Theorem fvcosymgeq 19296

Description: The values of two compositions of permutations are equal if the values of the composed permutations are pairwise equal. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z	⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
fvcosymgeq	⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝑛,𝐼   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem fvcosymgeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsmsymgrfix.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
2		gsmsymgrfix.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	symgbasf 19242	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:𝑁⟶𝑁)
4	3	ffnd 6718	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 Fn 𝑁)
5		gsmsymgreq.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
6		gsmsymgreq.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
7	5, 6	symgbasf 19242	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾:𝑀⟶𝑀)
8	7	ffnd 6718	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾 Fn 𝑀)
9	4, 8	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀))
10	9	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀))
11		gsmsymgreq.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)
12	11	eleq2i 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
13	12	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
14	13	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
15	14	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → 𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀))
16		simpr2 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋))
17	1, 2	symgbasf1o 19241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁)
18		dff1o5 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁 ↔ (𝐺:𝑁–1-1→𝑁 ∧ ran 𝐺 = 𝑁))
19		eqcom 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝐺 = 𝑁 ↔ 𝑁 = ran 𝐺)
20	19	biimpi 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐺 = 𝑁 → 𝑁 = ran 𝐺)
21	18, 20	simplbiim 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑁 = ran 𝐺)
22	17, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝑁 = ran 𝐺)
23	5, 6	symgbasf1o 19241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀)
24		dff1o5 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀 ↔ (𝐾:𝑀–1-1→𝑀 ∧ ran 𝐾 = 𝑀))
25		eqcom 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝐾 = 𝑀 ↔ 𝑀 = ran 𝐾)
26	25	biimpi 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐾 = 𝑀 → 𝑀 = ran 𝐾)
27	24, 26	simplbiim 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾:𝑀–1-1-onto→𝑀 → 𝑀 = ran 𝐾)
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑃 → 𝑀 = ran 𝐾)
29	22, 28	ineqan12d 4214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (𝑁 ∩ 𝑀) = (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾))
30	11, 29	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → 𝐼 = (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾))
31	30	raleqdv 3325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
32	31	biimpcd 248	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛) → ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
33	32	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
34	33	impcom 408	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))
35	15, 16, 34	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)))
36		fvcofneq 7094	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 Fn 𝑀) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∩ 𝑀) ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ (ran 𝐺 ∩ ran 𝐾)(𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))
37	10, 35, 36	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛))) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋))
38	37	ex 413	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑃) → ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝑋) = (𝐾‘𝑋) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑛) = (𝐻‘𝑛)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = ((𝐻 ∘ 𝐾)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ∩ cin 3947  ran crn 5677   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  –1-1→wf1 6540  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  SymGrpcsymg 19233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-efmnd 18749  df-symg 19234

This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem1  19297