Theorem frgrwopreglem5ALT 30526

Description: Alternate direct proof of frgrwopreglem5 30525, not using frgrwopreglem5a 30515. This proof would be even a little bit shorter than the proof of frgrwopreglem5 30525 without using frgrwopreglem5lem 30524. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2022.) (Proof shortened by AV, 5-Feb-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem5ALT	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑥,𝐵   𝑦,𝐷   𝐺,𝑎,𝑏,𝑦,𝑥   𝑦,𝑉   𝐴,𝑎,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑦   𝑥,𝐸,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem5ALT

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ≠ 𝑥)
2	1	anim1i 624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦))
3		frgrwopreg.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		frgrwopreg.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
5		frgrwopreg.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
6		frgrwopreg.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
7		frgrwopreg.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8	3, 4, 5, 6, 7	frgrwopreglem4 30519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸)
9		preq1 4694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → {𝑧, 𝑏} = {𝑎, 𝑏})
10	9	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
11	10	ralbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
12	11	cbvralvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
13		rsp2 3281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
14	13	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
15	14	ad2ant2r 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
16	12, 15	biimtrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
17	16	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
18		prcom 4693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑏, 𝑥} = {𝑥, 𝑏}
19		preq1 4694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → {𝑧, 𝑏} = {𝑥, 𝑏})
20	19	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
21	20	ralbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
22	21	cbvralvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
23		rsp2 3281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
24	22, 23	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
25	24	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
26	25	ad2ant2lr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
27	26	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
28	18, 27	eqeltrid 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)
29	17, 28	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
30	29	expcom 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
31	8, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
32	31	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
33	32	impl 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
34	33	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
35		preq2 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → {𝑥, 𝑏} = {𝑥, 𝑦})
36	35	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ({𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
37	20, 36	rspc2v 3594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
38	37	ad2ant2l 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
39	38	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
40		prcom 4693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑦, 𝑎} = {𝑎, 𝑦}
41		preq2 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → {𝑎, 𝑏} = {𝑎, 𝑦})
42	41	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
43	10, 42	rspc2v 3594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
44	43	ad2ant2rl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
45	44	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸)
46	40, 45	eqeltrid 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)
47	39, 46	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
48	47	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
49	8, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
50	49	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
51	50	impl 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
52	51	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
53	2, 34, 52	3jca 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
54	53	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ≠ 𝑦 → ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
55	54	reximdvva 3212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
56	55	exp31 423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑎 ≠ 𝑥 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
57	56	com24 95	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
58	57	imp31 421	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
59	58	reximdvva 3212	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
60	59	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
61	60	com13 88	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
62	61	imp 410	. . 3 ⊢ ((∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
63	3, 4, 5, 6	frgrwopreglem1 30516	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
64		hashgt12el 14437	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥)
65	64	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (1 < (♯‘𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥))
66		hashgt12el 14437	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦)
67	66	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (1 < (♯‘𝐵) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦))
68	65, 67	im2anan9 629	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦)))
69	63, 68	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦))
70	62, 69	syl11 33	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
71	70	3impib 1130	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3416  Vcvv 3456   ∖ cdif 3903  {cpr 4586   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  1c1 11076   < clt 11218  ♯chash 14345  Vtxcvtx 29199  Edgcedg 29250  VtxDegcvtxdg 29668   FriendGraph cfrgr 30462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-uz 12842  df-xadd 13117  df-fz 13515  df-hash 14346  df-edg 29251  df-uhgr 29261  df-ushgr 29262  df-upgr 29285  df-umgr 29286  df-uspgr 29353  df-usgr 29354  df-nbgr 29536  df-vtxdg 29669  df-frgr 30463

This theorem is referenced by: (None)