Theorem deg1suble 26069

Description: The degree of a difference of polynomials is bounded by the maximum of degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1suble.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1suble.m	⊢ − = (-g‘𝑌)
deg1suble.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1suble.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
deg1suble	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))

Proof of Theorem deg1suble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1addle.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
2		deg1addle.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		deg1addle.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		deg1suble.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
6		deg1suble.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	1	ply1ring 22188	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
8		ringgrp 20203	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
9	3, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
10		deg1suble.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑌) = (invg‘𝑌)
12	4, 11	grpinvcl 18975	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13	deg1addle 26063	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺))) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘𝐹)))
15		deg1suble.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑌)
16	4, 5, 11, 15	grpsubval 18973	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
17	6, 10, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
18	17	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = (𝐷‘(𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺))))
19	1, 2, 3, 4, 11, 10	deg1invg 26068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝐷‘𝐺))
20	19	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)))
21	20	breq2d 5136	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺))))
22	21, 20	ifbieq1d 4530	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) = if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘𝐹)))
23	14, 18, 22	3brtr4d 5156	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4505   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ≤ cle 11275  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  Grpcgrp 18921  inv_gcminusg 18922  -_gcsg 18923  Ringcrg 20198  Poly₁cpl1 22117  deg₁cdg1 26016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-rlreg 20659  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-cnfld 21321  df-psr 21874  df-mpl 21876  df-opsr 21878  df-psr1 22120  df-ply1 22122  df-mdeg 26017  df-deg1 26018

This theorem is referenced by:  deg1sublt  26072  ply1divmo  26098  aks6d1c6lem3  42190