Theorem clmpm1dir 25084

Description: Subtractive distributive law for the scalar product of a subcomplex module. (Contributed by NM, 31-Jul-2007.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmpm1dir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmpm1dir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
clmpm1dir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
clmpm1dir	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))

Proof of Theorem clmpm1dir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmpm1dir.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		clmpm1dir.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		clmpm1dir.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
6		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
7		simpr1 1196	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		simpr2 1197	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		simpr3 1198	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	clmsubdir 25083	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝐶)))
11	1, 3, 2, 4	clmvscl 25069	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉)
12	6, 7, 9, 11	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉)
13	1, 3, 2, 4	clmvscl 25069	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉)
14	6, 8, 9, 13	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉)
15		clmpm1dir.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
17	1, 15, 16, 5	grpsubval 18956	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))))
18	12, 14, 17	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))))
19	1, 16, 3, 2	clmvneg1 25080	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → (-1 · (𝐵 · 𝐶)) = ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)))
20	19	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
21	6, 14, 20	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
22	21	oveq2d 7378	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶) + ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
23	10, 18, 22	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  1c1 11034   − cmin 11372  -cneg 11373  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  inv_gcminusg 18905  -_gcsg 18906  ℂModcclm 25043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-seq 13959  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-cnfld 21349  df-clm 25044

This theorem is referenced by: (None)