MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash3tpde Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash3tpde 14532
Description: A set of size three is an unordered triple of three different elements. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)
Assertion
Ref Expression
hash3tpde ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash3tpde
StepHypRef Expression
1 hash3tr 14530 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
2 ax-1 6 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
3 3ianor 1107 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ (¬ 𝑎𝑏 ∨ ¬ 𝑎𝑐 ∨ ¬ 𝑏𝑐))
4 nne 2944 . . . . . . . . . 10 𝑎𝑏𝑎 = 𝑏)
5 nne 2944 . . . . . . . . . 10 𝑎𝑐𝑎 = 𝑐)
6 nne 2944 . . . . . . . . . 10 𝑏𝑐𝑏 = 𝑐)
74, 5, 63orbi123i 1157 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑎𝑏 ∨ ¬ 𝑎𝑐 ∨ ¬ 𝑏𝑐) ↔ (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐))
83, 7bitri 275 . . . . . . . 8 (¬ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐))
9 tpeq1 4742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑏 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑏, 𝑏, 𝑐})
10 tpidm12 4755 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑏, 𝑏, 𝑐} = {𝑏, 𝑐}
119, 10eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑏, 𝑐})
1211eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑏 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ↔ 𝑉 = {𝑏, 𝑐}))
13 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 = {𝑏, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3))
14 hashprlei 14507 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑏, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2)
15 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2 ↔ 3 ≤ 2))
16 2lt3 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 < 3
17 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
18 3re 12346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ ℝ
1917, 18ltnlei 11382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 2)
2016, 19mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 3 ≤ 2
2120pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 ≤ 2 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
2215, 21biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
2322com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2 → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
2423adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑏, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2) → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
2514, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
2613, 25biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑏, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
2726adantld 490 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑏, 𝑐} → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
2812, 27biimtrdi 253 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))))
29 tpeq1 4742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑐, 𝑏, 𝑐})
30 tpidm13 4756 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑐, 𝑏, 𝑐} = {𝑐, 𝑏}
3129, 30eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑐, 𝑏})
3231eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ↔ 𝑉 = {𝑐, 𝑏}))
33 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 = {𝑐, 𝑏} → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3))
34 hashprlei 14507 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑐, 𝑏} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2)
35 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2 ↔ 3 ≤ 2))
3635, 21biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
3736com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2 → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑐, 𝑏} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2) → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
3934, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
4033, 39biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑐, 𝑏} → ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
4140adantld 490 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑐, 𝑏} → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
4232, 41biimtrdi 253 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))))
43 tpeq2 4743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑎, 𝑐, 𝑐})
44 tpidm23 4757 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑎, 𝑐, 𝑐} = {𝑎, 𝑐}
4543, 44eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑎, 𝑐})
4645eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ↔ 𝑉 = {𝑎, 𝑐}))
47 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 = {𝑎, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3))
48 hashprlei 14507 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑎, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2)
49 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2 ↔ 3 ≤ 2))
5049, 21biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
5150com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2 → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑎, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2) → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
5348, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
5447, 53biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑎, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
5554adantld 490 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑎, 𝑐} → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
5646, 55biimtrdi 253 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))))
5728, 42, 563jaoi 1430 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))))
5857impcomd 411 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐) → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
598, 58sylbi 217 . . . . . . 7 (¬ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
602, 59pm2.61i 182 . . . . . 6 (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
61 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
6260, 61jca 511 . . . . 5 (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
6362ex 412 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
6463eximdv 1917 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑐((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
65642eximdv 1919 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (∃𝑎𝑏𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
661, 65mpd 15 1 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  {cpr 4628  {ctp 4630   class class class wbr 5143  cfv 6561  Fincfn 8985   < clt 11295  cle 11296  2c2 12321  3c3 12322  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-3o 8508  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370
This theorem is referenced by:  hash3tpexb  14533
  Copyright terms: Public domain W3C validator