Theorem gsummptfidmadd2 19910

Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain, using a function operation. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfidmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfidmadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmadd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptfidmadd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsummptfidmadd.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
gsummptfidmadd.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfidmadd2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, +

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsummptfidmadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfidmadd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		gsummptfidmadd.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		gsummptfidmadd.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
4		gsummptfidmadd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
6		gsummptfidmadd.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
8	1, 2, 3, 5, 7	offval2 7705	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷)))
9	8	oveq2d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))))
10		gsummptfidmadd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		gsummptfidmadd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		gsummptfidmadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
13	10, 11, 12, 1, 2, 3, 4, 6	gsummptfidmadd 19909	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
14	9, 13	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7683  Fincfn 8964  Basecbs 17199  +_gcplusg 17252   Σ_g cgsu 17441  CMndccmn 19764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-hash 14334  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-submnd 18760  df-cntz 19297  df-cmn 19766

This theorem is referenced by:  psrdi  21944  psrdir  21945  mamudi  22364  mamudir  22365  mdetrlin  22565  lgseisenlem3  27375  lgseisenlem4  27376