Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsummptfsf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfsf1o 33039
Description: Re-index a finite group sum using a bijection. A version of gsummptf1o 19995 expressed using finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfsf1o.x 𝑥𝐻
gsummptfsf1o.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfsf1o.z 0 = (0g𝐺)
gsummptfsf1o.i (𝑥 = 𝐸𝐶 = 𝐻)
gsummptfsf1o.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfsf1o.1 (𝜑𝐴𝑉)
gsummptfsf1o.a (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) finSupp 0 )
gsummptfsf1o.d (𝜑𝐹𝐵)
gsummptfsf1o.f ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐹)
gsummptfsf1o.e ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸𝐴)
gsummptfsf1o.h ((𝜑𝑥𝐴) → ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
gsummptfsf1o (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gsummptfsf1o
StepHypRef Expression
1 gsummptfsf1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptfsf1o.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsummptfsf1o.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummptfsf1o.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 gsummptfsf1o.d . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐵)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹𝐵)
7 gsummptfsf1o.f . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐹)
86, 7sseldd 3995 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
98fmpttd 7134 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴𝐵)
10 gsummptfsf1o.a . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) finSupp 0 )
11 gsummptfsf1o.e . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸𝐴)
1211ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐷 𝐸𝐴)
13 gsummptfsf1o.h . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
1413ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
15 eqid 2734 . . . . 5 (𝑦𝐷𝐸) = (𝑦𝐷𝐸)
1615f1ompt 7130 . . . 4 ((𝑦𝐷𝐸):𝐷1-1-onto𝐴 ↔ (∀𝑦𝐷 𝐸𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸))
1712, 14, 16sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸):𝐷1-1-onto𝐴)
181, 2, 3, 4, 9, 10, 17gsumf1o 19948 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸))))
19 eqidd 2735 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸) = (𝑦𝐷𝐸))
20 eqidd 2735 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
2112, 19, 20fmptcos 7150 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸)) = (𝑦𝐷𝐸 / 𝑥𝐶))
22 nfv 1911 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑦𝐷)
23 gsummptfsf1o.x . . . . . . 7 𝑥𝐻
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑥𝐻)
25 gsummptfsf1o.i . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐸𝐶 = 𝐻)
2625adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥 = 𝐸) → 𝐶 = 𝐻)
2722, 24, 11, 26csbiedf 3938 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸 / 𝑥𝐶 = 𝐻)
2827mpteq2dva 5247 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸 / 𝑥𝐶) = (𝑦𝐷𝐻))
2921, 28eqtrd 2774 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸)) = (𝑦𝐷𝐻))
3029oveq2d 7446 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸))) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
3118, 30eqtrd 2774 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wnfc 2887  wral 3058  ∃!wreu 3375  csb 3907  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccom 5692  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430   finSupp cfsupp 9398  Basecbs 17244  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  CMndccmn 19812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-cntz 19347  df-cmn 19814
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator