MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbsta2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orbsta2 19178
Description: Relation between the size of the orbit and the size of the stabilizer of a point in a finite group action. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
orbsta2.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
orbsta2.h ๐ป = {๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ข โŠ• ๐ด) = ๐ด}
orbsta2.r โˆผ = (๐บ ~QG ๐ป)
orbsta2.o ๐‘‚ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† ๐‘Œ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
Assertion
Ref Expression
orbsta2 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜[๐ด]๐‘‚) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)))
Distinct variable groups:   ๐‘ข,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ, โŠ•   ๐ด,๐‘”,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐บ,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐‘Œ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   โˆผ ,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ป,๐‘ฆ   ๐‘”,๐‘‹,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   โˆผ (๐‘ข)   ๐ป(๐‘ข,๐‘”)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”)   ๐‘Œ(๐‘ข)

Proof of Theorem orbsta2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta2.x . . 3 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
2 orbsta2.r . . 3 โˆผ = (๐บ ~QG ๐ป)
3 orbsta2.h . . . . 5 ๐ป = {๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ข โŠ• ๐ด) = ๐ด}
41, 3gastacl 19173 . . . 4 (( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
54adantr 482 . . 3 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
6 simpr 486 . . 3 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
71, 2, 5, 6lagsubg2 19071 . 2 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)))
8 pwfi 9178 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
96, 8sylib 217 . . . . 5 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
101, 2eqger 19058 . . . . . . 7 (๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ โˆผ Er ๐‘‹)
115, 10syl 17 . . . . . 6 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ โˆผ Er ๐‘‹)
1211qsss 8772 . . . . 5 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘‹ / โˆผ ) โŠ† ๐’ซ ๐‘‹)
139, 12ssfid 9267 . . . 4 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆˆ Fin)
14 eqid 2733 . . . . . 6 ran (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ[๐‘˜] โˆผ , (๐‘˜ โŠ• ๐ด)โŸฉ) = ran (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ[๐‘˜] โˆผ , (๐‘˜ โŠ• ๐ด)โŸฉ)
15 orbsta2.o . . . . . 6 ๐‘‚ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† ๐‘Œ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
161, 3, 2, 14, 15orbsta 19177 . . . . 5 (( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ran (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ[๐‘˜] โˆผ , (๐‘˜ โŠ• ๐ด)โŸฉ):(๐‘‹ / โˆผ )โ€“1-1-ontoโ†’[๐ด]๐‘‚)
1716adantr 482 . . . 4 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ran (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ[๐‘˜] โˆผ , (๐‘˜ โŠ• ๐ด)โŸฉ):(๐‘‹ / โˆผ )โ€“1-1-ontoโ†’[๐ด]๐‘‚)
1813, 17hasheqf1od 14313 . . 3 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) = (โ™ฏโ€˜[๐ด]๐‘‚))
1918oveq1d 7424 . 2 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)) = ((โ™ฏโ€˜[๐ด]๐‘‚) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)))
207, 19eqtrd 2773 1 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜[๐ด]๐‘‚) ยท (โ™ฏโ€˜๐ป)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071  {crab 3433   โŠ† wss 3949  ๐’ซ cpw 4603  {cpr 4631  โŸจcop 4635  {copab 5211   โ†ฆ cmpt 5232  ran crn 5678  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6543  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   Er wer 8700  [cec 8701   / cqs 8702  Fincfn 8939   ยท cmul 11115  โ™ฏchash 14290  Basecbs 17144  SubGrpcsubg 19000   ~QG cqg 19002   GrpAct cga 19153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-eqg 19005  df-ga 19154
This theorem is referenced by:  sylow1lem5  19470  sylow2alem2  19486  sylow3lem3  19497
  Copyright terms: Public domain W3C validator