Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimfvre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimfvre2 44970
Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimfvre2.p β„²π‘šπœ‘
fnlimfvre2.m β„²π‘šπΉ
fnlimfvre2.n β„²π‘₯𝐹
fnlimfvre2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
fnlimfvre2.f ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
fnlimfvre2.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
fnlimfvre2.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
fnlimfvre2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fnlimfvre2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   π‘š,𝑋,𝑛,π‘₯   π‘š,𝑍,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘š)   𝐷(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝐹(π‘₯,π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem fnlimfvre2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimfvre2.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
2 fnlimfvre2.d . . . . . 6 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
3 nfrab1 3445 . . . . . 6 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
42, 3nfcxfr 2895 . . . . 5 β„²π‘₯𝐷
5 nfcv 2897 . . . . 5 Ⅎ𝑧𝐷
6 nfcv 2897 . . . . 5 Ⅎ𝑧( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
7 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘₯ ⇝
8 nfcv 2897 . . . . . . 7 β„²π‘₯𝑍
9 fnlimfvre2.n . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝐹
10 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯π‘š
119, 10nffv 6895 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘š)
12 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑧
1311, 12nffv 6895 . . . . . . 7 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)
148, 13nfmpt 5248 . . . . . 6 β„²π‘₯(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))
157, 14nffv 6895 . . . . 5 β„²π‘₯( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)))
16 fveq2 6885 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))
1716mpteq2dv 5243 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)))
1817fveq2d 6889 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))))
194, 5, 6, 15, 18cbvmptf 5250 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))))
201, 19eqtri 2754 . . 3 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))))
21 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))
2221mpteq2dv 5243 . . . . 5 (𝑋 = 𝑧 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)))
23 eqcom 2733 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑧 ↔ 𝑧 = 𝑋)
2423imbi1i 349 . . . . . 6 ((𝑋 = 𝑧 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) ↔ (𝑧 = 𝑋 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))))
25 eqcom 2733 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)) ↔ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)))
2625imbi2i 336 . . . . . 6 ((𝑧 = 𝑋 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) ↔ (𝑧 = 𝑋 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))))
2724, 26bitri 275 . . . . 5 ((𝑋 = 𝑧 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) ↔ (𝑧 = 𝑋 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))))
2822, 27mpbi 229 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)))
2928fveq2d 6889 . . 3 (𝑧 = 𝑋 β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))) = ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))))
30 fnlimfvre2.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
31 fvexd 6900 . . 3 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))) ∈ V)
3220, 29, 30, 31fvmptd3 7015 . 2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))))
33 fnlimfvre2.p . . 3 β„²π‘šπœ‘
34 fnlimfvre2.m . . 3 β„²π‘šπΉ
35 fnlimfvre2.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
36 fnlimfvre2.f . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
3733, 34, 9, 35, 36, 2, 30fnlimfvre 44967 . 2 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))) ∈ ℝ)
3832, 37eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877  {crab 3426  Vcvv 3468  βˆͺ ciun 4990  βˆ© ciin 4991   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  β„cr 11111  β„€β‰₯cuz 12826   ⇝ cli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator