MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1suble Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1suble 25272
Description: The degree of a difference of polynomials is bounded by the maximum of degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
deg1addle.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1addle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1suble.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1suble.m = (-g𝑌)
deg1suble.f (𝜑𝐹𝐵)
deg1suble.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
deg1suble (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))

Proof of Theorem deg1suble
StepHypRef Expression
1 deg1addle.y . . 3 𝑌 = (Poly1𝑅)
2 deg1addle.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑅)
3 deg1addle.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 deg1suble.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 eqid 2738 . . 3 (+g𝑌) = (+g𝑌)
6 deg1suble.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
71ply1ring 21419 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
8 ringgrp 19788 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
93, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
10 deg1suble.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
11 eqid 2738 . . . . 5 (invg𝑌) = (invg𝑌)
124, 11grpinvcl 18627 . . . 4 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺𝐵) → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
139, 10, 12syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13deg1addle 25266 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺))) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)), (𝐷𝐹)))
15 deg1suble.m . . . . 5 = (-g𝑌)
164, 5, 11, 15grpsubval 18625 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
176, 10, 16syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
1817fveq2d 6778 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = (𝐷‘(𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺))))
191, 2, 3, 4, 11, 10deg1invg 25271 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝐷𝐺))
2019eqcomd 2744 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) = (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)))
2120breq2d 5086 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺) ↔ (𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺))))
2221, 20ifbieq1d 4483 . 2 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) = if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)), (𝐷𝐹)))
2314, 18, 223brtr4d 5106 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  ifcif 4459   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cle 11010  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  Grpcgrp 18577  invgcminusg 18578  -gcsg 18579  Ringcrg 19783  Poly1cpl1 21348   deg1 cdg1 25216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-rlreg 20554  df-cnfld 20598  df-psr 21112  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-ply1 21353  df-mdeg 25217  df-deg1 25218
This theorem is referenced by:  deg1sublt  25275  ply1divmo  25300
  Copyright terms: Public domain W3C validator