Theorem fnlimfvre2 46105

Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimfvre2.p	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
fnlimfvre2.m	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
fnlimfvre2.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fnlimfvre2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fnlimfvre2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
fnlimfvre2.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimfvre2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
fnlimfvre2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fnlimfvre2	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimfvre2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimfvre2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
2		fnlimfvre2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3		nfrab1 3409	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
4	2, 3	nfcxfr 2896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
5		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝐷
6		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
7		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ⇝
8		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
9		fnlimfvre2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
10		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
11	9, 10	nffv 6850	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
12		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
13	11, 12	nffv 6850	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑧)
14	8, 13	nfmpt 5183	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
15	7, 14	nffv 6850	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
16		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
17	16	mpteq2dv 5179	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
18	17	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
19	4, 5, 6, 15, 18	cbvmptf 5185	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
20	1, 19	eqtri 2759	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
21		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))
22	21	mpteq2dv 5179	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)))
23		eqcom 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑧 ↔ 𝑧 = 𝑋)
24	23	imbi1i 349	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))))
25		eqcom 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))
26	25	imbi2i 336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
27	24, 26	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
28	22, 27	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))
29	28	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑧))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
30		fnlimfvre2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
31		fvexd 6855	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
32	20, 29, 30, 31	fvmptd3 6971	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
33		fnlimfvre2.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
34		fnlimfvre2.m	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
35		fnlimfvre2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
36		fnlimfvre2.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
37	33, 34, 9, 35, 36, 2, 30	fnlimfvre 46102	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
38	32, 37	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2883  {crab 3389  Vcvv 3429  ∪ ciun 4933  ∩ ciin 4934   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  ℝcr 11037  ℤ_≥cuz 12788   ⇝ cli 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451

This theorem is referenced by: (None)