Theorem fiblem 31766

Description: Lemma for fib0 31767, fib1 31768 and fibp1 31769. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fiblem	⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Proof of Theorem fiblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2len 14242	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
2	1	eqcomi 2807	. . . . . 6 ⊢ 2 = (♯‘⟨“01”⟩)
3	2	fveq2i 6648	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))
4	3	imaeq2i 5894	. . . 4 ⊢ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) = (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
5	4	ineq2i 4136	. . 3 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
6		eqid 2798	. . 3 ⊢ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
7	5, 6	mpteq12i 5123	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))
8		elin 3897	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↔ (𝑤 ∈ Word ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
9	8	simplbi 501	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ Word ℕ0)
10		wrdf 13862	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ Word ℕ0 → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
12	8	simprbi 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
13		hashf 13694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
14		ffn 6487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
15		elpreima 6805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯ Fn V → (𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
17	12, 16	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
18	17	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
19	18, 3	eleqtrrdi 2901	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘2))
20		uznn0sub 12265	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
22		1zzd 12001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 1 ∈ ℤ)
23		1p1e2 11750	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
24	23	fveq2i 6648	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
25	19, 24	eleqtrrdi 2901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
26		peano2uzr 12291	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘1))
27	22, 25, 26	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘1))
28		nnuz 12269	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
29	27, 28	eleqtrrdi 2901	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ)
30	29	nnred 11640	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℝ)
31		2rp 12382	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 2 ∈ ℝ+)
33	30, 32	ltsubrpd 12451	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤))
34		elfzo0 13073	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↔ (((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑤) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤)))
35	21, 29, 33, 34	syl3anbrc 1340	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
36	11, 35	ffvelrnd 6829	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) ∈ ℕ0)
37		fzo0end 13124	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ ℕ → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
38	29, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
39	11, 38	ffvelrnd 6829	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) ∈ ℕ0)
40	36, 39	nn0addcld 11947	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) ∈ ℕ0)
41	7, 40	fmpti 6853	1 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  +∞cpnf 10661   < clt 10664   − cmin 10859  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ℝ⁺crp 12377  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Word cword 13857  ⟨“cs2 14194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201

This theorem is referenced by:  fib0  31767  fib1  31768  fibp1  31769