Theorem gsummptfsf1o 33485

Description: Re-index a finite group sum using a bijection. A version of gsummptf1o 20089 expressed using finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfsf1o.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐻
gsummptfsf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfsf1o.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptfsf1o.i	⊢ (𝑥 = 𝐸 → 𝐶 = 𝐻)
gsummptfsf1o.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfsf1o.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptfsf1o.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
gsummptfsf1o.d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
gsummptfsf1o.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐹)
gsummptfsf1o.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ 𝐴)
gsummptfsf1o.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfsf1o	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)   𝐻(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)   0 (𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem gsummptfsf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfsf1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfsf1o.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummptfsf1o.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptfsf1o.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsummptfsf1o.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7		gsummptfsf1o.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐹)
8	6, 7	sseldd 3935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶𝐵)
10		gsummptfsf1o.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
11		gsummptfsf1o.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ 𝐴)
12	11	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝐸 ∈ 𝐴)
13		gsummptfsf1o.h	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)
14	13	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)
15		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)
16	15	f1ompt 7107	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸):𝐷–1-1-onto→𝐴 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐷 𝐸 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸))
17	12, 14, 16	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸):𝐷–1-1-onto→𝐴)
18	1, 2, 3, 4, 9, 10, 17	gsumf1o 20042	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))))
19		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))
20		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
21	12, 19, 20	fmptcos 7128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶))
22		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)
23		gsummptfsf1o.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → Ⅎ𝑥𝐻)
25		gsummptfsf1o.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → 𝐶 = 𝐻)
26	25	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 𝐸) → 𝐶 = 𝐻)
27	22, 24, 11, 26	csbiedf 3880	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐻)
28	27	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻))
29	21, 28	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻))
30	29	oveq2d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))
31	18, 30	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909  ∀wral 3078  ∃!wreu 3365  ⦋csb 3850   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5663  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   finSupp cfsupp 9334  Basecbs 17303  0_gc0g 17526   Σ_g cgsu 17527  CMndccmn 19906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-cntz 19443  df-cmn 19908

This theorem is used by:  selvply1rhmlemb  34014  evlextv  34037  mplvrpmrhm  34042