Theorem clmpm1dir 23818

Description: Subtractive distributive law for the scalar product of a subcomplex module. (Contributed by NM, 31-Jul-2007.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmpm1dir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmpm1dir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
clmpm1dir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
clmpm1dir	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))

Proof of Theorem clmpm1dir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmpm1dir.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		clmpm1dir.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
3		eqid 2758	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		clmpm1dir.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5		eqid 2758	. . 3 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
6		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
7		simpr1 1191	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		simpr2 1192	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		simpr3 1193	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	clmsubdir 23817	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝐶)))
11	1, 3, 2, 4	clmvscl 23803	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉)
12	6, 7, 9, 11	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉)
13	1, 3, 2, 4	clmvscl 23803	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉)
14	6, 8, 9, 13	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉)
15		clmpm1dir.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
16		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
17	1, 15, 16, 5	grpsubval 18230	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))))
18	12, 14, 17	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))))
19	1, 16, 3, 2	clmvneg1 23814	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → (-1 · (𝐵 · 𝐶)) = ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)))
20	19	eqcomd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
21	6, 14, 20	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
22	21	oveq2d 7172	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶) + ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
23	10, 18, 22	3eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  1c1 10589   − cmin 10921  -cneg 10922  Basecbs 16555  +_gcplusg 16637  Scalarcsca 16640   ·_𝑠 cvsca 16641  inv_gcminusg 18184  -_gcsg 18185  ℂModcclm 23777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-addf 10667  ax-mulf 10668

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-seq 13432  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-0g 16787  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-sbg 18188  df-mulg 18306  df-subg 18357  df-cmn 18989  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-ring 19381  df-cring 19382  df-subrg 19615  df-lmod 19718  df-cnfld 20181  df-clm 23778

This theorem is referenced by: (None)