllem.4 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
risefaccllem ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ

Proof of Theorem risefaccllem
StepHypRef Expression
1 risefallfaccllem.1 . . . 4 ๐‘† โІ โ„‚
21sseli 3969 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 risefacval 15979 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด + ๐‘˜))
42, 3sylan 578 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด + ๐‘˜))
51a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘† โІ โ„‚)
6 risefallfaccllem.3 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
76adantl 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
8 fzfid 13965 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
9 elfznn0 13621 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
10 risefaccllem.4 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
119, 10sylan2 591 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด + ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
12 risefallfaccllem.2 . . . . 5 1 โˆˆ ๐‘†
1312a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ 1 โˆˆ ๐‘†)
145, 7, 8, 11, 13fprodcllem 15922 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด + ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
1514adantr 479 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด + ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
164, 15eqeltrd 2825 1 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3941  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   โˆ’ cmin 11469  โ„•0cn0 12497  ...cfz 13511  โˆcprod 15876   RiseFac crisefac 15976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-prod 15877  df-risefac 15977
This theorem is referenced by:  risefaccl  15986  rerisefaccl  15988  nnrisefaccl  15990  zrisefaccl  15991  nn0risefaccl  15993  rprisefaccl  15994
  Copyright terms: Public domain W3C validator