Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimfvre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimfvre2 40704
Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimfvre2.p 𝑚𝜑
fnlimfvre2.m 𝑚𝐹
fnlimfvre2.n 𝑥𝐹
fnlimfvre2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fnlimfvre2.f ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
fnlimfvre2.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimfvre2.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
fnlimfvre2.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
fnlimfvre2 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimfvre2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimfvre2.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
2 fnlimfvre2.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3 nfrab1 3333 . . . . . 6 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
42, 3nfcxfr 2967 . . . . 5 𝑥𝐷
5 nfcv 2969 . . . . 5 𝑧𝐷
6 nfcv 2969 . . . . 5 𝑧( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
7 nfcv 2969 . . . . . 6 𝑥
8 nfcv 2969 . . . . . . 7 𝑥𝑍
9 fnlimfvre2.n . . . . . . . . 9 𝑥𝐹
10 nfcv 2969 . . . . . . . . 9 𝑥𝑚
119, 10nffv 6443 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝑚)
12 nfcv 2969 . . . . . . . 8 𝑥𝑧
1311, 12nffv 6443 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑧)
148, 13nfmpt 4969 . . . . . 6 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))
157, 14nffv 6443 . . . . 5 𝑥( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
16 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
1716mpteq2dv 4968 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
1817fveq2d 6437 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
194, 5, 6, 15, 18cbvmptf 4971 . . . 4 (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑧𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
201, 19eqtri 2849 . . 3 𝐺 = (𝑧𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
21 fveq2 6433 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑧 → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
2221mpteq2dv 4968 . . . . 5 (𝑋 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
23 eqcom 2832 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑧𝑧 = 𝑋)
2423imbi1i 341 . . . . . 6 ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
25 eqcom 2832 . . . . . . 7 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
2625imbi2i 328 . . . . . 6 ((𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
2724, 26bitri 267 . . . . 5 ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
2822, 27mpbi 222 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
2928fveq2d 6437 . . 3 (𝑧 = 𝑋 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
30 fnlimfvre2.x . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
31 fvexd 6448 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
3220, 29, 30, 31fvmptd3 6550 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
33 fnlimfvre2.p . . 3 𝑚𝜑
34 fnlimfvre2.m . . 3 𝑚𝐹
35 fnlimfvre2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
36 fnlimfvre2.f . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
3733, 34, 9, 35, 36, 2, 30fnlimfvre 40701 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
3832, 37eqeltrd 2906 1 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wnf 1884  wcel 2166  wnfc 2956  {crab 3121  Vcvv 3414   ciun 4740   ciin 4741  cmpt 4952  dom cdm 5342  wf 6119  cfv 6123  cr 10251  cuz 11968  cli 14592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-rlim 14597
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator