Theorem frgrwopreglem5ALT 30302

Description: Alternate direct proof of frgrwopreglem5 30301, not using frgrwopreglem5a 30291. This proof would be even a little bit shorter than the proof of frgrwopreglem5 30301 without using frgrwopreglem5lem 30300. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2022.) (Proof shortened by AV, 5-Feb-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem5ALT	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑥,𝐵   𝑦,𝐷   𝐺,𝑎,𝑏,𝑦,𝑥   𝑦,𝑉   𝐴,𝑎,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑦   𝑥,𝐸,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem5ALT

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ≠ 𝑥)
2	1	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦))
3		frgrwopreg.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		frgrwopreg.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
5		frgrwopreg.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
6		frgrwopreg.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
7		frgrwopreg.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8	3, 4, 5, 6, 7	frgrwopreglem4 30295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸)
9		preq1 4683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → {𝑧, 𝑏} = {𝑎, 𝑏})
10	9	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
11	10	ralbidv 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
12	11	cbvralvw 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
13		rsp2 3249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
14	13	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
15	14	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
16	12, 15	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
17	16	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
18		prcom 4682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑏, 𝑥} = {𝑥, 𝑏}
19		preq1 4683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → {𝑧, 𝑏} = {𝑥, 𝑏})
20	19	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
21	20	ralbidv 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
22	21	cbvralvw 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
23		rsp2 3249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
24	22, 23	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
25	24	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
26	25	ad2ant2lr 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
27	26	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
28	18, 27	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)
29	17, 28	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
30	29	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
31	8, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
33	32	impl 455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
35		preq2 4684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → {𝑥, 𝑏} = {𝑥, 𝑦})
36	35	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ({𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
37	20, 36	rspc2v 3583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
38	37	ad2ant2l 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
39	38	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
40		prcom 4682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑦, 𝑎} = {𝑎, 𝑦}
41		preq2 4684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → {𝑎, 𝑏} = {𝑎, 𝑦})
42	41	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
43	10, 42	rspc2v 3583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
44	43	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
45	44	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸)
46	40, 45	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)
47	39, 46	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
48	47	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
49	8, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) → (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
51	50	impl 455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
53	2, 34, 52	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
54	53	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ≠ 𝑦 → ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
55	54	reximdvva 3180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
56	55	exp31 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑎 ≠ 𝑥 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
57	56	com24 95	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
58	57	imp31 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
59	58	reximdvva 3180	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
60	59	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
61	60	com13 88	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
62	61	imp 406	. . 3 ⊢ ((∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
63	3, 4, 5, 6	frgrwopreglem1 30292	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
64		hashgt12el 14329	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥)
65	64	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (1 < (♯‘𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥))
66		hashgt12el 14329	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦)
67	66	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (1 < (♯‘𝐵) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦))
68	65, 67	im2anan9 620	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦)))
69	63, 68	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦))
70	62, 69	syl11 33	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
71	70	3impib 1116	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894  {cpr 4575   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  1c1 11007   < clt 11146  ♯chash 14237  Vtxcvtx 28974  Edgcedg 29025  VtxDegcvtxdg 29444   FriendGraph cfrgr 30238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-xadd 13012  df-fz 13408  df-hash 14238  df-edg 29026  df-uhgr 29036  df-ushgr 29037  df-upgr 29060  df-umgr 29061  df-uspgr 29128  df-usgr 29129  df-nbgr 29311  df-vtxdg 29445  df-frgr 30239

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