Theorem gpgvtxel2 49419

Description: The second component of a vertex in a generalized Petersen graph 𝐺. (Contributed by AV, 30-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtxel.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
gpgvtxel.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgvtxel.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgvtxel.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgvtxel2	⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem gpgvtxel2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgvtxel.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
2		gpgvtxel.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3		gpgvtxel.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
4		gpgvtxel.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	gpgvtxel 49418	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ 𝐼 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
6		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
7		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	op2ndd 8046	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) = 𝑦)
10	9	eleq1d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼 ↔ 𝑦 ∈ 𝐼))
11	6, 10	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼))
12	11	rexlimivv 3208	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ 𝐼 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼)
13	5, 12	biimtrdi 256	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼))
14	13	imp 412	1 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (2nd ‘𝑋) ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {cpr 4590  ⟨cop 4840  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  2^nd c2nd 8034  0cc0 11239  1c1 11240   / cdiv 12013  2c2 12437  3c3 12438  ℤ_≥cuz 13005  ..^cfzo 13828  ⌈cceil 13971  Vtxcvtx 29631   gPetersenGr cgpg 49411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-edgf 29624  df-vtx 29633  df-gpg 49412

This theorem is used by:  gpg3nbgrvtx0  49447  gpg3nbgrvtx0ALT  49448  gpg3nbgrvtx1  49449  gpg5nbgrvtx03star  49451  gpg5nbgr3star  49452