Theorem fusgrregdegfi 27629

Description: In a nonempty finite simple graph, the degree of each vertex is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Mar-2018.) (Revised by AV, 19-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrusgr0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isrusgr0.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgrregdegfi	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑣)

Proof of Theorem fusgrregdegfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrusgr0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	vtxdgfusgr 27558	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0)
3		r19.26 3085	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝑣) = 𝐾) ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾))
4		isrusgr0.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
5	4	fveq1i 6707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷‘𝑣) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣)
6	5	eqeq1i 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷‘𝑣) = 𝐾 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)
7		eleq1 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ ℕ0))
8	6, 7	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ ℕ0))
9	8	biimpac 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	ralimi 3076	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐾 ∈ ℕ0)
11		rspn0 4257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0))
12	10, 11	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ → 𝐾 ∈ ℕ0))
13	3, 12	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ → 𝐾 ∈ ℕ0))
14	13	ex 416	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → (𝑉 ≠ ∅ → 𝐾 ∈ ℕ0)))
15	14	com23 86	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 → (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0)))
16	2, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0)))
17	16	imp 410	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∅c0 4227  ‘cfv 6369  ℕ₀cn0 12073  Vtxcvtx 27059  FinUSGraphcfusgr 27376  VtxDegcvtxdg 27525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-2o 8192  df-oadd 8195  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-dju 9500  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-n0 12074  df-xnn0 12146  df-z 12160  df-uz 12422  df-xadd 12688  df-fz 13079  df-hash 13880  df-vtx 27061  df-iedg 27062  df-edg 27111  df-uhgr 27121  df-upgr 27145  df-umgr 27146  df-uspgr 27213  df-usgr 27214  df-fusgr 27377  df-vtxdg 27526

This theorem is referenced by:  fusgrn0eqdrusgr  27630  frusgrnn0  27631  fusgreghash2wsp  28393  frrusgrord0lem  28394