MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgrregdegfi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fusgrregdegfi 29090
Description: In a nonempty finite simple graph, the degree of each vertex is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Mar-2018.) (Revised by AV, 19-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isrusgr0.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
isrusgr0.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
fusgrregdegfi ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑣)
Proof of Theorem fusgrregdegfi
StepHypRef Expression
1 isrusgr0.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
21vtxdgfusgr 29019 . . 3 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0)
3 r19.26 3110 . . . . . 6 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0 ∧ (π·β€˜π‘£) = 𝐾) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾))
4 isrusgr0.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
54fveq1i 6893 . . . . . . . . . . 11 (π·β€˜π‘£) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£)
65eqeq1i 2736 . . . . . . . . . 10 ((π·β€˜π‘£) = 𝐾 ↔ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾)
7 eleq1 2820 . . . . . . . . . 10 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0 ↔ 𝐾 ∈ β„•0))
86, 7sylbi 216 . . . . . . . . 9 ((π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0 ↔ 𝐾 ∈ β„•0))
98biimpac 478 . . . . . . . 8 ((((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0 ∧ (π·β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
109ralimi 3082 . . . . . . 7 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0 ∧ (π·β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 𝐾 ∈ β„•0)
11 rspn0 4353 . . . . . . 7 (𝑉 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
1210, 11syl5com 31 . . . . . 6 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0 ∧ (π·β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝑉 β‰  βˆ… β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
133, 12sylbir 234 . . . . 5 ((βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝑉 β‰  βˆ… β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
1413ex 412 . . . 4 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝑉 β‰  βˆ… β†’ 𝐾 ∈ β„•0)))
1514com23 86 . . 3 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0 β†’ (𝑉 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ 𝐾 ∈ β„•0)))
162, 15syl 17 . 2 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ (𝑉 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ 𝐾 ∈ β„•0)))
1716imp 406 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6544  β„•0cn0 12477  Vtxcvtx 28520  FinUSGraphcfusgr 28837  VtxDegcvtxdg 28986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-xadd 13098  df-fz 13490  df-hash 14296  df-vtx 28522  df-iedg 28523  df-edg 28572  df-uhgr 28582  df-upgr 28606  df-umgr 28607  df-uspgr 28674  df-usgr 28675  df-fusgr 28838  df-vtxdg 28987
This theorem is referenced by:  fusgrn0eqdrusgr  29091  frusgrnn0  29092  fusgreghash2wsp  29855  frrusgrord0lem  29856
  Copyright terms: Public domain W3C validator