Theorem fnlimf 46213

Description: The limit function of real functions, is a real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimf.p	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
fnlimf.m	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
fnlimf.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fnlimf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fnlimf.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
fnlimf.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
fnlimf	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑚,𝑛   𝑛,𝐹   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimf.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
2		nfv 1933	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑧 ∈ 𝐷
3	1, 2	nfan 1918	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷)
4		fnlimf.m	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
5		fnlimf.n	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
6		fnlimf.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7		fnlimf.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
8	7	adantlr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
9		fnlimf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
10		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐷)
11	3, 4, 5, 6, 8, 9, 10	fnlimfvre 46209	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ∈ ℝ)
12		fnlimf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
13		nfrab1 3433	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
14	9, 13	nfcxfr 2921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
15		nfcv 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝐷
16		nfcv 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
17		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 ⇝
18		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
19		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
20	5, 19	nffv 6872	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
21		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
22	20, 21	nffv 6872	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑧)
23	18, 22	nfmpt 5195	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
24	17, 23	nffv 6872	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
25		fveq2 6862	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
26	25	mpteq2dv 5191	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
27	26	fveq2d 6866	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
28	14, 15, 16, 24, 27	cbvmptf 5197	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
29	12, 28	eqtri 2784	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
30	11, 29	fmptd 7090	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  Ⅎwnf 1802   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908  {crab 3413  ∪ ciun 4946  ∩ ciin 4947   ↦ cmpt 5178  dom cdm 5643  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  ℝcr 11066  ℤ_≥cuz 12833   ⇝ cli 15502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fl 13796  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506  df-rlim 15507

This theorem is referenced by: (None)