MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem5ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem5ALT 30204
Description: Alternate direct proof of frgrwopreglem5 30203, not using frgrwopreglem5a 30193. This proof would be even a little bit shorter than the proof of frgrwopreglem5 30203 without using frgrwopreglem5lem 30202. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2022.) (Proof shortened by AV, 5-Feb-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem5ALT ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑥,𝐵   𝑦,𝐷   𝐺,𝑎,𝑏,𝑦,𝑥   𝑦,𝑉   𝐴,𝑎,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑦   𝑥,𝐸,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem5ALT
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑎𝑥)
21anim1i 613 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → (𝑎𝑥𝑏𝑦))
3 frgrwopreg.v . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 frgrwopreg.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
5 frgrwopreg.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
6 frgrwopreg.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 = (𝑉𝐴)
7 frgrwopreg.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = (Edg‘𝐺)
83, 4, 5, 6, 7frgrwopreglem4 30197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸)
9 preq1 4739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑎 → {𝑧, 𝑏} = {𝑎, 𝑏})
109eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑎 → ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1110ralbidv 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑎 → (∀𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1211cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
13 rsp2 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1413com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1514ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1612, 15biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
1716imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
18 prcom 4738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑏, 𝑥} = {𝑥, 𝑏}
19 preq1 4739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = 𝑥 → {𝑧, 𝑏} = {𝑥, 𝑏})
2019eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑥 → ({𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2120ralbidv 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑏𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2221cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑥𝐴𝑏𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
23 rsp2 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑥𝐴𝑏𝐵 {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑥𝐴𝑏𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2422, 23sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → ((𝑥𝐴𝑏𝐵) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥𝐴𝑏𝐵) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2625ad2ant2lr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸))
2726imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸)
2818, 27eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)
2917, 28jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ ∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
3029expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
318, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
3231adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)))
3332impl 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
3433adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
35 preq2 4740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 → {𝑥, 𝑏} = {𝑥, 𝑦})
3635eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑦 → ({𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
3720, 36rspc2v 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
3837ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
3938impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵))) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
40 prcom 4738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑦, 𝑎} = {𝑎, 𝑦}
41 preq2 4740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → {𝑎, 𝑏} = {𝑎, 𝑦})
4241eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
4310, 42rspc2v 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎𝐴𝑦𝐵) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
4443ad2ant2rl 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸))
4544impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵))) → {𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸)
4640, 45eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵))) → {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)
4739, 46jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ ((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵))) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
4847ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑧𝐴𝑏𝐵 {𝑧, 𝑏} ∈ 𝐸 → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
498, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
5049adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) → (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
5150impl 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
5251adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
532, 34, 523jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
5453ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝑦 → ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
5554reximdvva 3195 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
5655exp31 418 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑎𝑥 → ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
5756com24 95 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → (𝑎𝑥 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
5857imp31 416 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → (𝑎𝑥 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
5958reximdvva 3195 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦) → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
6059ex 411 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
6160com13 88 . . . 4 (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
6261imp 405 . . 3 ((∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
633, 4, 5, 6frgrwopreglem1 30194 . . . 4 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
64 hashgt12el 14417 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥)
6564ex 411 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (1 < (♯‘𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥))
66 hashgt12el 14417 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦)
6766ex 411 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (1 < (♯‘𝐵) → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦))
6865, 67im2anan9 618 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦)))
6963, 68ax-mp 5 . . 3 ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦))
7062, 69syl11 33 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
71703impib 1113 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  cdif 3941  {cpr 4632   class class class wbr 5149  cfv 6549  1c1 11141   < clt 11280  chash 14325  Vtxcvtx 28881  Edgcedg 28932  VtxDegcvtxdg 29351   FriendGraph cfrgr 30140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-xadd 13128  df-fz 13520  df-hash 14326  df-edg 28933  df-uhgr 28943  df-ushgr 28944  df-upgr 28967  df-umgr 28968  df-uspgr 29035  df-usgr 29036  df-nbgr 29218  df-vtxdg 29352  df-frgr 30141
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator