Theorem gpgvtxel2 48294

Description: The second component of a vertex in a generalized Petersen graph 𝐺. (Contributed by AV, 30-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtxel.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
gpgvtxel.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgvtxel.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgvtxel.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgvtxel2	⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem gpgvtxel2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgvtxel.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
2		gpgvtxel.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3		gpgvtxel.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
4		gpgvtxel.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	gpgvtxel 48293	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ 𝐼 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
7		vex 3444	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3444	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	op2ndd 7944	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) = 𝑦)
10	9	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼 ↔ 𝑦 ∈ 𝐼))
11	6, 10	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼))
12	11	rexlimivv 3178	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ 𝐼 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼)
13	5, 12	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼))
14	13	imp 406	1 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  {cpr 4582  ⟨cop 4586  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  2^nd c2nd 7932  0cc0 11026  1c1 11027   / cdiv 11794  2c2 12200  3c3 12201  ℤ_≥cuz 12751  ..^cfzo 13570  ⌈cceil 13711  Vtxcvtx 29069   gPetersenGr cgpg 48286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-edgf 29062  df-vtx 29071  df-gpg 48287

This theorem is referenced by:  gpg3nbgrvtx0  48322  gpg3nbgrvtx0ALT  48323  gpg3nbgrvtx1  48324  gpg5nbgrvtx03star  48326  gpg5nbgr3star  48327