MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem5ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem5ALT 30342
Description: Alternate direct proof of frgrwopreglem5 30341, not using frgrwopreglem5a 30331. This proof would be even a little bit shorter than the proof of frgrwopreglem5 30341 without using frgrwopreglem5lem 30340. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2022.) (Proof shortened by AV, 5-Feb-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem5ALT ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑥,𝐵   𝑦,𝐷   𝐺,𝑎,𝑏,𝑦,𝑥   𝑦,𝑉   𝐴,𝑎,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑦   𝑥,𝐸,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem5ALT
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑎𝑥)
21anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → (𝑎𝑥𝑏𝑦))
3 frgrwopreg.v . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 frgrwopreg.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
5 frgrwopreg.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
6 frgrwopreg.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 = (𝑉𝐴)
7 frgrwopreg.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = (Edg‘𝐺)
83, 4, 5, 6, 7frgrwopreglem4 30335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸)
9 preq1 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑎 → {𝑧, 𝑏} = {𝑎, 𝑏})
109eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑎 → ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1110ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑎 → (∀𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1211cbvralvw 3236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
13 rsp2 3276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1413com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1514ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1612, 15biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1716imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
18 prcom 4731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑏, 𝑥} = {𝑥, 𝑏}
19 preq1 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = 𝑥 → {𝑧, 𝑏} = {𝑥, 𝑏})
2019eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑥 → ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2120ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑏𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2221cbvralvw 3236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑥𝐴𝑏𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
23 rsp2 3276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑥𝐴𝑏𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑥𝐴𝑏𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2422, 23sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑥𝐴𝑏𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥𝐴𝑏𝐵) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2625ad2ant2lr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2726imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
2818, 27eqeltrid 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)
2917, 28jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
3029expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
318, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
3332impl 455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
35 preq2 4733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 → {𝑥, 𝑏} = {𝑥, 𝑦})
3635eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑦 → ({𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
3720, 36rspc2v 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
3837ad2ant2l 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
3938impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵))) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
40 prcom 4731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑦, 𝑎} = {𝑎, 𝑦}
41 preq2 4733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → {𝑎, 𝑏} = {𝑎, 𝑦})
4241eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
4310, 42rspc2v 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎𝐴𝑦𝐵) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
4443ad2ant2rl 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
4544impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵))) → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸)
4640, 45eqeltrid 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵))) → {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)
4739, 46jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵))) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
4847ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
498, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
5150impl 455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
5251adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
532, 34, 523jca 1128 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
5453ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝑦 → ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
5554reximdvva 3206 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
5655exp31 419 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑎𝑥 → ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
5756com24 95 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → (𝑎𝑥 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
5857imp31 417 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → (𝑎𝑥 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
5958reximdvva 3206 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦) → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
6059ex 412 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
6160com13 88 . . . 4 (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
6261imp 406 . . 3 ((∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
633, 4, 5, 6frgrwopreglem1 30332 . . . 4 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
64 hashgt12el 14462 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥)
6564ex 412 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (1 < (♯‘𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥))
66 hashgt12el 14462 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦)
6766ex 412 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (1 < (♯‘𝐵) → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦))
6865, 67im2anan9 620 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦)))
6963, 68ax-mp 5 . . 3 ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦))
7062, 69syl11 33 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
71703impib 1116 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479  cdif 3947  {cpr 4627   class class class wbr 5142  cfv 6560  1c1 11157   < clt 11296  chash 14370  Vtxcvtx 29014  Edgcedg 29065  VtxDegcvtxdg 29484   FriendGraph cfrgr 30278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-xadd 13156  df-fz 13549  df-hash 14371  df-edg 29066  df-uhgr 29076  df-ushgr 29077  df-upgr 29100  df-umgr 29101  df-uspgr 29168  df-usgr 29169  df-nbgr 29351  df-vtxdg 29485  df-frgr 30279
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator