Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiblem 33397
Description: Lemma for fib0 33398, fib1 33399 and fibp1 33400. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fiblem (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜2))) ↦ ((π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2)) + (π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)))):(Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©))))βŸΆβ„•0

Proof of Theorem fiblem
StepHypRef Expression
1 s2len 14840 . . . . . . 7 (β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©) = 2
21eqcomi 2742 . . . . . 6 2 = (β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)
32fveq2i 6895 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜2) = (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©))
43imaeq2i 6058 . . . 4 (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜2)) = (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))
54ineq2i 4210 . . 3 (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜2))) = (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©))))
6 eqid 2733 . . 3 ((π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2)) + (π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1))) = ((π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2)) + (π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)))
75, 6mpteq12i 5255 . 2 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜2))) ↦ ((π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2)) + (π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)))) = (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) ↦ ((π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2)) + (π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1))))
8 elin 3965 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) ↔ (𝑀 ∈ Word β„•0 ∧ 𝑀 ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))))
98simplbi 499 . . . . 5 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ 𝑀 ∈ Word β„•0)
10 wrdf 14469 . . . . 5 (𝑀 ∈ Word β„•0 β†’ 𝑀:(0..^(β™―β€˜π‘€))βŸΆβ„•0)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ 𝑀:(0..^(β™―β€˜π‘€))βŸΆβ„•0)
128simprbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ 𝑀 ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©))))
13 hashf 14298 . . . . . . . . . 10 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
14 ffn 6718 . . . . . . . . . 10 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ β™― Fn V)
15 elpreima 7060 . . . . . . . . . 10 (β™― Fn V β†’ (𝑀 ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©))) ↔ (𝑀 ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))))
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©))) ↔ (𝑀 ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©))))
1712, 16sylib 217 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ (𝑀 ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©))))
1817simprd 497 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))
1918, 3eleqtrrdi 2845 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
20 uznn0sub 12861 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2) ∈ β„•0)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2) ∈ β„•0)
22 1zzd 12593 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ 1 ∈ β„€)
23 1p1e2 12337 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
2423fveq2i 6895 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜2)
2519, 24eleqtrrdi 2845 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)))
26 peano2uzr 12887 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))) β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2722, 25, 26syl2anc 585 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
28 nnuz 12865 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2927, 28eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„•)
3029nnred 12227 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ ℝ)
31 2rp 12979 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ 2 ∈ ℝ+)
3330, 32ltsubrpd 13048 . . . . 5 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2) < (β™―β€˜π‘€))
34 elfzo0 13673 . . . . 5 (((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘€)) ↔ (((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2) < (β™―β€˜π‘€)))
3521, 29, 33, 34syl3anbrc 1344 . . . 4 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘€)))
3611, 35ffvelcdmd 7088 . . 3 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ (π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2)) ∈ β„•0)
37 fzo0end 13724 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘€) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘€)))
3829, 37syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘€)))
3911, 38ffvelcdmd 7088 . . 3 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ (π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
4036, 39nn0addcld 12536 . 2 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©)))) β†’ ((π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2)) + (π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1))) ∈ β„•0)
417, 40fmpti 7112 1 (𝑀 ∈ (Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜2))) ↦ ((π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 2)) + (π‘€β€˜((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)))):(Word β„•0 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜βŸ¨β€œ01β€βŸ©))))βŸΆβ„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  +∞cpnf 11245   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464  βŸ¨β€œcs2 14792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799
This theorem is referenced by:  fib0  33398  fib1  33399  fibp1  33400
  Copyright terms: Public domain W3C validator