Theorem orbsta2 19354

Description: Relation between the size of the orbit and the size of the stabilizer of a point in a finite group action. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
orbsta2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
orbsta2.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
orbsta2.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta2.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}

Assertion

Ref	Expression
orbsta2	⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑔,𝑥,𝑦, ⊕   𝐴,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝑌,𝑥,𝑦   ∼ ,𝑔,𝑥,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑔,𝑋,𝑢,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢)   𝐻(𝑢,𝑔)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbsta2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orbsta2.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		orbsta2.r	. . 3 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
3		orbsta2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
4	1, 3	gastacl 19349	. . . 4 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
7	1, 2, 5, 6	lagsubg2 19234	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / ∼ )) · (♯‘𝐻)))
8		pwfi 9385	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
9	6, 8	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
10	1, 2	eqger 19218	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝑋)
11	5, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∼ Er 𝑋)
12	11	qsss 8836	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝑋)
13	9, 12	ssfid 9329	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / ∼ ) ∈ Fin)
14		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩) = ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩)
15		orbsta2.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
16	1, 3, 2, 14, 15	orbsta 19353	. . . . 5 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩):(𝑋 / ∼ )–1-1-onto→[𝐴]𝑂)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩):(𝑋 / ∼ )–1-1-onto→[𝐴]𝑂)
18	13, 17	hasheqf1od 14402	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘(𝑋 / ∼ )) = (♯‘[𝐴]𝑂))
19	18	oveq1d 7463	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((♯‘(𝑋 / ∼ )) · (♯‘𝐻)) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))
20	7, 19	eqtrd 2780	1 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  {crab 3443   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  {cpr 4650  ⟨cop 4654  {copab 5228   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   Er wer 8760  [cec 8761   / cqs 8762  Fincfn 9003   · cmul 11189  ♯chash 14379  Basecbs 17258  SubGrpcsubg 19160   ~_QG cqg 19162   GrpAct cga 19329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-eqg 19165  df-ga 19330

This theorem is referenced by:  sylow1lem5  19644  sylow2alem2  19660  sylow3lem3  19671