Theorem fiblem 34950

Description: Lemma for fib0 34951, fib1 34952 and fibp1 34953. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fiblem	⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Proof of Theorem fiblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2len 14993	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
2	1	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ 2 = (♯‘⟨“01”⟩)
3	2	fveq2i 6877	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))
4	3	imaeq2i 6049	. . . 4 ⊢ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) = (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
5	4	ineq2i 4163	. . 3 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
7	5, 6	mpteq12i 5202	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))
8		elin 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↔ (𝑤 ∈ Word ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
9	8	simplbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ Word ℕ0)
10		wrdf 14616	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ Word ℕ0 → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
12	8	simprbi 503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
13		hashf 14435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
14		ffn 6698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
15		elpreima 7046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯ Fn V → (𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
17	12, 16	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
18	17	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
19	18, 3	eleqtrrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘2))
20		uznn0sub 12955	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
22		1zzd 12682	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 1 ∈ ℤ)
23		1p1e2 12421	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
24	23	fveq2i 6877	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
25	19, 24	eleqtrrdi 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
26		peano2uzr 12985	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘1))
27	22, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘1))
28		nnuz 12959	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
29	27, 28	eleqtrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ)
30	29	nnred 12305	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℝ)
31		2rp 13080	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 2 ∈ ℝ+)
33	30, 32	ltsubrpd 13151	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤))
34		elfzo0 13789	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↔ (((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑤) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤)))
35	21, 29, 33, 34	syl3anbrc 1362	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
36	11, 35	ffvelcdmd 7074	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) ∈ ℕ0)
37		fzo0end 13847	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ ℕ → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
38	29, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
39	11, 38	ffvelcdmd 7074	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) ∈ ℕ0)
40	36, 39	nn0addcld 12626	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) ∈ ℕ0)
41	7, 40	fmpti 7101	1 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5647   “ cima 5651   Fn wfn 6523  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160  +∞cpnf 11297   < clt 11300   − cmin 11498  ℕcn 12290  2c2 12352  ℕ₀cn0 12561  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920  ℝ⁺crp 13075  ..^cfzo 13742  ♯chash 14427  Word cword 14611  ⟨“cs2 14945

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-n0 12562  df-xnn0 12635  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-hash 14428  df-word 14612  df-concat 14669  df-s1 14696  df-s2 14952

This theorem is used by:  fib0  34951  fib1  34952  fibp1  34953