Theorem fiblem 34380

Description: Lemma for fib0 34381, fib1 34382 and fibp1 34383. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fiblem	⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Proof of Theorem fiblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2len 14925	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
2	1	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ 2 = (♯‘⟨“01”⟩)
3	2	fveq2i 6910	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))
4	3	imaeq2i 6078	. . . 4 ⊢ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) = (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
5	4	ineq2i 4225	. . 3 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
6		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
7	5, 6	mpteq12i 5254	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))
8		elin 3979	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↔ (𝑤 ∈ Word ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
9	8	simplbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ Word ℕ0)
10		wrdf 14554	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ Word ℕ0 → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
12	8	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
13		hashf 14374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
14		ffn 6737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
15		elpreima 7078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯ Fn V → (𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
17	12, 16	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
18	17	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
19	18, 3	eleqtrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘2))
20		uznn0sub 12915	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
22		1zzd 12646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 1 ∈ ℤ)
23		1p1e2 12389	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
24	23	fveq2i 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
25	19, 24	eleqtrrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
26		peano2uzr 12943	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘1))
27	22, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘1))
28		nnuz 12919	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
29	27, 28	eleqtrrdi 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ)
30	29	nnred 12279	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℝ)
31		2rp 13037	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 2 ∈ ℝ+)
33	30, 32	ltsubrpd 13107	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤))
34		elfzo0 13737	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↔ (((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑤) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤)))
35	21, 29, 33, 34	syl3anbrc 1342	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
36	11, 35	ffvelcdmd 7105	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) ∈ ℕ0)
37		fzo0end 13794	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ ℕ → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
38	29, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
39	11, 38	ffvelcdmd 7105	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) ∈ ℕ0)
40	36, 39	nn0addcld 12589	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) ∈ ℕ0)
41	7, 40	fmpti 7132	1 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962  {csn 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  +∞cpnf 11290   < clt 11293   − cmin 11490  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ℝ⁺crp 13032  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549  ⟨“cs2 14877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884

This theorem is referenced by:  fib0  34381  fib1  34382  fibp1  34383