MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgreqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgreqlem1 19212
Description: Lemma 1 for gsmsymgreq 19214. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i 𝐼 = (𝑁𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreqlem1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → ((∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽)) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝐶,𝑛   𝑛,𝐽   𝑅,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem gsmsymgreqlem1
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
2 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) → 𝑅𝑃)
31, 2anim12i 613 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃)) → (𝐶𝐵𝑅𝑃))
433adant3 1132 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌)) → (𝐶𝐵𝑅𝑃))
54adantl 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝐶𝐵𝑅𝑃))
65adantr 481 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝐶𝐵𝑅𝑃))
7 simpll3 1214 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → 𝐽𝐼)
8 simpr 485 . . . . . 6 ((∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽)) → (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))
98adantl 482 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))
10 simprl 769 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛))
117, 9, 103jca 1128 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝐽𝐼 ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽) ∧ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛)))
12 gsmsymgrfix.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
13 gsmsymgrfix.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
14 gsmsymgreq.z . . . . 5 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
15 gsmsymgreq.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝑍)
16 gsmsymgreq.i . . . . 5 𝐼 = (𝑁𝑀)
1712, 13, 14, 15, 16fvcosymgeq 19211 . . . 4 ((𝐶𝐵𝑅𝑃) → ((𝐽𝐼 ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽) ∧ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛)) → (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽)))
186, 11, 17sylc 65 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽))
19 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑁 ∈ Fin)
20 simpr1l 1230 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
21 simpr1r 1231 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝐶𝐵)
2219, 20, 213jca 1128 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵))
2322adantr 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵))
2412, 13gsumccatsymgsn 19208 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) → (𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶))
2523, 24syl 17 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶))
2625fveq1d 6844 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽))
27 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑀 ∈ Fin)
28 simpr2l 1232 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑌 ∈ Word 𝑃)
29 simpr2r 1233 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → 𝑅𝑃)
3027, 28, 293jca 1128 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃))
3130adantr 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃))
3214, 15gsumccatsymgsn 19208 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) → (𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩)) = ((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅))
3331, 32syl 17 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩)) = ((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅))
3433fveq1d 6844 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽))
3518, 26, 343eqtr4d 2786 . 2 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽))
3635ex 413 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (♯‘𝑋) = (♯‘𝑌))) → ((∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽)) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cin 3909  ccom 5637  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  chash 14230  Word cword 14402   ++ cconcat 14458  ⟨“cs1 14483  Basecbs 17083   Σg cgsu 17322  SymGrpcsymg 19148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-tset 17152  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-symg 19149
This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem2  19213
  Copyright terms: Public domain W3C validator