Theorem clmpm1dir 25439

Description: Subtractive distributive law for the scalar product of a subcomplex module. (Contributed by NM, 31-Jul-2007.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmpm1dir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmpm1dir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
clmpm1dir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
clmpm1dir	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + ( -1 · (𝐵 · 𝐶))))

Proof of Theorem clmpm1dir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmpm1dir.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		clmpm1dir.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		clmpm1dir.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
6		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
7		simpr1 1213	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		simpr3 1215	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	clmsubdir 25438	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝐶)))
11	1, 3, 2, 4	clmvscl 25424	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉)
12	6, 7, 9, 11	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉)
13	1, 3, 2, 4	clmvscl 25424	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉)
14	6, 8, 9, 13	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉)
15		clmpm1dir.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
17	1, 15, 16, 5	grpsubval 19211	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))))
18	12, 14, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))))
19	1, 16, 3, 2	clmvneg1 25435	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → ( -1 · (𝐵 · 𝐶)) = ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)))
20	19	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)) = ( -1 · (𝐵 · 𝐶)))
21	6, 14, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶)) = ( -1 · (𝐵 · 𝐶)))
22	21	oveq2d 7446	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝐶) + ((invg‘𝑊)‘(𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐶) + ( -1 · (𝐵 · 𝐶))))
23	10, 18, 22	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + ( -1 · (𝐵 · 𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  1c1 11214   − cmin 11554   -cneg 11555  Basecbs 17402  +_gcplusg 17443  Scalarcsca 17446   ·_𝑠 cvsca 17447  inv_gcminusg 19160  -_gcsg 19161  ℂModcclm 25398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-addf 11292

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-seq 14158  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-mulg 19293  df-subg 19348  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-subrg 20837  df-lmod 21152  df-cnfld 21694  df-clm 25399

This theorem is used by: (None)