![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > orbsta2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Relation between the size of the orbit and the size of the stabilizer of a point in a finite group action. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
orbsta2.x | โข ๐ = (Baseโ๐บ) |
orbsta2.h | โข ๐ป = {๐ข โ ๐ โฃ (๐ข โ ๐ด) = ๐ด} |
orbsta2.r | โข โผ = (๐บ ~QG ๐ป) |
orbsta2.o | โข ๐ = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ({๐ฅ, ๐ฆ} โ ๐ โง โ๐ โ ๐ (๐ โ ๐ฅ) = ๐ฆ)} |
Ref | Expression |
---|---|
orbsta2 | โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ (โฏโ๐) = ((โฏโ[๐ด]๐) ยท (โฏโ๐ป))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | orbsta2.x | . . 3 โข ๐ = (Baseโ๐บ) | |
2 | orbsta2.r | . . 3 โข โผ = (๐บ ~QG ๐ป) | |
3 | orbsta2.h | . . . . 5 โข ๐ป = {๐ข โ ๐ โฃ (๐ข โ ๐ด) = ๐ด} | |
4 | 1, 3 | gastacl 19173 | . . . 4 โข (( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โ ๐ป โ (SubGrpโ๐บ)) |
5 | 4 | adantr 482 | . . 3 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ ๐ป โ (SubGrpโ๐บ)) |
6 | simpr 486 | . . 3 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ ๐ โ Fin) | |
7 | 1, 2, 5, 6 | lagsubg2 19071 | . 2 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ (โฏโ๐) = ((โฏโ(๐ / โผ )) ยท (โฏโ๐ป))) |
8 | pwfi 9178 | . . . . . 6 โข (๐ โ Fin โ ๐ซ ๐ โ Fin) | |
9 | 6, 8 | sylib 217 | . . . . 5 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ ๐ซ ๐ โ Fin) |
10 | 1, 2 | eqger 19058 | . . . . . . 7 โข (๐ป โ (SubGrpโ๐บ) โ โผ Er ๐) |
11 | 5, 10 | syl 17 | . . . . . 6 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ โผ Er ๐) |
12 | 11 | qsss 8772 | . . . . 5 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ (๐ / โผ ) โ ๐ซ ๐) |
13 | 9, 12 | ssfid 9267 | . . . 4 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ (๐ / โผ ) โ Fin) |
14 | eqid 2733 | . . . . . 6 โข ran (๐ โ ๐ โฆ โจ[๐] โผ , (๐ โ ๐ด)โฉ) = ran (๐ โ ๐ โฆ โจ[๐] โผ , (๐ โ ๐ด)โฉ) | |
15 | orbsta2.o | . . . . . 6 โข ๐ = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ({๐ฅ, ๐ฆ} โ ๐ โง โ๐ โ ๐ (๐ โ ๐ฅ) = ๐ฆ)} | |
16 | 1, 3, 2, 14, 15 | orbsta 19177 | . . . . 5 โข (( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โ ran (๐ โ ๐ โฆ โจ[๐] โผ , (๐ โ ๐ด)โฉ):(๐ / โผ )โ1-1-ontoโ[๐ด]๐) |
17 | 16 | adantr 482 | . . . 4 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ ran (๐ โ ๐ โฆ โจ[๐] โผ , (๐ โ ๐ด)โฉ):(๐ / โผ )โ1-1-ontoโ[๐ด]๐) |
18 | 13, 17 | hasheqf1od 14313 | . . 3 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ (โฏโ(๐ / โผ )) = (โฏโ[๐ด]๐)) |
19 | 18 | oveq1d 7424 | . 2 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ ((โฏโ(๐ / โผ )) ยท (โฏโ๐ป)) = ((โฏโ[๐ด]๐) ยท (โฏโ๐ป))) |
20 | 7, 19 | eqtrd 2773 | 1 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ (โฏโ๐) = ((โฏโ[๐ด]๐) ยท (โฏโ๐ป))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwrex 3071 {crab 3433 โ wss 3949 ๐ซ cpw 4603 {cpr 4631 โจcop 4635 {copab 5211 โฆ cmpt 5232 ran crn 5678 โ1-1-ontoโwf1o 6543 โcfv 6544 (class class class)co 7409 Er wer 8700 [cec 8701 / cqs 8702 Fincfn 8939 ยท cmul 11115 โฏchash 14290 Basecbs 17144 SubGrpcsubg 19000 ~QG cqg 19002 GrpAct cga 19153 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-inf2 9636 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-pre-sup 11188 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-int 4952 df-iun 5000 df-disj 5115 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-se 5633 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-isom 6553 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-1o 8466 df-er 8703 df-ec 8705 df-qs 8709 df-map 8822 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-sup 9437 df-oi 9505 df-card 9934 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-n0 12473 df-z 12559 df-uz 12823 df-rp 12975 df-fz 13485 df-fzo 13628 df-seq 13967 df-exp 14028 df-hash 14291 df-cj 15046 df-re 15047 df-im 15048 df-sqrt 15182 df-abs 15183 df-clim 15432 df-sum 15633 df-sets 17097 df-slot 17115 df-ndx 17127 df-base 17145 df-ress 17174 df-plusg 17210 df-0g 17387 df-mgm 18561 df-sgrp 18610 df-mnd 18626 df-grp 18822 df-minusg 18823 df-subg 19003 df-eqg 19005 df-ga 19154 |
This theorem is referenced by: sylow1lem5 19470 sylow2alem2 19486 sylow3lem3 19497 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |