Theorem frgrwopreglem5ALT 30684

Description: Alternate direct proof of frgrwopreglem5 30683, not using frgrwopreglem5a 30673. This proof would be even a little bit shorter than the proof of frgrwopreglem5 30683 without using frgrwopreglem5lem 30682. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2022.) (Proof shortened by AV, 5-Feb-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem5ALT	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑥,𝐵   𝑦,𝐷   𝐺,𝑎,𝑏,𝑦,𝑥   𝑦,𝑉   𝐴,𝑎,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑦   𝑥,𝐸,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎, 𝑏)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem5ALT

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ≠ 𝑥)
2	1	anim1i 626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦))
3		frgrwopreg.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		frgrwopreg.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
5		frgrwopreg.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
6		frgrwopreg.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
7		frgrwopreg.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8	3, 4, 5, 6, 7	frgrwopreglem4 30677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸)
9		preq1 4698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → {𝑧, 𝑏} = {𝑎, 𝑏})
10	9	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
11	10	ralbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
12	11	cbvralvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
13		rsp2 3281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
14	13	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
15	14	ad2ant2r 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
16	12, 15	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
17	16	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
18		prcom 4697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑏, 𝑥} = {𝑥, 𝑏}
19		preq1 4698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → {𝑧, 𝑏} = {𝑥, 𝑏})
20	19	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
21	20	ralbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
22	21	cbvralvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
23		rsp2 3281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
24	22, 23	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
25	24	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
26	25	ad2ant2lr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
27	26	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
28	18, 27	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)
29	17, 28	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
30	29	expcom 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
31	8, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
32	31	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
33	32	impl 460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
35		preq2 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → {𝑥, 𝑏} = {𝑥, 𝑦})
36	35	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ({𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
37	20, 36	rspc2v 3591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
38	37	ad2ant2l 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
39	38	impcom 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
40		prcom 4697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑦, 𝑎} = {𝑎, 𝑦}
41		preq2 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → {𝑎, 𝑏} = {𝑎, 𝑦})
42	41	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
43	10, 42	rspc2v 3591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
44	43	ad2ant2rl 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
45	44	impcom 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸)
46	40, 45	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)
47	39, 46	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
48	47	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
49	8, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
50	49	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
51	50	impl 460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
52	51	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
53	2, 34, 52	3jca 1145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
54	53	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ≠ 𝑦 → ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
55	54	reximdvva 3212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
56	55	exp31 424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑎 ≠ 𝑥 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
57	56	com24 96	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
58	57	imp31 422	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
59	58	reximdvva 3212	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
60	59	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
61	60	com13 89	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
62	61	imp 411	. . 3 ⊢ ((∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
63	3, 4, 5, 6	frgrwopreglem1 30674	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
64		hashgt12el 14466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥)
65	64	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (1 < (♯‘𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥))
66		hashgt12el 14466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦)
67	66	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (1 < (♯‘𝐵) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦))
68	65, 67	im2anan9 631	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦)))
69	63, 68	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦))
70	62, 69	syl11 34	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
71	70	3impib 1133	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3415  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901  {cpr 4590   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  1c1 11107   < clt 11249  ♯chash 14373  Vtxcvtx 29357  Edgcedg 29408  VtxDegcvtxdg 29826   FriendGraph cfrgr 30620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-xadd 13144  df-fz 13542  df-hash 14374  df-edg 29409  df-uhgr 29419  df-ushgr 29420  df-upgr 29443  df-umgr 29444  df-uspgr 29511  df-usgr 29512  df-nbgr 29694  df-vtxdg 29827  df-frgr 30621

This theorem is used by: (None)