Theorem gsmsymgreqlem1 19336

Description: Lemma 1 for gsmsymgreq 19338. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z	⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgreqlem1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → ((∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽)) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝐶,𝑛   𝑛,𝐽   𝑅,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem gsmsymgreqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ 𝑃)
3	1, 2	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃)) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
4	3	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌)) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
7		simpll3 1215	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → 𝐽 ∈ 𝐼)
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽)) → (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))
10		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛))
11	7, 9, 10	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛)))
12		gsmsymgrfix.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
13		gsmsymgrfix.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
14		gsmsymgreq.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
15		gsmsymgreq.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
16		gsmsymgreq.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)
17	12, 13, 14, 15, 16	fvcosymgeq 19335	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) → ((𝐽 ∈ 𝐼 ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛)) → (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽)))
18	6, 11, 17	sylc 65	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽))
19		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑁 ∈ Fin)
20		simpr1l 1231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
21		simpr1r 1232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝐶 ∈ 𝐵)
22	19, 20, 21	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
24	12, 13	gsumccatsymgsn 19332	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶))
26	25	fveq1d 6842	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽))
27		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑀 ∈ Fin)
28		simpr2l 1233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑌 ∈ Word 𝑃)
29		simpr2r 1234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑅 ∈ 𝑃)
30	27, 28, 29	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
32	14, 15	gsumccatsymgsn 19332	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) → (𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩)) = ((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅))
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩)) = ((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅))
34	33	fveq1d 6842	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽))
35	18, 26, 34	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽))
36	35	ex 412	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → ((∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽)) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∩ cin 3910   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  ♯chash 14271  Word cword 14454   ++ cconcat 14511  ⟨“cs1 14536  Basecbs 17155   Σ_g cgsu 17379  SymGrpcsymg 19275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-s1 14537  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-efmnd 18772  df-grp 18844  df-symg 19276

This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem2  19337