Theorem fusgrregdegfi 30177

Description: In a nonempty finite simple graph, the degree of each vertex is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Mar-2018.) (Revised by AV, 19-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrusgr0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isrusgr0.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgrregdegfi	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑣)

Proof of Theorem fusgrregdegfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrusgr0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	vtxdgfusgr 30106	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0)
3		r19.26 3126	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝑣) = 𝐾) ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾))
4		isrusgr0.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
5	4	fveq1i 6906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷‘𝑣) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣)
6	5	eqeq1i 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷‘𝑣) = 𝐾 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)
7		eleq1 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ ℕ0))
8	6, 7	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ ℕ0))
9	8	biimpac 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	ralimi 3103	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐾 ∈ ℕ0)
11		rspn0 4307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0))
12	10, 11	syl5com 32	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ → 𝐾 ∈ ℕ0))
13	3, 12	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ → 𝐾 ∈ ℕ0))
14	13	ex 418	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → (𝑉 ≠ ∅ → 𝐾 ∈ ℕ0)))
15	14	com23 87	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 → (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0)))
16	2, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0)))
17	16	imp 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∅c0 4281  ‘cfv 6555  ℕ₀cn0 12630  Vtxcvtx 29601  FinUSGraphcfusgr 29924  VtxDegcvtxdg 30073

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-xadd 13266  df-fz 13664  df-hash 14499  df-vtx 29603  df-iedg 29604  df-edg 29653  df-uhgr 29663  df-upgr 29687  df-umgr 29688  df-uspgr 29758  df-usgr 29759  df-fusgr 29925  df-vtxdg 30074

This theorem is used by:  fusgrn0eqdrusgr  30178  frusgrnn0  30179  fusgreghash2wsp  30966  frrusgrord0lem  30967