Theorem fnlimf 43109

Description: The limit function of real functions, is a real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimf.p	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
fnlimf.m	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
fnlimf.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fnlimf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fnlimf.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
fnlimf.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
fnlimf	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑚,𝑛   𝑛,𝐹   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimf.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
2		nfv 1918	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑧 ∈ 𝐷
3	1, 2	nfan 1903	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷)
4		fnlimf.m	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
5		fnlimf.n	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
6		fnlimf.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7		fnlimf.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
8	7	adantlr 711	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
9		fnlimf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐷)
11	3, 4, 5, 6, 8, 9, 10	fnlimfvre 43105	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ∈ ℝ)
12		fnlimf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
13		nfrab1 3310	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
14	9, 13	nfcxfr 2904	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
15		nfcv 2906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝐷
16		nfcv 2906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
17		nfcv 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 ⇝
18		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
19		nfcv 2906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
20	5, 19	nffv 6766	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
21		nfcv 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
22	20, 21	nffv 6766	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑧)
23	18, 22	nfmpt 5177	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
24	17, 23	nffv 6766	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
25		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
26	25	mpteq2dv 5172	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
27	26	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
28	14, 15, 16, 24, 27	cbvmptf 5179	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
29	12, 28	eqtri 2766	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
30	11, 29	fmptd 6970	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2886  {crab 3067  ∪ ciun 4921  ∩ ciin 4922   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  ℝcr 10801  ℤ_≥cuz 12511   ⇝ cli 15121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126

This theorem is referenced by: (None)