Theorem fvcosymgeq 19037

Description: The values of two compositions of permutations are equal if the values of the composed permutations are pairwise equal. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z	⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
fvcosymgeq	⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝑛,𝐼   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem fvcosymgeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsmsymgrfix.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
2		gsmsymgrfix.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	symgbasf 18983	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:𝑁⟶𝑁)
4	3	ffnd 6601	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 Fn 𝑁)
5		gsmsymgreq.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
6		gsmsymgreq.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
7	5, 6	symgbasf 18983	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾:𝑀⟶𝑀)
8	7	ffnd 6601	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾 Fn 𝑀)
9	4, 8	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀))
10	9	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀))
11		gsmsymgreq.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)
12	11	eleq2i 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
13	12	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
14	13	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
15	14	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
16		simpr2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋))
17	1, 2	symgbasf1o 18982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁)
18		dff1o5 6725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁 ↔ (𝐺:𝑁–1-1→𝑁 ∧ ran 𝐺 = 𝑁))
19		eqcom 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝐺 = 𝑁 ↔ 𝑁 = ran 𝐺)
20	19	biimpi 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐺 = 𝑁 → 𝑁 = ran 𝐺)
21	18, 20	simplbiim 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑁 = ran 𝐺)
22	17, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝑁 = ran 𝐺)
23	5, 6	symgbasf1o 18982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀)
24		dff1o5 6725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀 ↔ (𝐾:𝑀–1-1→𝑀 ∧ ran 𝐾 = 𝑀))
25		eqcom 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝐾 = 𝑀 ↔ 𝑀 = ran 𝐾)
26	25	biimpi 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐾 = 𝑀 → 𝑀 = ran 𝐾)
27	24, 26	simplbiim 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀 → 𝑀 = ran 𝐾)
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝑀 = ran 𝐾)
29	22, 28	ineqan12d 4148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (𝑁 ∩ 𝑀) = (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾))
30	11, 29	eqtrid 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → 𝐼 = (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾))
31	30	raleqdv 3348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
32	31	biimpcd 248	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛) → ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
33	32	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
34	33	impcom 408	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))
35	15, 16, 34	3jca 1127	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
36		fvcofneq 6969	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))
37	10, 35, 36	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋))
38	37	ex 413	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∩ cin 3886  ran crn 5590   ∘ ccom 5593   Fn wfn 6428  –1-1→wf1 6430  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  SymGrpcsymg 18974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-efmnd 18508  df-symg 18975

This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem1  19038