Theorem fvcosymgeq 19365

Description: The values of two compositions of permutations are equal if the values of the composed permutations are pairwise equal. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z	⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
fvcosymgeq	⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝑛,𝐼   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem fvcosymgeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsmsymgrfix.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
2		gsmsymgrfix.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	symgbasf 19312	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:𝑁⟶𝑁)
4	3	ffnd 6691	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 Fn 𝑁)
5		gsmsymgreq.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
6		gsmsymgreq.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
7	5, 6	symgbasf 19312	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾:𝑀⟶𝑀)
8	7	ffnd 6691	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾 Fn 𝑀)
9	4, 8	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀))
11		gsmsymgreq.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)
12	11	eleq2i 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
13	12	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
14	13	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
16		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋))
17	1, 2	symgbasf1o 19311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁)
18		dff1o5 6811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁 ↔ (𝐺:𝑁–1-1→𝑁 ∧ ran 𝐺 = 𝑁))
19		eqcom 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝐺 = 𝑁 ↔ 𝑁 = ran 𝐺)
20	19	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐺 = 𝑁 → 𝑁 = ran 𝐺)
21	18, 20	simplbiim 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑁 = ran 𝐺)
22	17, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝑁 = ran 𝐺)
23	5, 6	symgbasf1o 19311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀)
24		dff1o5 6811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀 ↔ (𝐾:𝑀–1-1→𝑀 ∧ ran 𝐾 = 𝑀))
25		eqcom 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝐾 = 𝑀 ↔ 𝑀 = ran 𝐾)
26	25	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐾 = 𝑀 → 𝑀 = ran 𝐾)
27	24, 26	simplbiim 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀 → 𝑀 = ran 𝐾)
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝑀 = ran 𝐾)
29	22, 28	ineqan12d 4187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (𝑁 ∩ 𝑀) = (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾))
30	11, 29	eqtrid 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → 𝐼 = (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾))
31	30	raleqdv 3301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
32	31	biimpcd 249	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛) → ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
33	32	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
34	33	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))
35	15, 16, 34	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
36		fvcofneq 7067	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))
37	10, 35, 36	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋))
38	37	ex 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∩ cin 3915  ran crn 5641   ∘ ccom 5644   Fn wfn 6508  –1-1→wf1 6510  –1-1-onto→wf1o 6512  ‘cfv 6513  Basecbs 17185  SymGrpcsymg 19305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-tset 17245  df-efmnd 18802  df-symg 19306

This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem1  19366