Theorem gpgvtxel2 48029

Description: The second component of a vertex in a generalized Petersen graph 𝐺. (Contributed by AV, 30-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtxel.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
gpgvtxel.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgvtxel.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgvtxel.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgvtxel2	⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem gpgvtxel2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgvtxel.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
2		gpgvtxel.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3		gpgvtxel.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
4		gpgvtxel.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	gpgvtxel 48028	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ 𝐼 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
7		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	op2ndd 7981	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) = 𝑦)
10	9	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼 ↔ 𝑦 ∈ 𝐼))
11	6, 10	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼))
12	11	rexlimivv 3180	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ 𝐼 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼)
13	5, 12	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼))
14	13	imp 406	1 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  {cpr 4593  ⟨cop 4597  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  2^nd c2nd 7969  0cc0 11074  1c1 11075   / cdiv 11841  2c2 12242  3c3 12243  ℤ_≥cuz 12799  ..^cfzo 13621  ⌈cceil 13759  Vtxcvtx 28929   gPetersenGr cgpg 48021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-hash 14302  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-edgf 28922  df-vtx 28931  df-gpg 48022

This theorem is referenced by:  gpg3nbgrvtx0  48057  gpg3nbgrvtx0ALT  48058  gpg3nbgrvtx1  48059  gpg5nbgrvtx03star  48061  gpg5nbgr3star  48062