Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimcnv 44955
Description: The sequence of function values converges to the value of the limit function 𝐺 at any point of its domain 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimcnv.1 𝑥𝐹
fnlimcnv.2 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimcnv.3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
fnlimcnv.4 (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
fnlimcnv (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺𝑋))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝑚   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)   𝑍(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimcnv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimcnv.4 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
2 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹𝑚)‘𝑦) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
32mpteq2dv 5243 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
43eleq1d 2812 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
5 fnlimcnv.2 . . . . . . 7 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
6 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 𝑥𝑍
7 nfcv 2897 . . . . . . . . . 10 𝑥(ℤ𝑛)
8 fnlimcnv.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐹
9 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑚
108, 9nffv 6895 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐹𝑚)
1110nfdm 5944 . . . . . . . . . 10 𝑥dom (𝐹𝑚)
127, 11nfiin 5021 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
136, 12nfiun 5020 . . . . . . . 8 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
14 nfcv 2897 . . . . . . . 8 𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
15 nfv 1909 . . . . . . . 8 𝑦(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
16 nfcv 2897 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦
1710, 16nffv 6895 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑦)
186, 17nfmpt 5248 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦))
19 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 𝑥dom ⇝
2018, 19nfel 2911 . . . . . . . 8 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
21 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
2221mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
2322eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
2413, 14, 15, 20, 23cbvrabw 3461 . . . . . . 7 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
255, 24eqtri 2754 . . . . . 6 𝐷 = {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
264, 25elrab2 3681 . . . . 5 (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
271, 26sylib 217 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
2827simprd 495 . . 3 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
29 climdm 15504 . . 3 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
3028, 29sylib 217 . 2 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
31 nfrab1 3445 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
325, 31nfcxfr 2895 . . . 4 𝑥𝐷
33 fnlimcnv.3 . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
3432, 8, 33, 1fnlimfv 44951 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
3534eqcomd 2732 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) = (𝐺𝑋))
3630, 35breqtrd 5167 1 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wnfc 2877  {crab 3426   ciun 4990   ciin 4991   class class class wbr 5141  cmpt 5224  dom cdm 5669  cfv 6537  cuz 12826  cli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438
This theorem is referenced by:  fnlimabslt  44967
  Copyright terms: Public domain W3C validator