Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbsta2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orbsta2 18419
 Description: Relation between the size of the orbit and the size of the stabilizer of a point in a finite group action. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
orbsta2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
orbsta2.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
orbsta2.r = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta2.o 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
Assertion
Ref Expression
orbsta2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑔,𝑥,𝑦,   𝐴,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝑌,𝑥,𝑦   ,𝑔,𝑥,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑔,𝑋,𝑢,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   (𝑢)   𝐻(𝑢,𝑔)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbsta2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta2.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 orbsta2.r . . 3 = (𝐺 ~QG 𝐻)
3 orbsta2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
41, 3gastacl 18414 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
54adantr 483 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 simpr 487 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
71, 2, 5, 6lagsubg2 18316 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / )) · (♯‘𝐻)))
8 pwfi 8793 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
96, 8sylib 220 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
101, 2eqger 18305 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝑋)
115, 10syl 17 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → Er 𝑋)
1211qsss 8332 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / ) ⊆ 𝒫 𝑋)
139, 12ssfid 8715 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / ) ∈ Fin)
14 eqid 2820 . . . . . 6 ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩) = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
15 orbsta2.o . . . . . 6 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
161, 3, 2, 14, 15orbsta 18418 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩):(𝑋 / )–1-1-onto→[𝐴]𝑂)
1716adantr 483 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩):(𝑋 / )–1-1-onto→[𝐴]𝑂)
1813, 17hasheqf1od 13695 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘(𝑋 / )) = (♯‘[𝐴]𝑂))
1918oveq1d 7144 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((♯‘(𝑋 / )) · (♯‘𝐻)) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))
207, 19eqtrd 2855 1 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3126  {crab 3129   ⊆ wss 3909  𝒫 cpw 4511  {cpr 4541  ⟨cop 4545  {copab 5100   ↦ cmpt 5118  ran crn 5528  –1-1-onto→wf1o 6326  ‘cfv 6327  (class class class)co 7129   Er wer 8260  [cec 8261   / cqs 8262  Fincfn 8483   · cmul 10516  ♯chash 13671  Basecbs 16458  SubGrpcsubg 18248   ~QG cqg 18250   GrpAct cga 18394 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-inf2 9078  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-pre-sup 10589 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-disj 5004  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-2o 8077  df-oadd 8080  df-er 8263  df-ec 8265  df-qs 8269  df-map 8382  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-sup 8880  df-oi 8948  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-div 11272  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-rp 12365  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-seq 13350  df-exp 13411  df-hash 13672  df-cj 14434  df-re 14435  df-im 14436  df-sqrt 14570  df-abs 14571  df-clim 14821  df-sum 15019  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-0g 16690  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-grp 18081  df-minusg 18082  df-subg 18251  df-eqg 18253  df-ga 18395 This theorem is referenced by:  sylow1lem5  18702  sylow2alem2  18718  sylow3lem3  18729
 Copyright terms: Public domain W3C validator