Theorem risefaccllem 15973

Description: Lemma for rising factorial closure laws. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
risefallfaccllem.1	⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
risefallfaccllem.2	⊢ 1 ∈ 𝑆
risefallfaccllem.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
risefaccllem.4	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑘) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
risefaccllem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑁,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem risefaccllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risefallfaccllem.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
2	1	sseli 3918	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		risefacval 15968	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘))
4	2, 3	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘))
5	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		risefallfaccllem.3	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
8		fzfid 13930	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
9		elfznn0 13569	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		risefaccllem.4	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑘) ∈ 𝑆)
11	9, 10	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 + 𝑘) ∈ 𝑆)
12		risefallfaccllem.2	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ 𝑆
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 1 ∈ 𝑆)
14	5, 7, 8, 11, 13	fprodcllem 15911	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘) ∈ 𝑆)
15	14	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘) ∈ 𝑆)
16	4, 15	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   − cmin 11372  ℕ₀cn0 12432  ...cfz 13456  ∏cprod 15863   RiseFac crisefac 15965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-prod 15864  df-risefac 15966

This theorem is referenced by:  risefaccl  15975  rerisefaccl  15977  nnrisefaccl  15979  zrisefaccl  15980  nn0risefaccl  15982  rprisefaccl  15983