Theorem gsummptfsf1o 33000

Description: Re-index a finite group sum using a bijection. A version of gsummptf1o 19899 expressed using finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfsf1o.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐻
gsummptfsf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfsf1o.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptfsf1o.i	⊢ (𝑥 = 𝐸 → 𝐶 = 𝐻)
gsummptfsf1o.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfsf1o.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptfsf1o.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
gsummptfsf1o.d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
gsummptfsf1o.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐹)
gsummptfsf1o.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ 𝐴)
gsummptfsf1o.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfsf1o	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gsummptfsf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfsf1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfsf1o.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummptfsf1o.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptfsf1o.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsummptfsf1o.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7		gsummptfsf1o.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐹)
8	6, 7	sseldd 3949	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 7089	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶𝐵)
10		gsummptfsf1o.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
11		gsummptfsf1o.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ 𝐴)
12	11	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝐸 ∈ 𝐴)
13		gsummptfsf1o.h	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)
14	13	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)
15		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)
16	15	f1ompt 7085	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸):𝐷–1-1-onto→𝐴 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐷 𝐸 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸))
17	12, 14, 16	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸):𝐷–1-1-onto→𝐴)
18	1, 2, 3, 4, 9, 10, 17	gsumf1o 19852	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))))
19		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))
20		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
21	12, 19, 20	fmptcos 7105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶))
22		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)
23		gsummptfsf1o.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → Ⅎ𝑥𝐻)
25		gsummptfsf1o.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → 𝐶 = 𝐻)
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 𝐸) → 𝐶 = 𝐻)
27	22, 24, 11, 26	csbiedf 3894	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐻)
28	27	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻))
29	21, 28	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻))
30	29	oveq2d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))
31	18, 30	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2877  ∀wral 3045  ∃!wreu 3354  ⦋csb 3864   ⊆ wss 3916   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5644  –1-1-onto→wf1o 6512  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   finSupp cfsupp 9318  Basecbs 17185  0_gc0g 17408   Σ_g cgsu 17409  CMndccmn 19716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-hash 14302  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-cntz 19255  df-cmn 19718

This theorem is referenced by: (None)