Theorem deg1suble 26146

Description: The degree of a difference of polynomials is bounded by the maximum of degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1suble.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1suble.m	⊢ − = (-g‘𝑌)
deg1suble.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1suble.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
deg1suble	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))

Proof of Theorem deg1suble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1addle.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
2		deg1addle.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		deg1addle.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		deg1suble.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
6		deg1suble.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	1	ply1ring 22249	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
8		ringgrp 20235	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
9	3, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
10		deg1suble.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑌) = (invg‘𝑌)
12	4, 11	grpinvcl 19005	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13	deg1addle 26140	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺))) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘𝐹)))
15		deg1suble.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑌)
16	4, 5, 11, 15	grpsubval 19003	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
17	6, 10, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
18	17	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = (𝐷‘(𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺))))
19	1, 2, 3, 4, 11, 10	deg1invg 26145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝐷‘𝐺))
20	19	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)))
21	20	breq2d 5155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺))))
22	21, 20	ifbieq1d 4550	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) = if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘𝐹)))
23	14, 18, 22	3brtr4d 5175	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ≤ cle 11296  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  -_gcsg 18953  Ringcrg 20230  Poly₁cpl1 22178  deg₁cdg1 26093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-mdeg 26094  df-deg1 26095

This theorem is referenced by:  deg1sublt  26149  ply1divmo  26175  aks6d1c6lem3  42173