Theorem fusgrn0eqdrusgr 29646

Description: If all vertices in a nonempty finite simple graph have the same (finite) degree, the graph is k-regular. (Contributed by AV, 26-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrusgr0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isrusgr0.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgrn0eqdrusgr	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐺 RegUSGraph 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑣)

Proof of Theorem fusgrn0eqdrusgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrusgr 29397	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2	1	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → 𝐺 ∈ USGraph)
3		isrusgr0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		isrusgr0.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
5	3, 4	fusgrregdegfi 29645	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))
6	5	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
7	6	nn0xnn0d 12485	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0*)
8		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾)
9	3, 4	usgreqdrusgr 29644	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
10	2, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
11	10	ex 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐺 RegUSGraph 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  ℕ₀cn0 12403  ℕ₀^*cxnn0 12476  Vtxcvtx 29071  USGraphcusgr 29224  FinUSGraphcfusgr 29391  VtxDegcvtxdg 29541   RegUSGraph crusgr 29632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-uz 12754  df-xadd 13029  df-fz 13426  df-hash 14256  df-vtx 29073  df-iedg 29074  df-edg 29123  df-uhgr 29133  df-upgr 29157  df-umgr 29158  df-uspgr 29225  df-usgr 29226  df-fusgr 29392  df-vtxdg 29542  df-rgr 29633  df-rusgr 29634

This theorem is referenced by: (None)