Theorem fnlimcnv 46593

Description: The sequence of function values converges to the value of the limit function 𝐺 at any point of its domain 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimcnv.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fnlimcnv.2	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimcnv.3	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
fnlimcnv.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fnlimcnv	⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝑚   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝐷(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝐹(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝑋(𝑥, 𝑛)   𝑍(𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem fnlimcnv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimcnv.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
2		fveq2 6874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))
3	2	mpteq2dv 5199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))
4	3	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
5		fnlimcnv.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
6		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
7		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(ℤ≥‘𝑛)
8		fnlimcnv.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
10	8, 9	nffv 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5930	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑚)
12	7, 11	nfiin 4983	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
13	6, 12	nfiun 4982	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
14		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
15		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
16		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
17	10, 16	nffv 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑦)
18	6, 17	nfmpt 5203	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
19		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥dom ⇝
20	18, 19	nfel 2936	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
21		fveq2 6874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
22	21	mpteq2dv 5199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)))
23	22	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
24	13, 14, 15, 20, 23	cbvrabw 3446	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
25	5, 24	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑦 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
26	4, 25	elrab2 3649	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
27	1, 26	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
28	27	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
29		climdm 15674	. . 3 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
30	28, 29	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
31		nfrab1 3431	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
32	5, 31	nfcxfr 2920	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
33		fnlimcnv.3	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
34	32, 8, 33, 1	fnlimfv 46589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
35	34	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) = (𝐺‘𝑋))
36	30, 35	breqtrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907  {crab 3412  ∪ ciun 4951  ∩ ciin 4952   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5648  ‘cfv 6528  ℤ_≥cuz 12920   ⇝ cli 15604

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-seq 14099  df-exp 14159  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608

This theorem is used by:  fnlimabslt  46605