Theorem fiblem 34400

Description: Lemma for fib0 34401, fib1 34402 and fibp1 34403. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fiblem	⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Proof of Theorem fiblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2len 14928	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
2	1	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ 2 = (♯‘⟨“01”⟩)
3	2	fveq2i 6909	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))
4	3	imaeq2i 6076	. . . 4 ⊢ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) = (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
5	4	ineq2i 4217	. . 3 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
7	5, 6	mpteq12i 5248	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))
8		elin 3967	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) ↔ (𝑤 ∈ Word ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
9	8	simplbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ Word ℕ0)
10		wrdf 14557	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ Word ℕ0 → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶ℕ0)
12	8	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
13		hashf 14377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
14		ffn 6736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
15		elpreima 7078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯ Fn V → (𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
17	12, 16	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤 ∈ V ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
18	17	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
19	18, 3	eleqtrrdi 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘2))
20		uznn0sub 12917	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
22		1zzd 12648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 1 ∈ ℤ)
23		1p1e2 12391	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
24	23	fveq2i 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
25	19, 24	eleqtrrdi 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
26		peano2uzr 12945	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘1))
27	22, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘1))
28		nnuz 12921	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
29	27, 28	eleqtrrdi 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ)
30	29	nnred 12281	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (♯‘𝑤) ∈ ℝ)
31		2rp 13039	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → 2 ∈ ℝ+)
33	30, 32	ltsubrpd 13109	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤))
34		elfzo0 13740	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↔ (((♯‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑤) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑤) − 2) < (♯‘𝑤)))
35	21, 29, 33, 34	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
36	11, 35	ffvelcdmd 7105	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) ∈ ℕ0)
37		fzo0end 13797	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑤) ∈ ℕ → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
38	29, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑤)))
39	11, 38	ffvelcdmd 7105	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) ∈ ℕ0)
40	36, 39	nn0addcld 12591	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) ∈ ℕ0)
41	7, 40	fmpti 7132	1 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292   < clt 11295   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13034  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552  ⟨“cs2 14880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887

This theorem is referenced by:  fib0  34401  fib1  34402  fibp1  34403