Theorem deg1suble 26167

Description: The degree of a difference of polynomials is bounded by the maximum of degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1suble.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1suble.m	⊢ − = (-g‘𝑌)
deg1suble.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1suble.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
deg1suble	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))

Proof of Theorem deg1suble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1addle.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
2		deg1addle.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		deg1addle.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		deg1suble.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
6		deg1suble.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	1	ply1ring 22309	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
8		ringgrp 20288	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
9	3, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
10		deg1suble.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
11		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑌) = (invg‘𝑌)
12	4, 11	grpinvcl 19029	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 12	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13	deg1addle 26161	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺))) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘𝐹)))
15		deg1suble.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑌)
16	4, 5, 11, 15	grpsubval 19027	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
17	6, 10, 16	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺)))
18	17	fveq2d 6871	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = (𝐷‘(𝐹(+g‘𝑌)((invg‘𝑌)‘𝐺))))
19	1, 2, 3, 4, 11, 10	deg1invg 26166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)) = (𝐷‘𝐺))
20	19	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)))
21	20	breq2d 5112	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺))))
22	21, 20	ifbieq1d 4505	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) = if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘((invg‘𝑌)‘𝐺)), (𝐷‘𝐹)))
23	14, 18, 22	3brtr4d 5132	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ifcif 4480   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ≤ cle 11217  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  Grpcgrp 18975  inv_gcminusg 18976  -_gcsg 18977  Ringcrg 20283  Poly₁cpl1 22239  deg₁cdg1 26114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-cring 20286  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-rlreg 20744  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-cnfld 21425  df-psr 21961  df-mpl 21963  df-opsr 21965  df-psr1 22242  df-ply1 22244  df-mdeg 26115  df-deg1 26116

This theorem is referenced by:  deg1sublt  26170  ply1divmo  26196  aks6d1c6lem3  42789