MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem5ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem5ALT 29575
Description: Alternate direct proof of frgrwopreglem5 29574, not using frgrwopreglem5a 29564. This proof would be even a little bit shorter than the proof of frgrwopreglem5 29574 without using frgrwopreglem5lem 29573. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2022.) (Proof shortened by AV, 5-Feb-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
frgrwopreg.a 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem5ALT ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝐷   𝐴,𝑏   π‘₯,𝐡   𝑦,𝐷   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑦,π‘₯   𝑦,𝑉   𝐴,π‘Ž,𝑦   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑦   π‘₯,𝐸,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ž,𝑏)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦,π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem5ALT
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ž β‰  π‘₯)
21anim1i 616 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 β‰  𝑦) β†’ (π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦))
3 frgrwopreg.v . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
4 frgrwopreg.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
5 frgrwopreg.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
6 frgrwopreg.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)
7 frgrwopreg.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
83, 4, 5, 6, 7frgrwopreglem4 29568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸)
9 preq1 4738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = π‘Ž β†’ {𝑧, 𝑏} = {π‘Ž, 𝑏})
109eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = π‘Ž β†’ ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸))
1110ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = π‘Ž β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸))
1211cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸)
13 rsp2 3275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸))
1413com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸))
1514ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸))
1612, 15biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸))
1716imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) β†’ {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸)
18 prcom 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑏, π‘₯} = {π‘₯, 𝑏}
19 preq1 4738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑧, 𝑏} = {π‘₯, 𝑏})
2019eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = π‘₯ β†’ ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸))
2120ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸))
2221cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸)
23 rsp2 3275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸))
2422, 23sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸))
2625ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸))
2726imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) β†’ {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸)
2818, 27eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) β†’ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸)
2917, 28jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸))
3029expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸)))
318, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸)))
3231adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸)))
3332impl 457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸))
3433adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 β‰  𝑦) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸))
35 preq2 4739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 β†’ {π‘₯, 𝑏} = {π‘₯, 𝑦})
3635eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑦 β†’ ({π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸))
3720, 36rspc2v 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸))
3837ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸))
3938impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))) β†’ {π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸)
40 prcom 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑦, π‘Ž} = {π‘Ž, 𝑦}
41 preq2 4739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 β†’ {π‘Ž, 𝑏} = {π‘Ž, 𝑦})
4241eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {π‘Ž, 𝑦} ∈ 𝐸))
4310, 42rspc2v 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘Ž, 𝑦} ∈ 𝐸))
4443ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘Ž, 𝑦} ∈ 𝐸))
4544impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))) β†’ {π‘Ž, 𝑦} ∈ 𝐸)
4640, 45eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))) β†’ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)
4739, 46jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))) β†’ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))
4847ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
498, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
5049adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
5150impl 457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))
5251adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 β‰  𝑦) β†’ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))
532, 34, 523jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 β‰  𝑦) β†’ ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
5453ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏 β‰  𝑦 β†’ ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
5554reximdvva 3206 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
5655exp31 421 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))))
5756com24 95 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))))
5857imp31 419 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
5958reximdvva 3206 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
6059ex 414 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))))
6160com13 88 . . . 4 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))))
6261imp 408 . . 3 ((βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
633, 4, 5, 6frgrwopreglem1 29565 . . . 4 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V)
64 hashgt12el 14382 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 1 < (β™―β€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯)
6564ex 414 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ (1 < (β™―β€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯))
66 hashgt12el 14382 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ V ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦)
6766ex 414 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (1 < (β™―β€˜π΅) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦))
6865, 67im2anan9 621 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ ((1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦)))
6963, 68ax-mp 5 . . 3 ((1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦))
7062, 69syl11 33 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
71703impib 1117 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946  {cpr 4631   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  1c1 11111   < clt 11248  β™―chash 14290  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307  VtxDegcvtxdg 28722   FriendGraph cfrgr 29511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-xadd 13093  df-fz 13485  df-hash 14291  df-edg 28308  df-uhgr 28318  df-ushgr 28319  df-upgr 28342  df-umgr 28343  df-uspgr 28410  df-usgr 28411  df-nbgr 28590  df-vtxdg 28723  df-frgr 29512
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator