MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddvds2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddvds2 19476
Description: The order of an element of a finite group divides the order (cardinality) of the group. Corollary of Lagrange's theorem for the order of a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl2.1 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
odcl2.2 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
oddvds2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ (β™―β€˜π‘‹))

Proof of Theorem oddvds2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odcl2.1 . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
2 odcl2.2 . . . . 5 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
3 eqid 2731 . . . . 5 (.gβ€˜πΊ) = (.gβ€˜πΊ)
4 eqid 2731 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴)) = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴))
51, 2, 3, 4dfod2 19474 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜π΄) = if(ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴)) ∈ Fin, (β™―β€˜ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴))), 0))
653adant2 1130 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜π΄) = if(ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴)) ∈ Fin, (β™―β€˜ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴))), 0))
7 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
81, 3, 4cycsubgcl 19122 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴))))
983adant2 1130 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴))))
109simpld 494 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
111subgss 19044 . . . . . 6 (ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴)) βŠ† 𝑋)
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴)) βŠ† 𝑋)
137, 12ssfid 9270 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴)) ∈ Fin)
1413iftrued 4536 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ if(ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴)) ∈ Fin, (β™―β€˜ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴))), 0) = (β™―β€˜ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴))))
156, 14eqtrd 2771 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜π΄) = (β™―β€˜ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴))))
161lagsubg 19111 . . 3 ((ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴)) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴))) βˆ₯ (β™―β€˜π‘‹))
1710, 7, 16syl2anc 583 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (β™―β€˜ran (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴))) βˆ₯ (β™―β€˜π‘‹))
1815, 17eqbrtrd 5170 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ (β™―β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  0cc0 11113  β„€cz 12563  β™―chash 14295   βˆ₯ cdvds 16202  Basecbs 17149  Grpcgrp 18856  .gcmg 18987  SubGrpcsubg 19037  odcod 19434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-ec 8708  df-qs 8712  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-dvds 16203  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-eqg 19042  df-od 19438
This theorem is referenced by:  odsubdvds  19481  gexcl2  19499  gexdvds3  19500  pgpfi1  19505  prmcyg  19804  lt6abl  19805  ablfacrp  19978  pgpfac1lem2  19987  dchrfi  26995  dchrabs  27000
  Copyright terms: Public domain W3C validator