Theorem fusgrregdegfi 29504

Description: In a nonempty finite simple graph, the degree of each vertex is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Mar-2018.) (Revised by AV, 19-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrusgr0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isrusgr0.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgrregdegfi	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑣)

Proof of Theorem fusgrregdegfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrusgr0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	vtxdgfusgr 29433	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0)
3		r19.26 3092	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝑣) = 𝐾) ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾))
4		isrusgr0.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
5	4	fveq1i 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷‘𝑣) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣)
6	5	eqeq1i 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷‘𝑣) = 𝐾 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)
7		eleq1 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ ℕ0))
8	6, 7	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ ℕ0))
9	8	biimpac 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	ralimi 3067	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐾 ∈ ℕ0)
11		rspn0 4322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0))
12	10, 11	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ → 𝐾 ∈ ℕ0))
13	3, 12	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ → 𝐾 ∈ ℕ0))
14	13	ex 412	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → (𝑉 ≠ ∅ → 𝐾 ∈ ℕ0)))
15	14	com23 86	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 → (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0)))
16	2, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0)))
17	16	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∅c0 4299  ‘cfv 6514  ℕ₀cn0 12449  Vtxcvtx 28930  FinUSGraphcfusgr 29250  VtxDegcvtxdg 29400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-xadd 13080  df-fz 13476  df-hash 14303  df-vtx 28932  df-iedg 28933  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-upgr 29016  df-umgr 29017  df-uspgr 29084  df-usgr 29085  df-fusgr 29251  df-vtxdg 29401

This theorem is referenced by:  fusgrn0eqdrusgr  29505  frusgrnn0  29506  fusgreghash2wsp  30274  frrusgrord0lem  30275