MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  risefaccllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem risefaccllem 15975
Description: Lemma for rising factorial closure laws. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
risefallfaccllem.1 ๐‘† โІ โ„‚
risefallfaccllem.2 1 โˆˆ ๐‘†
risefallfaccllem.3 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
risefaccllem.4 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
risefaccllem ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ

Proof of Theorem risefaccllem
StepHypRef Expression
1 risefallfaccllem.1 . . . 4 ๐‘† โІ โ„‚
21sseli 3974 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 risefacval 15970 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด + ๐‘˜))
42, 3sylan 579 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด + ๐‘˜))
51a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘† โІ โ„‚)
6 risefallfaccllem.3 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
76adantl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
8 fzfid 13956 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
9 elfznn0 13612 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
10 risefaccllem.4 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
119, 10sylan2 592 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด + ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
12 risefallfaccllem.2 . . . . 5 1 โˆˆ ๐‘†
1312a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ 1 โˆˆ ๐‘†)
145, 7, 8, 11, 13fprodcllem 15913 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด + ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
1514adantr 480 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด + ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
164, 15eqeltrd 2828 1 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โІ wss 3944  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โˆ’ cmin 11460  โ„•0cn0 12488  ...cfz 13502  โˆcprod 15867   RiseFac crisefac 15967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-prod 15868  df-risefac 15968
This theorem is referenced by:  risefaccl  15977  rerisefaccl  15979  nnrisefaccl  15981  zrisefaccl  15982  nn0risefaccl  15984  rprisefaccl  15985
  Copyright terms: Public domain W3C validator