Theorem gsmsymgreqlem1 19416

Description: Lemma 1 for gsmsymgreq 19418. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z	⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgreqlem1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → ((∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽)) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝐶,𝑛   𝑛,𝐽   𝑅,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem gsmsymgreqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ 𝑃)
3	1, 2	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃)) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
4	3	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌)) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
7		simpll3 1214	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → 𝐽 ∈ 𝐼)
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽)) → (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))
10		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛))
11	7, 9, 10	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛)))
12		gsmsymgrfix.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
13		gsmsymgrfix.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
14		gsmsymgreq.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
15		gsmsymgreq.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
16		gsmsymgreq.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)
17	12, 13, 14, 15, 16	fvcosymgeq 19415	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) → ((𝐽 ∈ 𝐼 ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛)) → (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽)))
18	6, 11, 17	sylc 65	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽))
19		simpl1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑁 ∈ Fin)
20		simpr1l 1230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
21		simpr1r 1231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝐶 ∈ 𝐵)
22	19, 20, 21	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
24	12, 13	gsumccatsymgsn 19412	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶))
26	25	fveq1d 6888	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽))
27		simpl2 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑀 ∈ Fin)
28		simpr2l 1232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑌 ∈ Word 𝑃)
29		simpr2r 1233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑅 ∈ 𝑃)
30	27, 28, 29	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
32	14, 15	gsumccatsymgsn 19412	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) → (𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩)) = ((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅))
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩)) = ((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅))
34	33	fveq1d 6888	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽))
35	18, 26, 34	3eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽))
36	35	ex 412	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → ((∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽)) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050   ∩ cin 3930   ∘ ccom 5669  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Fincfn 8967  ♯chash 14351  Word cword 14534   ++ cconcat 14590  ⟨“cs1 14615  Basecbs 17229   Σ_g cgsu 17456  SymGrpcsymg 19354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14352  df-word 14535  df-concat 14591  df-s1 14616  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-tset 17292  df-0g 17457  df-gsum 17458  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-efmnd 18851  df-grp 18923  df-symg 19355

This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem2  19417