MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem5ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem5ALT 29840
Description: Alternate direct proof of frgrwopreglem5 29839, not using frgrwopreglem5a 29829. This proof would be even a little bit shorter than the proof of frgrwopreglem5 29839 without using frgrwopreglem5lem 29838. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2022.) (Proof shortened by AV, 5-Feb-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
frgrwopreg.a 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem5ALT ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝐷   𝐴,𝑏   π‘₯,𝐡   𝑦,𝐷   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑦,π‘₯   𝑦,𝑉   𝐴,π‘Ž,𝑦   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑦   π‘₯,𝐸,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ž,𝑏)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦,π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem5ALT
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ž β‰  π‘₯)
21anim1i 613 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 β‰  𝑦) β†’ (π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦))
3 frgrwopreg.v . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
4 frgrwopreg.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
5 frgrwopreg.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
6 frgrwopreg.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)
7 frgrwopreg.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
83, 4, 5, 6, 7frgrwopreglem4 29833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸)
9 preq1 4738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = π‘Ž β†’ {𝑧, 𝑏} = {π‘Ž, 𝑏})
109eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = π‘Ž β†’ ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸))
1110ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = π‘Ž β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸))
1211cbvralvw 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸)
13 rsp2 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸))
1413com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸))
1514ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸))
1612, 15biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸))
1716imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) β†’ {π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸)
18 prcom 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑏, π‘₯} = {π‘₯, 𝑏}
19 preq1 4738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑧, 𝑏} = {π‘₯, 𝑏})
2019eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = π‘₯ β†’ ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸))
2120ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸))
2221cbvralvw 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸)
23 rsp2 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸))
2422, 23sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸))
2625ad2ant2lr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸))
2726imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) β†’ {π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸)
2818, 27eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) β†’ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸)
2917, 28jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸))
3029expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸)))
318, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸)))
3231adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸)))
3332impl 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸))
3433adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 β‰  𝑦) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸))
35 preq2 4739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 β†’ {π‘₯, 𝑏} = {π‘₯, 𝑦})
3635eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑦 β†’ ({π‘₯, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸))
3720, 36rspc2v 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸))
3837ad2ant2l 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸))
3938impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))) β†’ {π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸)
40 prcom 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑦, π‘Ž} = {π‘Ž, 𝑦}
41 preq2 4739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 β†’ {π‘Ž, 𝑏} = {π‘Ž, 𝑦})
4241eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {π‘Ž, 𝑦} ∈ 𝐸))
4310, 42rspc2v 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘Ž, 𝑦} ∈ 𝐸))
4443ad2ant2rl 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ {π‘Ž, 𝑦} ∈ 𝐸))
4544impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))) β†’ {π‘Ž, 𝑦} ∈ 𝐸)
4640, 45eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))) β†’ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)
4739, 46jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))) β†’ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))
4847ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
498, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
5049adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
5150impl 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))
5251adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 β‰  𝑦) β†’ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))
532, 34, 523jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 β‰  𝑦) β†’ ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
5453ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏 β‰  𝑦 β†’ ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
5554reximdvva 3203 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
5655exp31 418 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))))
5756com24 95 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))))
5857imp31 416 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
5958reximdvva 3203 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
6059ex 411 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))))
6160com13 88 . . . 4 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))))
6261imp 405 . . 3 ((βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
633, 4, 5, 6frgrwopreglem1 29830 . . . 4 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V)
64 hashgt12el 14388 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 1 < (β™―β€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯)
6564ex 411 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ (1 < (β™―β€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯))
66 hashgt12el 14388 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ V ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦)
6766ex 411 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (1 < (β™―β€˜π΅) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦))
6865, 67im2anan9 618 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ ((1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦)))
6963, 68ax-mp 5 . . 3 ((1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦))
7062, 69syl11 33 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
71703impib 1114 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3946  {cpr 4631   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  1c1 11115   < clt 11254  β™―chash 14296  Vtxcvtx 28521  Edgcedg 28572  VtxDegcvtxdg 28987   FriendGraph cfrgr 29776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-xadd 13099  df-fz 13491  df-hash 14297  df-edg 28573  df-uhgr 28583  df-ushgr 28584  df-upgr 28607  df-umgr 28608  df-uspgr 28675  df-usgr 28676  df-nbgr 28855  df-vtxdg 28988  df-frgr 29777
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator