Theorem gsummptfsf1o 33160

Description: Re-index a finite group sum using a bijection. A version of gsummptf1o 19909 expressed using finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfsf1o.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐻
gsummptfsf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfsf1o.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptfsf1o.i	⊢ (𝑥 = 𝐸 → 𝐶 = 𝐻)
gsummptfsf1o.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfsf1o.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptfsf1o.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
gsummptfsf1o.d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
gsummptfsf1o.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐹)
gsummptfsf1o.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ 𝐴)
gsummptfsf1o.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfsf1o	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gsummptfsf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfsf1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfsf1o.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummptfsf1o.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptfsf1o.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsummptfsf1o.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7		gsummptfsf1o.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐹)
8	6, 7	sseldd 3936	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 7071	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶𝐵)
10		gsummptfsf1o.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
11		gsummptfsf1o.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ 𝐴)
12	11	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝐸 ∈ 𝐴)
13		gsummptfsf1o.h	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)
14	13	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)
16	15	f1ompt 7067	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸):𝐷–1-1-onto→𝐴 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐷 𝐸 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸))
17	12, 14, 16	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸):𝐷–1-1-onto→𝐴)
18	1, 2, 3, 4, 9, 10, 17	gsumf1o 19862	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))))
19		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))
20		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
21	12, 19, 20	fmptcos 7088	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶))
22		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)
23		gsummptfsf1o.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → Ⅎ𝑥𝐻)
25		gsummptfsf1o.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → 𝐶 = 𝐻)
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 𝐸) → 𝐶 = 𝐻)
27	22, 24, 11, 26	csbiedf 3881	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐻)
28	27	mpteq2dva 5193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻))
29	21, 28	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻))
30	29	oveq2d 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))
31	18, 30	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3052  ∃!wreu 3350  ⦋csb 3851   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   ∘ ccom 5638  –1-1-onto→wf1o 6501  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   finSupp cfsupp 9278  Basecbs 17150  0_gc0g 17373   Σ_g cgsu 17374  CMndccmn 19726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-cntz 19263  df-cmn 19728

This theorem is referenced by:  evlextv  33725  mplvrpmrhm  33730