MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1suble Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1suble 25860
Description: The degree of a difference of polynomials is bounded by the maximum of degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
deg1addle.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1addle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1suble.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1suble.m = (-g𝑌)
deg1suble.f (𝜑𝐹𝐵)
deg1suble.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
deg1suble (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))

Proof of Theorem deg1suble
StepHypRef Expression
1 deg1addle.y . . 3 𝑌 = (Poly1𝑅)
2 deg1addle.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑅)
3 deg1addle.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 deg1suble.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 eqid 2730 . . 3 (+g𝑌) = (+g𝑌)
6 deg1suble.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
71ply1ring 21990 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
8 ringgrp 20132 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
93, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
10 deg1suble.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
11 eqid 2730 . . . . 5 (invg𝑌) = (invg𝑌)
124, 11grpinvcl 18908 . . . 4 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺𝐵) → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
139, 10, 12syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13deg1addle 25854 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺))) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)), (𝐷𝐹)))
15 deg1suble.m . . . . 5 = (-g𝑌)
164, 5, 11, 15grpsubval 18906 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
176, 10, 16syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
1817fveq2d 6894 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = (𝐷‘(𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺))))
191, 2, 3, 4, 11, 10deg1invg 25859 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝐷𝐺))
2019eqcomd 2736 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) = (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)))
2120breq2d 5159 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺) ↔ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺))))
2221, 20ifbieq1d 4551 . 2 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) = if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)), (𝐷𝐹)))
2314, 18, 223brtr4d 5179 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2104  ifcif 4527   class class class wbr 5147  cfv 6542  (class class class)co 7411  cle 11253  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  -gcsg 18857  Ringcrg 20127  Poly1cpl1 21920   deg1 cdg1 25804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-rlreg 21099  df-cnfld 21145  df-psr 21681  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-ply1 21925  df-mdeg 25805  df-deg1 25806
This theorem is referenced by:  deg1sublt  25863  ply1divmo  25888
  Copyright terms: Public domain W3C validator