Theorem gsmsymgreqlem1 19366

Description: Lemma 1 for gsmsymgreq 19368. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z	⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgreqlem1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → ((∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽)) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝐶,𝑛   𝑛,𝐽   𝑅,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem gsmsymgreqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ 𝑃)
3	1, 2	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃)) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
4	3	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌)) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
7		simpll3 1215	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → 𝐽 ∈ 𝐼)
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽)) → (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))
10		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛))
11	7, 9, 10	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛)))
12		gsmsymgrfix.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
13		gsmsymgrfix.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
14		gsmsymgreq.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
15		gsmsymgreq.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
16		gsmsymgreq.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑁 ∩ 𝑀)
17	12, 13, 14, 15, 16	fvcosymgeq 19365	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) → ((𝐽 ∈ 𝐼 ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛)) → (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽)))
18	6, 11, 17	sylc 65	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽))
19		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑁 ∈ Fin)
20		simpr1l 1231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
21		simpr1r 1232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝐶 ∈ 𝐵)
22	19, 20, 21	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
24	12, 13	gsumccatsymgsn 19362	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶))
26	25	fveq1d 6862	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽))
27		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑀 ∈ Fin)
28		simpr2l 1233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑌 ∈ Word 𝑃)
29		simpr2r 1234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑅 ∈ 𝑃)
30	27, 28, 29	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃))
32	14, 15	gsumccatsymgsn 19362	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) → (𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩)) = ((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅))
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → (𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩)) = ((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅))
34	33	fveq1d 6862	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽))
35	18, 26, 34	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽))) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽))
36	35	ex 412	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ 𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → ((∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶‘𝐽) = (𝑅‘𝐽)) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∩ cin 3915   ∘ ccom 5644  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Fincfn 8920  ♯chash 14301  Word cword 14484   ++ cconcat 14541  ⟨“cs1 14566  Basecbs 17185   Σ_g cgsu 17409  SymGrpcsymg 19305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-hash 14302  df-word 14485  df-concat 14542  df-s1 14567  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-tset 17245  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-efmnd 18802  df-grp 18874  df-symg 19306

This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem2  19367