Theorem fnlimfvre2 45721

Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimfvre2.p	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
fnlimfvre2.m	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
fnlimfvre2.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fnlimfvre2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fnlimfvre2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
fnlimfvre2.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimfvre2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
fnlimfvre2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fnlimfvre2	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimfvre2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimfvre2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
2		fnlimfvre2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3		nfrab1 3415	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
4	2, 3	nfcxfr 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
5		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝐷
6		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
7		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ⇝
8		nfcv 2894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
9		fnlimfvre2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
10		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
11	9, 10	nffv 6832	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
12		nfcv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
13	11, 12	nffv 6832	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑧)
14	8, 13	nfmpt 5189	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
15	7, 14	nffv 6832	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
16		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
17	16	mpteq2dv 5185	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
18	17	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
19	4, 5, 6, 15, 18	cbvmptf 5191	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
20	1, 19	eqtri 2754	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
21		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
22	21	mpteq2dv 5185	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
23		eqcom 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑧 ↔ 𝑧 = 𝑋)
24	23	imbi1i 349	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
25		eqcom 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))
26	25	imbi2i 336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
27	24, 26	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
28	22, 27	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))
29	28	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
30		fnlimfvre2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
31		fvexd 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
32	20, 29, 30, 31	fvmptd3 6952	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
33		fnlimfvre2.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
34		fnlimfvre2.m	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
35		fnlimfvre2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
36		fnlimfvre2.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
37	33, 34, 9, 35, 36, 2, 30	fnlimfvre 45718	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
38	32, 37	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879  {crab 3395  Vcvv 3436  ∪ ciun 4941  ∩ ciin 4942   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5616  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  ℝcr 11005  ℤ_≥cuz 12732   ⇝ cli 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396

This theorem is referenced by: (None)