Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmpm1dir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmpm1dir 23818
 Description: Subtractive distributive law for the scalar product of a subcomplex module. (Contributed by NM, 31-Jul-2007.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmpm1dir.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s · = ( ·𝑠𝑊)
clmpm1dir.a + = (+g𝑊)
clmpm1dir.k 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
clmpm1dir ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))

Proof of Theorem clmpm1dir
StepHypRef Expression
1 clmpm1dir.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 clmpm1dir.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
3 eqid 2758 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4 clmpm1dir.k . . 3 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5 eqid 2758 . . 3 (-g𝑊) = (-g𝑊)
6 simpl 486 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
7 simpr1 1191 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → 𝐴𝐾)
8 simpr2 1192 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → 𝐵𝐾)
9 simpr3 1193 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9clmsubdir 23817 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶)(-g𝑊)(𝐵 · 𝐶)))
111, 3, 2, 4clmvscl 23803 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾𝐶𝑉) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉)
126, 7, 9, 11syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉)
131, 3, 2, 4clmvscl 23803 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝐾𝐶𝑉) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉)
146, 8, 9, 13syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉)
15 clmpm1dir.a . . . 4 + = (+g𝑊)
16 eqid 2758 . . . 4 (invg𝑊) = (invg𝑊)
171, 15, 16, 5grpsubval 18230 . . 3 (((𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝐶)(-g𝑊)(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((invg𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))))
1812, 14, 17syl2anc 587 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶)(-g𝑊)(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((invg𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))))
191, 16, 3, 2clmvneg1 23814 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → (-1 · (𝐵 · 𝐶)) = ((invg𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)))
2019eqcomd 2764 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → ((invg𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
216, 14, 20syl2anc 587 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → ((invg𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
2221oveq2d 7172 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶) + ((invg𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
2310, 18, 223eqtrd 2797 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐶𝑉)) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  1c1 10589   − cmin 10921  -cneg 10922  Basecbs 16555  +gcplusg 16637  Scalarcsca 16640   ·𝑠 cvsca 16641  invgcminusg 18184  -gcsg 18185  ℂModcclm 23777 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-seq 13432  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-0g 16787  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-sbg 18188  df-mulg 18306  df-subg 18357  df-cmn 18989  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-ring 19381  df-cring 19382  df-subrg 19615  df-lmod 19718  df-cnfld 20181  df-clm 23778 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator