Theorem hash3tpde 14465

Description: A set of size three is an unordered triple of three different elements. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hash3tpde	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash3tpde

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash3tr 14463	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
2		ax-1 6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
3		3ianor 1106	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ∨ ¬ 𝑎 ≠ 𝑐 ∨ ¬ 𝑏 ≠ 𝑐))
4		nne 2930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
5		nne 2930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑐 ↔ 𝑎 = 𝑐)
6		nne 2930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑏 ≠ 𝑐 ↔ 𝑏 = 𝑐)
7	4, 5, 6	3orbi123i 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ∨ ¬ 𝑎 ≠ 𝑐 ∨ ¬ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑐 ∨ 𝑏 = 𝑐))
8	3, 7	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑐 ∨ 𝑏 = 𝑐))
9		tpeq1 4709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑏, 𝑏, 𝑐})
10		tpidm12 4722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑏, 𝑏, 𝑐} = {𝑏, 𝑐}
11	9, 10	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑏, 𝑐})
12	11	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ↔ 𝑉 = {𝑏, 𝑐}))
13		fveqeq2 6870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = {𝑏, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3))
14		hashprlei 14440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑏, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2)
15		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2 ↔ 3 ≤ 2))
16		2lt3 12360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 < 3
17		2re 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		3re 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ ℝ
19	17, 18	ltnlei 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 2)
20	16, 19	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 3 ≤ 2
21	20	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 ≤ 2 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
22	15, 21	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
23	22	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2 → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑏, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2) → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
25	14, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
26	13, 25	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑏, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
27	26	adantld 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
28	12, 27	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
29		tpeq1 4709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑐, 𝑏, 𝑐})
30		tpidm13 4723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑐, 𝑏, 𝑐} = {𝑐, 𝑏}
31	29, 30	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑐, 𝑏})
32	31	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ↔ 𝑉 = {𝑐, 𝑏}))
33		fveqeq2 6870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = {𝑐, 𝑏} → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3))
34		hashprlei 14440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑐, 𝑏} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2)
35		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2 ↔ 3 ≤ 2))
36	35, 21	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
37	36	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2 → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑐, 𝑏} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2) → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
40	33, 39	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑐, 𝑏} → ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
41	40	adantld 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑐, 𝑏} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
42	32, 41	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
43		tpeq2 4710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑎, 𝑐, 𝑐})
44		tpidm23 4724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑎, 𝑐, 𝑐} = {𝑎, 𝑐}
45	43, 44	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑎, 𝑐})
46	45	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ↔ 𝑉 = {𝑎, 𝑐}))
47		fveqeq2 6870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3))
48		hashprlei 14440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑎, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2)
49		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2 ↔ 3 ≤ 2))
50	49, 21	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
51	50	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2 → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑎, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2) → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
53	48, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
54	47, 53	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
55	54	adantld 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
56	46, 55	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
57	28, 42, 56	3jaoi 1430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑐 ∨ 𝑏 = 𝑐) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
58	57	impcomd 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑐 ∨ 𝑏 = 𝑐) → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
59	8, 58	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
60	2, 59	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
61		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
62	60, 61	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
63	62	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
64	63	eximdv 1917	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
65	64	2eximdv 1919	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
66	1, 65	mpd 15	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {cpr 4594  {ctp 4596   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  Fincfn 8921   < clt 11215   ≤ cle 11216  2c2 12248  3c3 12249  ♯chash 14302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-3o 8439  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303

This theorem is referenced by:  hash3tpexb  14466