Theorem fiblem 35097

Description: Lemma for fib0 35098, fib1 35099 and fibp1 35100. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fiblem	⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Proof of Theorem fiblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2len 15065	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
2	1	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ 2 = (♯‘⟨“01”⟩)
3	2	fveq2i 6908	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))
4	3	imaeq2i 6061	. . . 4 ⊢ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) = (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
5	4	ineq2i 4117	. . 3 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
7	5, 6	mpteq12i 5205	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))
8		elin 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↔ (𝑤 ∈ Word ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
9	8	simplbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ Word ℕ0)
10		wrdf 14687	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ Word ℕ0 → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
12	8	simprbi 503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
13		hashf 14506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
14		ffn 6728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
15		elpreima 7077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯ Fn V → (𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
17	12, 16	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
18	17	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
19	18, 3	eleqtrrdi 2875	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘2))
20		uznn0sub 13024	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
22		1zzd 12751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 1 ∈ ℤ)
23		1p1e2 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
24	23	fveq2i 6908	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
25	19, 24	eleqtrrdi 2875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
26		peano2uzr 13054	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘1))
27	22, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘1))
28		nnuz 13028	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
29	27, 28	eleqtrrdi 2875	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ)
30	29	nnred 12374	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℝ)
31		2rp 13149	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 2 ∈ ℝ+)
33	30, 32	ltsubrpd 13220	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤))
34		elfzo0 13859	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↔ (((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑤) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤)))
35	21, 29, 33, 34	syl3anbrc 1362	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
36	11, 35	ffvelcdmd 7106	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) ∈ ℕ0)
37		fzo0end 13917	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ ℕ → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
38	29, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
39	11, 38	ffvelcdmd 7106	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) ∈ ℕ0)
40	36, 39	nn0addcld 12695	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) ∈ ℕ0)
41	7, 40	fmpti 7133	1 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658   Fn wfn 6550  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227  +∞cpnf 11364   < clt 11367   − cmin 11565  ℕcn 12359  2c2 12421  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989  ℝ⁺crp 13144  ..^cfzo 13812  ♯chash 14498  Word cword 14682  ⟨“cs2 15017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-s2 15024

This theorem is used by:  fib0  35098  fib1  35099  fibp1  35100