Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgreqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgreqlem1 18552
 Description: Lemma 1 for gsmsymgreq 18554. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i 𝐼 = (𝑁𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreqlem1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → ((∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽)) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝐶,𝑛   𝑛,𝐽   𝑅,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem gsmsymgreqlem1
StepHypRef Expression
1 simpr 487 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
2 simpr 487 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) → 𝑅𝑃)
31, 2anim12i 614 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃)) → (𝐶𝐵𝑅𝑃))
433adant3 1128 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌)) → (𝐶𝐵𝑅𝑃))
54adantl 484 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝐶𝐵𝑅𝑃))
65adantr 483 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝐶𝐵𝑅𝑃))
7 simpll3 1210 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → 𝐽𝐼)
8 simpr 487 . . . . . 6 ((∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽)) → (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))
98adantl 484 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))
10 simprl 769 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛))
117, 9, 103jca 1124 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝐽𝐼 ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽) ∧ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛)))
12 gsmsymgrfix.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
13 gsmsymgrfix.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
14 gsmsymgreq.z . . . . 5 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
15 gsmsymgreq.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝑍)
16 gsmsymgreq.i . . . . 5 𝐼 = (𝑁𝑀)
1712, 13, 14, 15, 16fvcosymgeq 18551 . . . 4 ((𝐶𝐵𝑅𝑃) → ((𝐽𝐼 ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽) ∧ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛)) → (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽)))
186, 11, 17sylc 65 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽))
19 simpl1 1187 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑁 ∈ Fin)
20 simpr1l 1226 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
21 simpr1r 1227 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝐶𝐵)
2219, 20, 213jca 1124 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵))
2322adantr 483 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵))
2412, 13gsumccatsymgsn 18548 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) → (𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶))
2523, 24syl 17 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶))
2625fveq1d 6666 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽))
27 simpl2 1188 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑀 ∈ Fin)
28 simpr2l 1228 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑌 ∈ Word 𝑃)
29 simpr2r 1229 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑅𝑃)
3027, 28, 293jca 1124 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃))
3130adantr 483 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃))
3214, 15gsumccatsymgsn 18548 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) → (𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩)) = ((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅))
3331, 32syl 17 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩)) = ((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅))
3433fveq1d 6666 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽))
3518, 26, 343eqtr4d 2866 . 2 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽))
3635ex 415 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → ((∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽)) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ∩ cin 3934   ∘ ccom 5553  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  ♯chash 13684  Word cword 13855   ++ cconcat 13916  ⟨“cs1 13943  Basecbs 16477   Σg cgsu 16708  SymGrpcsymg 18489 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13917  df-s1 13944  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-tset 16578  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-efmnd 18028  df-grp 18100  df-symg 18490 This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem2  18553
 Copyright terms: Public domain W3C validator