Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimcnv 43994
Description: The sequence of function values converges to the value of the limit function 𝐺 at any point of its domain 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimcnv.1 𝑥𝐹
fnlimcnv.2 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimcnv.3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
fnlimcnv.4 (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
fnlimcnv (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺𝑋))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝑚   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)   𝑍(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimcnv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimcnv.4 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
2 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹𝑚)‘𝑦) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
32mpteq2dv 5208 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
43eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
5 fnlimcnv.2 . . . . . . 7 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
6 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑥𝑍
7 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑥(ℤ𝑛)
8 fnlimcnv.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐹
9 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑚
108, 9nffv 6853 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐹𝑚)
1110nfdm 5907 . . . . . . . . . 10 𝑥dom (𝐹𝑚)
127, 11nfiin 4986 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
136, 12nfiun 4985 . . . . . . . 8 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
14 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
15 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑦(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
16 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦
1710, 16nffv 6853 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑦)
186, 17nfmpt 5213 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦))
19 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑥dom ⇝
2018, 19nfel 2918 . . . . . . . 8 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
21 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
2221mpteq2dv 5208 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
2322eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
2413, 14, 15, 20, 23cbvrabw 3438 . . . . . . 7 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
255, 24eqtri 2761 . . . . . 6 𝐷 = {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
264, 25elrab2 3649 . . . . 5 (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
271, 26sylib 217 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
2827simprd 497 . . 3 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
29 climdm 15442 . . 3 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
3028, 29sylib 217 . 2 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
31 nfrab1 3425 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
325, 31nfcxfr 2902 . . . 4 𝑥𝐷
33 fnlimcnv.3 . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
3432, 8, 33, 1fnlimfv 43990 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
3534eqcomd 2739 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) = (𝐺𝑋))
3630, 35breqtrd 5132 1 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wnfc 2884  {crab 3406   ciun 4955   ciin 4956   class class class wbr 5106  cmpt 5189  dom cdm 5634  cfv 6497  cuz 12768  cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376
This theorem is referenced by:  fnlimabslt  44006
  Copyright terms: Public domain W3C validator