Theorem fvcosymgeq 19643

Description: The values of two compositions of permutations are equal if the values of the composed permutations are pairwise equal. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z	⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
fvcosymgeq	⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝑛,𝐼   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem fvcosymgeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsmsymgrfix.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
2		gsmsymgrfix.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	symgbasf 19590	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:𝑁⟶𝑁)
4	3	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 Fn 𝑁)
5		gsmsymgreq.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
6		gsmsymgreq.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
7	5, 6	symgbasf 19590	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾:𝑀⟶𝑀)
8	7	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾 Fn 𝑀)
9	4, 8	anim12i 625	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀))
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀))
11		gsmsymgreq.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)
12	11	eleq2i 2853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
13	12	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
14	13	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
15	14	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
16		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋))
17	1, 2	symgbasf1o 19589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁)
18		dff1o5 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁 ↔ (𝐺:𝑁–1-1→𝑁 ∧ ran 𝐺 = 𝑁))
19		eqcom 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝐺 = 𝑁 ↔ 𝑁 = ran 𝐺)
20	19	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐺 = 𝑁 → 𝑁 = ran 𝐺)
21	18, 20	simplbiim 514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑁 = ran 𝐺)
22	17, 21	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝑁 = ran 𝐺)
23	5, 6	symgbasf1o 19589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀)
24		dff1o5 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀 ↔ (𝐾:𝑀–1-1→𝑀 ∧ ran 𝐾 = 𝑀))
25		eqcom 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝐾 = 𝑀 ↔ 𝑀 = ran 𝐾)
26	25	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐾 = 𝑀 → 𝑀 = ran 𝐾)
27	24, 26	simplbiim 514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀 → 𝑀 = ran 𝐾)
28	23, 27	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝑀 = ran 𝐾)
29	22, 28	ineqan12d 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (𝑁 ∩ 𝑀) = (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾))
30	11, 29	eqtrid 2808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → 𝐼 = (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾))
31	30	raleqdv 3320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
32	31	biimpcd 252	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛) → ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
33	32	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
34	33	impcom 413	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))
35	15, 16, 34	3jca 1146	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
36		fvcofneq 7093	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))
37	10, 35, 36	sylc 66	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋))
38	37	ex 418	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∩ cin 3898  ran crn 5652   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6533  –1-1→wf1 6535  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  SymGrpcsymg 19583

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-tset 17447  df-efmnd 19065  df-symg 19584

This theorem is used by:  gsmsymgreqlem1  19644