MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfidmadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfidmadd2 18641
Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain, using a function operation. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfidmadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmadd.p + = (+g𝐺)
gsummptfidmadd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfidmadd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmadd.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummptfidmadd.d ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
gsummptfidmadd.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
gsummptfidmadd.h 𝐻 = (𝑥𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsummptfidmadd2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, +
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsummptfidmadd2
StepHypRef Expression
1 gsummptfidmadd.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 gsummptfidmadd.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
3 gsummptfidmadd.d . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
4 gsummptfidmadd.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
54a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐶))
6 gsummptfidmadd.h . . . . 5 𝐻 = (𝑥𝐴𝐷)
76a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴𝐷))
81, 2, 3, 5, 7offval2 7148 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐻) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷)))
98oveq2d 6894 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))))
10 gsummptfidmadd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 gsummptfidmadd.p . . 3 + = (+g𝐺)
12 gsummptfidmadd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
1310, 11, 12, 1, 2, 3, 4, 6gsummptfidmadd 18640 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
149, 13eqtrd 2833 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cmpt 4922  cfv 6101  (class class class)co 6878  𝑓 cof 7129  Fincfn 8195  Basecbs 16184  +gcplusg 16267   Σg cgsu 16416  CMndccmn 18508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-cntz 18062  df-cmn 18510
This theorem is referenced by:  psrdi  19729  psrdir  19730  mamudi  20534  mamudir  20535  mdetrlin  20734  lgseisenlem3  25454  lgseisenlem4  25455
  Copyright terms: Public domain W3C validator