Theorem deg1sub 26453

Description: Exact degree of a difference of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1suble.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1suble.m	⊢ − = (-g‘𝑌)
deg1suble.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1suble.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1sub.l	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
deg1sub	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem deg1sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1suble.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		deg1suble.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
3		deg1suble.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑌) = (invg‘𝑌)
6		deg1suble.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑌)
7	3, 4, 5, 6	grpsubval 19222	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
8	1, 2, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
9	8	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = (𝐷‘(𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺))))
10		deg1addle.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
11		deg1addle.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
12		deg1addle.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	10	ply1ring 22592	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
14		ringgrp 20491	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
15	12, 13, 14	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
16	3, 5	grpinvcl 19224	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
17	15, 2, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
18	10, 11, 12, 3, 5, 2	deg1invg 26451	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝐷‘𝐺))
19		deg1sub.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) < (𝐷‘𝐹))
20	18, 19	eqbrtrd 5130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)) < (𝐷‘𝐹))
21	10, 11, 12, 3, 4, 1, 17, 20	deg1add 26448	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺))) = (𝐷‘𝐹))
22	9, 21	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = (𝐷‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   < clt 11367  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  Grpcgrp 19170  inv_gcminusg 19171  -_gcsg 19172  Ringcrg 20486  Poly₁cpl1 22522  deg₁cdg1 26399

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-rlreg 20973  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-cnfld 21706  df-psr 22244  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-psr1 22525  df-ply1 22527  df-coe1 22528  df-mdeg 26400  df-deg1 26401

This theorem is used by:  ply1remlem  26510  idomrootle  26518  lgsqrlem4  27703  vietadeg1  34277  2sqr3minply  34479  aks6d1c2lem4  43368