Theorem fnlimfvre2 46781

Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimfvre2.p	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
fnlimfvre2.m	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
fnlimfvre2.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fnlimfvre2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fnlimfvre2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
fnlimfvre2.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimfvre2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
fnlimfvre2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fnlimfvre2	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑚)   𝐷(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝐹(𝑥, 𝑚)   𝐺(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝑀(𝑥, 𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem fnlimfvre2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimfvre2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
2		fnlimfvre2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3		nfrab1 3431	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
4	2, 3	nfcxfr 2920	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
5		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝐷
6		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
7		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ⇝
8		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
9		fnlimfvre2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
10		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
11	9, 10	nffv 6896	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
12		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
13	11, 12	nffv 6896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑧)
14	8, 13	nfmpt 5202	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
15	7, 14	nffv 6896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
16		fveq2 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
17	16	mpteq2dv 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
18	17	fveq2d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
19	4, 5, 6, 15, 18	cbvmptf 5204	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
20	1, 19	eqtri 2783	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
21		fveq2 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
22	21	mpteq2dv 5198	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
23		eqcom 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑧 ↔ 𝑧 = 𝑋)
24	23	imbi1i 352	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
25		eqcom 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))
26	25	imbi2i 339	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
27	24, 26	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
28	22, 27	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))
29	28	fveq2d 6890	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
30		fnlimfvre2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
31		fvexd 6901	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
32	20, 29, 30, 31	fvmptd3 7018	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
33		fnlimfvre2.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
34		fnlimfvre2.m	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
35		fnlimfvre2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
36		fnlimfvre2.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
37	33, 34, 9, 35, 36, 2, 30	fnlimfvre 46778	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
38	32, 37	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  {crab 3412  Vcvv 3450  ∪ ciun 4950  ∩ ciin 4951   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  ℝcr 11203  ℤ_≥cuz 12969   ⇝ cli 15657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-rlim 15662

This theorem is used by: (None)