MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1suble Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1suble 26161
Description: The degree of a difference of polynomials is bounded by the maximum of degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
deg1addle.d 𝐷 = (deg1𝑅)
deg1addle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1suble.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1suble.m = (-g𝑌)
deg1suble.f (𝜑𝐹𝐵)
deg1suble.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
deg1suble (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))

Proof of Theorem deg1suble
StepHypRef Expression
1 deg1addle.y . . 3 𝑌 = (Poly1𝑅)
2 deg1addle.d . . 3 𝐷 = (deg1𝑅)
3 deg1addle.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 deg1suble.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 eqid 2735 . . 3 (+g𝑌) = (+g𝑌)
6 deg1suble.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
71ply1ring 22265 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
8 ringgrp 20256 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
93, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
10 deg1suble.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
11 eqid 2735 . . . . 5 (invg𝑌) = (invg𝑌)
124, 11grpinvcl 19018 . . . 4 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺𝐵) → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
139, 10, 12syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13deg1addle 26155 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺))) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)), (𝐷𝐹)))
15 deg1suble.m . . . . 5 = (-g𝑌)
164, 5, 11, 15grpsubval 19016 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
176, 10, 16syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
1817fveq2d 6911 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = (𝐷‘(𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺))))
191, 2, 3, 4, 11, 10deg1invg 26160 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝐷𝐺))
2019eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) = (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)))
2120breq2d 5160 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺) ↔ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺))))
2221, 20ifbieq1d 4555 . 2 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) = if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)), (𝐷𝐹)))
2314, 18, 223brtr4d 5180 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cle 11294  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  -gcsg 18966  Ringcrg 20251  Poly1cpl1 22194  deg1cdg1 26108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-cnfld 21383  df-psr 21947  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-ply1 22199  df-mdeg 26109  df-deg1 26110
This theorem is referenced by:  deg1sublt  26164  ply1divmo  26190  aks6d1c6lem3  42154
  Copyright terms: Public domain W3C validator