Theorem fvcosymgeq 19343

Description: The values of two compositions of permutations are equal if the values of the composed permutations are pairwise equal. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z	⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
fvcosymgeq	⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝑛,𝐼   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem fvcosymgeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsmsymgrfix.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
2		gsmsymgrfix.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	symgbasf 19290	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:𝑁⟶𝑁)
4	3	ffnd 6671	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 Fn 𝑁)
5		gsmsymgreq.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
6		gsmsymgreq.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
7	5, 6	symgbasf 19290	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾:𝑀⟶𝑀)
8	7	ffnd 6671	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾 Fn 𝑀)
9	4, 8	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀))
11		gsmsymgreq.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)
12	11	eleq2i 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
13	12	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
14	13	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
16		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋))
17	1, 2	symgbasf1o 19289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁)
18		dff1o5 6791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁 ↔ (𝐺:𝑁–1-1→𝑁 ∧ ran 𝐺 = 𝑁))
19		eqcom 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝐺 = 𝑁 ↔ 𝑁 = ran 𝐺)
20	19	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐺 = 𝑁 → 𝑁 = ran 𝐺)
21	18, 20	simplbiim 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑁 = ran 𝐺)
22	17, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝑁 = ran 𝐺)
23	5, 6	symgbasf1o 19289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀)
24		dff1o5 6791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀 ↔ (𝐾:𝑀–1-1→𝑀 ∧ ran 𝐾 = 𝑀))
25		eqcom 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝐾 = 𝑀 ↔ 𝑀 = ran 𝐾)
26	25	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐾 = 𝑀 → 𝑀 = ran 𝐾)
27	24, 26	simplbiim 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀 → 𝑀 = ran 𝐾)
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝑀 = ran 𝐾)
29	22, 28	ineqan12d 4181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (𝑁 ∩ 𝑀) = (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾))
30	11, 29	eqtrid 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → 𝐼 = (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾))
31	30	raleqdv 3296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
32	31	biimpcd 249	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛) → ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
33	32	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
34	33	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))
35	15, 16, 34	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
36		fvcofneq 7047	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))
37	10, 35, 36	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋))
38	37	ex 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∩ cin 3910  ran crn 5632   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6494  –1-1→wf1 6496  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  SymGrpcsymg 19283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-efmnd 18778  df-symg 19284

This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem1  19344