Theorem hash3tpde 14529

Description: A set of size three is an unordered triple of three different elements. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hash3tpde	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash3tpde

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash3tr 14527	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
2		ax-1 6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
3		3ianor 1106	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ∨ ¬ 𝑎 ≠ 𝑐 ∨ ¬ 𝑏 ≠ 𝑐))
4		nne 2942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
5		nne 2942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑐 ↔ 𝑎 = 𝑐)
6		nne 2942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑏 ≠ 𝑐 ↔ 𝑏 = 𝑐)
7	4, 5, 6	3orbi123i 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ∨ ¬ 𝑎 ≠ 𝑐 ∨ ¬ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑐 ∨ 𝑏 = 𝑐))
8	3, 7	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑐 ∨ 𝑏 = 𝑐))
9		tpeq1 4747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑏, 𝑏, 𝑐})
10		tpidm12 4760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑏, 𝑏, 𝑐} = {𝑏, 𝑐}
11	9, 10	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑏, 𝑐})
12	11	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ↔ 𝑉 = {𝑏, 𝑐}))
13		fveqeq2 6916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = {𝑏, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3))
14		hashprlei 14504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑏, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2)
15		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2 ↔ 3 ≤ 2))
16		2lt3 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 < 3
17		2re 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		3re 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ ℝ
19	17, 18	ltnlei 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 2)
20	16, 19	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 3 ≤ 2
21	20	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 ≤ 2 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
22	15, 21	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
23	22	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2 → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑏, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2) → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
25	14, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
26	13, 25	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑏, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
27	26	adantld 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
28	12, 27	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
29		tpeq1 4747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑐, 𝑏, 𝑐})
30		tpidm13 4761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑐, 𝑏, 𝑐} = {𝑐, 𝑏}
31	29, 30	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑐, 𝑏})
32	31	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ↔ 𝑉 = {𝑐, 𝑏}))
33		fveqeq2 6916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = {𝑐, 𝑏} → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3))
34		hashprlei 14504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑐, 𝑏} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2)
35		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2 ↔ 3 ≤ 2))
36	35, 21	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
37	36	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2 → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑐, 𝑏} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2) → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
40	33, 39	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑐, 𝑏} → ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
41	40	adantld 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑐, 𝑏} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
42	32, 41	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
43		tpeq2 4748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑎, 𝑐, 𝑐})
44		tpidm23 4762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑎, 𝑐, 𝑐} = {𝑎, 𝑐}
45	43, 44	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑎, 𝑐})
46	45	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ↔ 𝑉 = {𝑎, 𝑐}))
47		fveqeq2 6916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3))
48		hashprlei 14504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑎, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2)
49		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2 ↔ 3 ≤ 2))
50	49, 21	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
51	50	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2 → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑎, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2) → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
53	48, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
54	47, 53	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
55	54	adantld 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
56	46, 55	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
57	28, 42, 56	3jaoi 1427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑐 ∨ 𝑏 = 𝑐) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
58	57	impcomd 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑐 ∨ 𝑏 = 𝑐) → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
59	8, 58	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
60	2, 59	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
61		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
62	60, 61	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
63	62	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
64	63	eximdv 1915	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
65	64	2eximdv 1917	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
66	1, 65	mpd 15	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {cpr 4633  {ctp 4635   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  Fincfn 8984   < clt 11293   ≤ cle 11294  2c2 12319  3c3 12320  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-3o 8507  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  hash3tpexb  14530