![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > orbsta2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Relation between the size of the orbit and the size of the stabilizer of a point in a finite group action. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
orbsta2.x | โข ๐ = (Baseโ๐บ) |
orbsta2.h | โข ๐ป = {๐ข โ ๐ โฃ (๐ข โ ๐ด) = ๐ด} |
orbsta2.r | โข โผ = (๐บ ~QG ๐ป) |
orbsta2.o | โข ๐ = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ({๐ฅ, ๐ฆ} โ ๐ โง โ๐ โ ๐ (๐ โ ๐ฅ) = ๐ฆ)} |
Ref | Expression |
---|---|
orbsta2 | โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ (โฏโ๐) = ((โฏโ[๐ด]๐) ยท (โฏโ๐ป))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | orbsta2.x | . . 3 โข ๐ = (Baseโ๐บ) | |
2 | orbsta2.r | . . 3 โข โผ = (๐บ ~QG ๐ป) | |
3 | orbsta2.h | . . . . 5 โข ๐ป = {๐ข โ ๐ โฃ (๐ข โ ๐ด) = ๐ด} | |
4 | 1, 3 | gastacl 19214 | . . . 4 โข (( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โ ๐ป โ (SubGrpโ๐บ)) |
5 | 4 | adantr 479 | . . 3 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ ๐ป โ (SubGrpโ๐บ)) |
6 | simpr 483 | . . 3 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ ๐ โ Fin) | |
7 | 1, 2, 5, 6 | lagsubg2 19109 | . 2 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ (โฏโ๐) = ((โฏโ(๐ / โผ )) ยท (โฏโ๐ป))) |
8 | pwfi 9180 | . . . . . 6 โข (๐ โ Fin โ ๐ซ ๐ โ Fin) | |
9 | 6, 8 | sylib 217 | . . . . 5 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ ๐ซ ๐ โ Fin) |
10 | 1, 2 | eqger 19094 | . . . . . . 7 โข (๐ป โ (SubGrpโ๐บ) โ โผ Er ๐) |
11 | 5, 10 | syl 17 | . . . . . 6 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ โผ Er ๐) |
12 | 11 | qsss 8774 | . . . . 5 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ (๐ / โผ ) โ ๐ซ ๐) |
13 | 9, 12 | ssfid 9269 | . . . 4 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ (๐ / โผ ) โ Fin) |
14 | eqid 2730 | . . . . . 6 โข ran (๐ โ ๐ โฆ โจ[๐] โผ , (๐ โ ๐ด)โฉ) = ran (๐ โ ๐ โฆ โจ[๐] โผ , (๐ โ ๐ด)โฉ) | |
15 | orbsta2.o | . . . . . 6 โข ๐ = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ({๐ฅ, ๐ฆ} โ ๐ โง โ๐ โ ๐ (๐ โ ๐ฅ) = ๐ฆ)} | |
16 | 1, 3, 2, 14, 15 | orbsta 19218 | . . . . 5 โข (( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โ ran (๐ โ ๐ โฆ โจ[๐] โผ , (๐ โ ๐ด)โฉ):(๐ / โผ )โ1-1-ontoโ[๐ด]๐) |
17 | 16 | adantr 479 | . . . 4 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ ran (๐ โ ๐ โฆ โจ[๐] โผ , (๐ โ ๐ด)โฉ):(๐ / โผ )โ1-1-ontoโ[๐ด]๐) |
18 | 13, 17 | hasheqf1od 14317 | . . 3 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ (โฏโ(๐ / โผ )) = (โฏโ[๐ด]๐)) |
19 | 18 | oveq1d 7426 | . 2 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ ((โฏโ(๐ / โผ )) ยท (โฏโ๐ป)) = ((โฏโ[๐ด]๐) ยท (โฏโ๐ป))) |
20 | 7, 19 | eqtrd 2770 | 1 โข ((( โ โ (๐บ GrpAct ๐) โง ๐ด โ ๐) โง ๐ โ Fin) โ (โฏโ๐) = ((โฏโ[๐ด]๐) ยท (โฏโ๐ป))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1539 โ wcel 2104 โwrex 3068 {crab 3430 โ wss 3947 ๐ซ cpw 4601 {cpr 4629 โจcop 4633 {copab 5209 โฆ cmpt 5230 ran crn 5676 โ1-1-ontoโwf1o 6541 โcfv 6542 (class class class)co 7411 Er wer 8702 [cec 8703 / cqs 8704 Fincfn 8941 ยท cmul 11117 โฏchash 14294 Basecbs 17148 SubGrpcsubg 19036 ~QG cqg 19038 GrpAct cga 19194 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-disj 5113 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-er 8705 df-ec 8707 df-qs 8711 df-map 8824 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-sup 9439 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-rp 12979 df-fz 13489 df-fzo 13632 df-seq 13971 df-exp 14032 df-hash 14295 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-clim 15436 df-sum 15637 df-sets 17101 df-slot 17119 df-ndx 17131 df-base 17149 df-ress 17178 df-plusg 17214 df-0g 17391 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-grp 18858 df-minusg 18859 df-subg 19039 df-eqg 19041 df-ga 19195 |
This theorem is referenced by: sylow1lem5 19511 sylow2alem2 19527 sylow3lem3 19538 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |