Theorem clmpm1dir 24266

Description: Subtractive distributive law for the scalar product of a subcomplex module. (Contributed by NM, 31-Jul-2007.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmpm1dir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmpm1dir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
clmpm1dir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
clmpm1dir	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))

Proof of Theorem clmpm1dir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmpm1dir.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		clmpm1dir.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		clmpm1dir.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
6		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
7		simpr1 1193	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		simpr2 1194	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		simpr3 1195	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	clmsubdir 24265	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝐶)))
11	1, 3, 2, 4	clmvscl 24251	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉)
12	6, 7, 9, 11	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉)
13	1, 3, 2, 4	clmvscl 24251	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉)
14	6, 8, 9, 13	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉)
15		clmpm1dir.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
16		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
17	1, 15, 16, 5	grpsubval 18625	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))))
18	12, 14, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))))
19	1, 16, 3, 2	clmvneg1 24262	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → (-1 · (𝐵 · 𝐶)) = ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)))
20	19	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
21	6, 14, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
22	21	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶) + ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
23	10, 18, 22	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872   − cmin 11205  -cneg 11206  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  inv_gcminusg 18578  -_gcsg 18579  ℂModcclm 24225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-cnfld 20598  df-clm 24226

This theorem is referenced by: (None)