Theorem fnlimfvre2 45802

Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimfvre2.p	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
fnlimfvre2.m	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
fnlimfvre2.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fnlimfvre2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fnlimfvre2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
fnlimfvre2.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimfvre2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
fnlimfvre2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fnlimfvre2	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimfvre2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimfvre2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
2		fnlimfvre2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3		nfrab1 3416	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
4	2, 3	nfcxfr 2893	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
5		nfcv 2895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝐷
6		nfcv 2895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
7		nfcv 2895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ⇝
8		nfcv 2895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
9		fnlimfvre2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
10		nfcv 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
11	9, 10	nffv 6840	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
12		nfcv 2895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
13	11, 12	nffv 6840	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑧)
14	8, 13	nfmpt 5193	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
15	7, 14	nffv 6840	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
16		fveq2 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
17	16	mpteq2dv 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
18	17	fveq2d 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
19	4, 5, 6, 15, 18	cbvmptf 5195	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
20	1, 19	eqtri 2756	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
21		fveq2 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
22	21	mpteq2dv 5189	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
23		eqcom 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑧 ↔ 𝑧 = 𝑋)
24	23	imbi1i 349	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
25		eqcom 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))
26	25	imbi2i 336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
27	24, 26	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
28	22, 27	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))
29	28	fveq2d 6834	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
30		fnlimfvre2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
31		fvexd 6845	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
32	20, 29, 30, 31	fvmptd3 6960	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
33		fnlimfvre2.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
34		fnlimfvre2.m	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
35		fnlimfvre2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
36		fnlimfvre2.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
37	33, 34, 9, 35, 36, 2, 30	fnlimfvre 45799	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
38	32, 37	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2880  {crab 3396  Vcvv 3437  ∪ ciun 4943  ∩ ciin 4944   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5621  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  ℝcr 11014  ℤ_≥cuz 12740   ⇝ cli 15395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-pm 8761  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fl 13700  df-seq 13913  df-exp 13973  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-clim 15399  df-rlim 15400

This theorem is referenced by: (None)