Theorem oddvds2 19699

Description: The order of an element of a finite group divides the order (cardinality) of the group. Corollary of Lagrange's theorem for the order of a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl2.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl2.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oddvds2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∥ (♯‘𝑋))

Proof of Theorem oddvds2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcl2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odcl2.2	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
3		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴))
5	1, 2, 3, 4	dfod2 19697	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) = if(ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴))), 0))
6	5	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) = if(ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴))), 0))
7		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
8	1, 3, 4	cycsubgcl 19340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴))))
9	8	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴))))
10	9	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11	1	subgss 19256	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋)
13	7, 12	ssfid 9243	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
14	13	iftrued 4493	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → if(ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴))), 0) = (♯‘ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴))))
15	6, 14	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) = (♯‘ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴))))
16	1	lagsubg 19329	. . 3 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴))) ∥ (♯‘𝑋))
17	10, 7, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (♯‘ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴))) ∥ (♯‘𝑋))
18	15, 17	eqbrtrd 5131	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∥ (♯‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ifcif 4485   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  0cc0 11128  ℤcz 12619  ♯chash 14398   ∥ cdvds 16348  Basecbs 17307  Grpcgrp 19063  ._gcmg 19196  SubGrpcsubg 19249  odcod 19657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-dvds 16349  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-eqg 19254  df-od 19661

This theorem is used by:  odsubdvds  19704  gexcl2  19722  gexdvds3  19723  pgpfi1  19728  prmcyg  20027  lt6abl  20028  ablfacrp  20201  pgpfac1lem2  20210  dchrfi  27499  dchrabs  27504  unitscyglem4  43072