Theorem gpgvtxel2 48846

Description: The second component of a vertex in a generalized Petersen graph 𝐺. (Contributed by AV, 30-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtxel.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
gpgvtxel.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgvtxel.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgvtxel.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgvtxel2	⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem gpgvtxel2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgvtxel.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
2		gpgvtxel.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3		gpgvtxel.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
4		gpgvtxel.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	gpgvtxel 48845	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ 𝐼 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
6		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
7		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	op2ndd 7999	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) = 𝑦)
10	9	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼 ↔ 𝑦 ∈ 𝐼))
11	6, 10	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼))
12	11	rexlimivv 3209	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ 𝐼 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼)
13	5, 12	biimtrdi 256	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼))
14	13	imp 412	1 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  {cpr 4593  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  2^nd c2nd 7987  0cc0 11111  1c1 11112   / cdiv 11882  2c2 12306  3c3 12307  ℤ_≥cuz 12874  ..^cfzo 13695  ⌈cceil 13838  Vtxcvtx 29377   gPetersenGr cgpg 48838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-hash 14381  df-struct 17225  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-edgf 29370  df-vtx 29379  df-gpg 48839

This theorem is used by:  gpg3nbgrvtx0  48874  gpg3nbgrvtx0ALT  48875  gpg3nbgrvtx1  48876  gpg5nbgrvtx03star  48878  gpg5nbgr3star  48879