Theorem orbsta2 19447

Description: Relation between the size of the orbit and the size of the stabilizer of a point in a finite group action. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
orbsta2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
orbsta2.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
orbsta2.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta2.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}

Assertion

Ref	Expression
orbsta2	⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑔,𝑥,𝑦, ⊕   𝐴,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝑌,𝑥,𝑦   ∼ ,𝑔,𝑥,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑔,𝑋,𝑢,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢)   𝐻(𝑢, 𝑔)   𝑂(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑔)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbsta2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orbsta2.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		orbsta2.r	. . 3 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
3		orbsta2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
4	1, 3	gastacl 19442	. . . 4 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		simpr 490	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
7	1, 2, 5, 6	lagsubg2 19328	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / ∼ )) · (♯‘𝐻)))
8		pwfi 9292	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
9	8	bilani 510	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
10	1, 2	eqger 19309	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝑋)
11	5, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∼ Er 𝑋)
12	11	qsss 8779	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝑋)
13	9, 12	ssfid 9243	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / ∼ ) ∈ Fin)
14		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩) = ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩)
15		orbsta2.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑔 ⊕ 𝑥) = 𝑦)}
16	1, 3, 2, 14, 15	orbsta 19446	. . . . 5 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩):(𝑋 / ∼ )–1-1-onto→[𝐴]𝑂)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩):(𝑋 / ∼ )–1-1-onto→[𝐴]𝑂)
18	13, 17	hasheqf1od 14421	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘(𝑋 / ∼ )) = (♯‘[𝐴]𝑂))
19	18	oveq1d 7432	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((♯‘(𝑋 / ∼ )) · (♯‘𝐻)) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))
20	7, 19	eqtrd 2797	1 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  {crab 3414   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  {cpr 4589  ⟨cop 4593  {copab 5171   ↦ cmpt 5190  ran crn 5660  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   Er wer 8697  [cec 8698   / cqs 8699  Fincfn 8956   · cmul 11133  ♯chash 14398  Basecbs 17307  SubGrpcsubg 19249   ~_QG cqg 19251   GrpAct cga 19422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-subg 19252  df-eqg 19254  df-ga 19423

This theorem is used by:  sylow1lem5  19735  sylow2alem2  19751  sylow3lem3  19762