Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimfvre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimfvre2 41956
Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimfvre2.p 𝑚𝜑
fnlimfvre2.m 𝑚𝐹
fnlimfvre2.n 𝑥𝐹
fnlimfvre2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fnlimfvre2.f ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
fnlimfvre2.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimfvre2.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
fnlimfvre2.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
fnlimfvre2 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimfvre2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimfvre2.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
2 fnlimfvre2.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3 nfrab1 3384 . . . . . 6 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
42, 3nfcxfr 2975 . . . . 5 𝑥𝐷
5 nfcv 2977 . . . . 5 𝑧𝐷
6 nfcv 2977 . . . . 5 𝑧( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
7 nfcv 2977 . . . . . 6 𝑥
8 nfcv 2977 . . . . . . 7 𝑥𝑍
9 fnlimfvre2.n . . . . . . . . 9 𝑥𝐹
10 nfcv 2977 . . . . . . . . 9 𝑥𝑚
119, 10nffv 6679 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝑚)
12 nfcv 2977 . . . . . . . 8 𝑥𝑧
1311, 12nffv 6679 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑧)
148, 13nfmpt 5162 . . . . . 6 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))
157, 14nffv 6679 . . . . 5 𝑥( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
16 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
1716mpteq2dv 5161 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
1817fveq2d 6673 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
194, 5, 6, 15, 18cbvmptf 5164 . . . 4 (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑧𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
201, 19eqtri 2844 . . 3 𝐺 = (𝑧𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
21 fveq2 6669 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑧 → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
2221mpteq2dv 5161 . . . . 5 (𝑋 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
23 eqcom 2828 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑧𝑧 = 𝑋)
2423imbi1i 352 . . . . . 6 ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
25 eqcom 2828 . . . . . . 7 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
2625imbi2i 338 . . . . . 6 ((𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
2724, 26bitri 277 . . . . 5 ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
2822, 27mpbi 232 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
2928fveq2d 6673 . . 3 (𝑧 = 𝑋 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
30 fnlimfvre2.x . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
31 fvexd 6684 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
3220, 29, 30, 31fvmptd3 6790 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
33 fnlimfvre2.p . . 3 𝑚𝜑
34 fnlimfvre2.m . . 3 𝑚𝐹
35 fnlimfvre2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
36 fnlimfvre2.f . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
3733, 34, 9, 35, 36, 2, 30fnlimfvre 41953 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
3832, 37eqeltrd 2913 1 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wnf 1780  wcel 2110  wnfc 2961  {crab 3142  Vcvv 3494   ciun 4918   ciin 4919  cmpt 5145  dom cdm 5554  wf 6350  cfv 6354  cr 10535  cuz 12242  cli 14840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-rlim 14845
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator