Theorem fnlimcnv 45623

Description: The sequence of function values converges to the value of the limit function 𝐺 at any point of its domain 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimcnv.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fnlimcnv.2	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimcnv.3	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
fnlimcnv.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fnlimcnv	⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝑚   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)   𝑍(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimcnv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimcnv.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
2		fveq2 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))
3	2	mpteq2dv 5250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))
4	3	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
5		fnlimcnv.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
6		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
7		nfcv 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(ℤ≥‘𝑛)
8		fnlimcnv.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
10	8, 9	nffv 6917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5965	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑚)
12	7, 11	nfiin 5029	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
13	6, 12	nfiun 5028	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
14		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
15		nfv 1912	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
16		nfcv 2903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
17	10, 16	nffv 6917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑦)
18	6, 17	nfmpt 5255	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
19		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥dom ⇝
20	18, 19	nfel 2918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
21		fveq2 6907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
22	21	mpteq2dv 5250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)))
23	22	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
24	13, 14, 15, 20, 23	cbvrabw 3471	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
25	5, 24	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
26	4, 25	elrab2 3698	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
27	1, 26	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
28	27	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
29		climdm 15587	. . 3 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
30	28, 29	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
31		nfrab1 3454	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
32	5, 31	nfcxfr 2901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
33		fnlimcnv.3	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
34	32, 8, 33, 1	fnlimfv 45619	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
35	34	eqcomd 2741	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) = (𝐺‘𝑋))
36	30, 35	breqtrd 5174	1 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2888  {crab 3433  ∪ ciun 4996  ∩ ciin 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  ℤ_≥cuz 12876   ⇝ cli 15517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521

This theorem is referenced by:  fnlimabslt  45635