Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiblem 34400
Description: Lemma for fib0 34401, fib1 34402 and fibp1 34403. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fiblem (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Proof of Theorem fiblem
StepHypRef Expression
1 s2len 14928 . . . . . . 7 (♯‘⟨“01”⟩) = 2
21eqcomi 2746 . . . . . 6 2 = (♯‘⟨“01”⟩)
32fveq2i 6909 . . . . 5 (ℤ‘2) = (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))
43imaeq2i 6076 . . . 4 (♯ “ (ℤ‘2)) = (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))
54ineq2i 4217 . . 3 (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) = (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
6 eqid 2737 . . 3 ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
75, 6mpteq12i 5248 . 2 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))
8 elin 3967 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↔ (𝑤 ∈ Word ℕ0𝑤 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
98simplbi 497 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ Word ℕ0)
10 wrdf 14557 . . . . 5 (𝑤 ∈ Word ℕ0𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
128simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
13 hashf 14377 . . . . . . . . . 10 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
14 ffn 6736 . . . . . . . . . 10 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
15 elpreima 7078 . . . . . . . . . 10 (♯ Fn V → (𝑤 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
1712, 16sylib 218 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
1817simprd 495 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))
1918, 3eleqtrrdi 2852 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘2))
20 uznn0sub 12917 . . . . . 6 ((♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
22 1zzd 12648 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 1 ∈ ℤ)
23 1p1e2 12391 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
2423fveq2i 6909 . . . . . . . 8 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘2)
2519, 24eleqtrrdi 2852 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
26 peano2uzr 12945 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘1))
2722, 25, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘1))
28 nnuz 12921 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2927, 28eleqtrrdi 2852 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ)
3029nnred 12281 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℝ)
31 2rp 13039 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 2 ∈ ℝ+)
3330, 32ltsubrpd 13109 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤))
34 elfzo0 13740 . . . . 5 (((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↔ (((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑤) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤)))
3521, 29, 33, 34syl3anbrc 1344 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
3611, 35ffvelcdmd 7105 . . 3 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) ∈ ℕ0)
37 fzo0end 13797 . . . . 5 ((♯‘𝑤) ∈ ℕ → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
3829, 37syl 17 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
3911, 38ffvelcdmd 7105 . . 3 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) ∈ ℕ0)
4036, 39nn0addcld 12591 . 2 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) ∈ ℕ0)
417, 40fmpti 7132 1 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wcel 2108  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292   < clt 11295  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  ⟨“cs2 14880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887
This theorem is referenced by:  fib0  34401  fib1  34402  fibp1  34403
  Copyright terms: Public domain W3C validator