MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbsta2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orbsta2 19345
Description: Relation between the size of the orbit and the size of the stabilizer of a point in a finite group action. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
orbsta2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
orbsta2.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
orbsta2.r = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta2.o 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
Assertion
Ref Expression
orbsta2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑔,𝑥,𝑦,   𝐴,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝑌,𝑥,𝑦   ,𝑔,𝑥,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑔,𝑋,𝑢,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   (𝑢)   𝐻(𝑢,𝑔)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbsta2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta2.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 orbsta2.r . . 3 = (𝐺 ~QG 𝐻)
3 orbsta2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
41, 3gastacl 19340 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
54adantr 480 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 simpr 484 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
71, 2, 5, 6lagsubg2 19225 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / )) · (♯‘𝐻)))
8 pwfi 9355 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
96, 8sylib 218 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
101, 2eqger 19209 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝑋)
115, 10syl 17 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → Er 𝑋)
1211qsss 8817 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / ) ⊆ 𝒫 𝑋)
139, 12ssfid 9299 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / ) ∈ Fin)
14 eqid 2735 . . . . . 6 ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩) = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
15 orbsta2.o . . . . . 6 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
161, 3, 2, 14, 15orbsta 19344 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩):(𝑋 / )–1-1-onto→[𝐴]𝑂)
1716adantr 480 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩):(𝑋 / )–1-1-onto→[𝐴]𝑂)
1813, 17hasheqf1od 14389 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘(𝑋 / )) = (♯‘[𝐴]𝑂))
1918oveq1d 7446 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((♯‘(𝑋 / )) · (♯‘𝐻)) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))
207, 19eqtrd 2775 1 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐴]𝑂) · (♯‘𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963  𝒫 cpw 4605  {cpr 4633  cop 4637  {copab 5210  cmpt 5231  ran crn 5690  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  [cec 8742   / cqs 8743  Fincfn 8984   · cmul 11158  chash 14366  Basecbs 17245  SubGrpcsubg 19151   ~QG cqg 19153   GrpAct cga 19320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-eqg 19156  df-ga 19321
This theorem is referenced by:  sylow1lem5  19635  sylow2alem2  19651  sylow3lem3  19662
  Copyright terms: Public domain W3C validator