Theorem fnlimfvre2 45128

Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimfvre2.p	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
fnlimfvre2.m	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
fnlimfvre2.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fnlimfvre2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fnlimfvre2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
fnlimfvre2.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimfvre2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
fnlimfvre2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fnlimfvre2	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimfvre2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimfvre2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
2		fnlimfvre2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3		nfrab1 3439	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
4	2, 3	nfcxfr 2890	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
5		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝐷
6		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
7		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ⇝
8		nfcv 2892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
9		fnlimfvre2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
10		nfcv 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
11	9, 10	nffv 6902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
12		nfcv 2892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
13	11, 12	nffv 6902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑧)
14	8, 13	nfmpt 5250	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
15	7, 14	nffv 6902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
16		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
17	16	mpteq2dv 5245	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
18	17	fveq2d 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
19	4, 5, 6, 15, 18	cbvmptf 5252	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
20	1, 19	eqtri 2753	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
21		fveq2 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
22	21	mpteq2dv 5245	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
23		eqcom 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑧 ↔ 𝑧 = 𝑋)
24	23	imbi1i 348	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
25		eqcom 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))
26	25	imbi2i 335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
27	24, 26	bitri 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
28	22, 27	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))
29	28	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
30		fnlimfvre2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
31		fvexd 6907	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
32	20, 29, 30, 31	fvmptd3 7023	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
33		fnlimfvre2.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
34		fnlimfvre2.m	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
35		fnlimfvre2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
36		fnlimfvre2.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
37	33, 34, 9, 35, 36, 2, 30	fnlimfvre 45125	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
38	32, 37	eqeltrd 2825	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2875  {crab 3419  Vcvv 3463  ∪ ciun 4991  ∩ ciin 4992   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℝcr 11137  ℤ_≥cuz 12852   ⇝ cli 15460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465

This theorem is referenced by: (None)