MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbsta2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orbsta2 19219
Description: Relation between the size of the orbit and the size of the stabilizer of a point in a finite group action. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
orbsta2.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
orbsta2.h ๐ป = {๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ข โŠ• ๐ด) = ๐ด}
orbsta2.r โˆผ = (๐บ ~QG ๐ป)
orbsta2.o ๐‘‚ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† ๐‘Œ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
Assertion
Ref Expression
orbsta2 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜[๐ด]๐‘‚) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)))
Distinct variable groups:   ๐‘ข,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ, โŠ•   ๐ด,๐‘”,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐บ,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐‘Œ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   โˆผ ,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ป,๐‘ฆ   ๐‘”,๐‘‹,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   โˆผ (๐‘ข)   ๐ป(๐‘ข,๐‘”)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”)   ๐‘Œ(๐‘ข)

Proof of Theorem orbsta2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta2.x . . 3 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
2 orbsta2.r . . 3 โˆผ = (๐บ ~QG ๐ป)
3 orbsta2.h . . . . 5 ๐ป = {๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ข โŠ• ๐ด) = ๐ด}
41, 3gastacl 19214 . . . 4 (( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
54adantr 479 . . 3 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
6 simpr 483 . . 3 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
71, 2, 5, 6lagsubg2 19109 . 2 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)))
8 pwfi 9180 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
96, 8sylib 217 . . . . 5 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
101, 2eqger 19094 . . . . . . 7 (๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ โˆผ Er ๐‘‹)
115, 10syl 17 . . . . . 6 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ โˆผ Er ๐‘‹)
1211qsss 8774 . . . . 5 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘‹ / โˆผ ) โŠ† ๐’ซ ๐‘‹)
139, 12ssfid 9269 . . . 4 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆˆ Fin)
14 eqid 2730 . . . . . 6 ran (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ[๐‘˜] โˆผ , (๐‘˜ โŠ• ๐ด)โŸฉ) = ran (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ[๐‘˜] โˆผ , (๐‘˜ โŠ• ๐ด)โŸฉ)
15 orbsta2.o . . . . . 6 ๐‘‚ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† ๐‘Œ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
161, 3, 2, 14, 15orbsta 19218 . . . . 5 (( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ran (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ[๐‘˜] โˆผ , (๐‘˜ โŠ• ๐ด)โŸฉ):(๐‘‹ / โˆผ )โ€“1-1-ontoโ†’[๐ด]๐‘‚)
1716adantr 479 . . . 4 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ran (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ[๐‘˜] โˆผ , (๐‘˜ โŠ• ๐ด)โŸฉ):(๐‘‹ / โˆผ )โ€“1-1-ontoโ†’[๐ด]๐‘‚)
1813, 17hasheqf1od 14317 . . 3 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) = (โ™ฏโ€˜[๐ด]๐‘‚))
1918oveq1d 7426 . 2 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)) = ((โ™ฏโ€˜[๐ด]๐‘‚) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)))
207, 19eqtrd 2770 1 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜[๐ด]๐‘‚) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068  {crab 3430   โŠ† wss 3947  ๐’ซ cpw 4601  {cpr 4629  โŸจcop 4633  {copab 5209   โ†ฆ cmpt 5230  ran crn 5676  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6541  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   Er wer 8702  [cec 8703   / cqs 8704  Fincfn 8941   ยท cmul 11117  โ™ฏchash 14294  Basecbs 17148  SubGrpcsubg 19036   ~QG cqg 19038   GrpAct cga 19194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-eqg 19041  df-ga 19195
This theorem is referenced by:  sylow1lem5  19511  sylow2alem2  19527  sylow3lem3  19538
  Copyright terms: Public domain W3C validator