Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiblem 33385
Description: Lemma for fib0 33386, fib1 33387 and fibp1 33388. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fiblem (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Proof of Theorem fiblem
StepHypRef Expression
1 s2len 14836 . . . . . . 7 (♯‘⟨“01”⟩) = 2
21eqcomi 2741 . . . . . 6 2 = (♯‘⟨“01”⟩)
32fveq2i 6891 . . . . 5 (ℤ‘2) = (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))
43imaeq2i 6055 . . . 4 (♯ “ (ℤ‘2)) = (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))
54ineq2i 4208 . . 3 (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) = (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
6 eqid 2732 . . 3 ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
75, 6mpteq12i 5253 . 2 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))
8 elin 3963 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↔ (𝑤 ∈ Word ℕ0𝑤 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
98simplbi 498 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ Word ℕ0)
10 wrdf 14465 . . . . 5 (𝑤 ∈ Word ℕ0𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
128simprbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
13 hashf 14294 . . . . . . . . . 10 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
14 ffn 6714 . . . . . . . . . 10 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
15 elpreima 7056 . . . . . . . . . 10 (♯ Fn V → (𝑤 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
1712, 16sylib 217 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
1817simprd 496 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))
1918, 3eleqtrrdi 2844 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘2))
20 uznn0sub 12857 . . . . . 6 ((♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
22 1zzd 12589 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 1 ∈ ℤ)
23 1p1e2 12333 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
2423fveq2i 6891 . . . . . . . 8 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘2)
2519, 24eleqtrrdi 2844 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
26 peano2uzr 12883 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘1))
2722, 25, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ‘1))
28 nnuz 12861 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2927, 28eleqtrrdi 2844 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ)
3029nnred 12223 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℝ)
31 2rp 12975 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 2 ∈ ℝ+)
3330, 32ltsubrpd 13044 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤))
34 elfzo0 13669 . . . . 5 (((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↔ (((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑤) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤)))
3521, 29, 33, 34syl3anbrc 1343 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
3611, 35ffvelcdmd 7084 . . 3 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) ∈ ℕ0)
37 fzo0end 13720 . . . . 5 ((♯‘𝑤) ∈ ℕ → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
3829, 37syl 17 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
3911, 38ffvelcdmd 7084 . . 3 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) ∈ ℕ0)
4036, 39nn0addcld 12532 . 2 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) ∈ ℕ0)
417, 40fmpti 7108 1 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  wcel 2106  Vcvv 3474  cun 3945  cin 3946  {csn 4627   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5674  cima 5678   Fn wfn 6535  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  +∞cpnf 11241   < clt 11244  cmin 11440  cn 12208  2c2 12263  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818  +crp 12970  ..^cfzo 13623  chash 14286  Word cword 14460  ⟨“cs2 14788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795
This theorem is referenced by:  fib0  33386  fib1  33387  fibp1  33388
  Copyright terms: Public domain W3C validator