Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimf 44693
Description: The limit function of real functions, is a real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimf.p β„²π‘šπœ‘
fnlimf.m β„²π‘šπΉ
fnlimf.n β„²π‘₯𝐹
fnlimf.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
fnlimf.f ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
fnlimf.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
fnlimf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
fnlimf (πœ‘ β†’ 𝐺:π·βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘š,𝑛   𝑛,𝐹   π‘š,𝑍,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘š)   𝐷(π‘₯)   𝐹(π‘₯,π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem fnlimf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimf.p . . . 4 β„²π‘šπœ‘
2 nfv 1916 . . . 4 β„²π‘š 𝑧 ∈ 𝐷
31, 2nfan 1901 . . 3 β„²π‘š(πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷)
4 fnlimf.m . . 3 β„²π‘šπΉ
5 fnlimf.n . . 3 β„²π‘₯𝐹
6 fnlimf.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
7 fnlimf.f . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
87adantlr 712 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
9 fnlimf.d . . 3 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
10 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
113, 4, 5, 6, 8, 9, 10fnlimfvre 44689 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) ∈ ℝ)
12 fnlimf.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
13 nfrab1 3450 . . . . 5 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
149, 13nfcxfr 2900 . . . 4 β„²π‘₯𝐷
15 nfcv 2902 . . . 4 Ⅎ𝑧𝐷
16 nfcv 2902 . . . 4 Ⅎ𝑧( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
17 nfcv 2902 . . . . 5 β„²π‘₯ ⇝
18 nfcv 2902 . . . . . 6 β„²π‘₯𝑍
19 nfcv 2902 . . . . . . . 8 β„²π‘₯π‘š
205, 19nffv 6901 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘š)
21 nfcv 2902 . . . . . . 7 β„²π‘₯𝑧
2220, 21nffv 6901 . . . . . 6 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)
2318, 22nfmpt 5255 . . . . 5 β„²π‘₯(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))
2417, 23nffv 6901 . . . 4 β„²π‘₯( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)))
25 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))
2625mpteq2dv 5250 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)))
2726fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))))
2814, 15, 16, 24, 27cbvmptf 5257 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))))
2912, 28eqtri 2759 . 2 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))))
3011, 29fmptd 7115 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:π·βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  β„²wnf 1784   ∈ wcel 2105  β„²wnfc 2882  {crab 3431  βˆͺ ciun 4997  βˆ© ciin 4998   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„cr 11112  β„€β‰₯cuz 12827   ⇝ cli 15433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator