Theorem hash3tpde 14530

Description: A set of size three is an unordered triple of three different elements. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hash3tpde	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash3tpde

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash3tr 14528	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
2		ax-1 6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
3		3ianor 1122	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ∨ ¬ 𝑎 ≠ 𝑐 ∨ ¬ 𝑏 ≠ 𝑐))
4		nne 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
5		nne 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑐 ↔ 𝑎 = 𝑐)
6		nne 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑏 ≠ 𝑐 ↔ 𝑏 = 𝑐)
7	4, 5, 6	3orbi123i 1172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ∨ ¬ 𝑎 ≠ 𝑐 ∨ ¬ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑐 ∨ 𝑏 = 𝑐))
8	3, 7	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑐 ∨ 𝑏 = 𝑐))
9		tpeq1 4707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑏, 𝑏, 𝑐})
10		tpidm12 4720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑏, 𝑏, 𝑐} = {𝑏, 𝑐}
11	9, 10	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑏, 𝑐})
12	11	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ↔ 𝑉 = {𝑏, 𝑐}))
13		fveqeq2 6890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = {𝑏, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3))
14		hashprlei 14505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑏, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2)
15		breq1 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2 ↔ 3 ≤ 2))
16		2lt3 12413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 < 3
17		2re 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		3re 12320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ ℝ
19	17, 18	ltnlei 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 2)
20	16, 19	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 3 ≤ 2
21	20	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 ≤ 2 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
22	15, 21	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
23	22	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2 → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
24	23	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑏, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑏, 𝑐}) ≤ 2) → ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
25	14, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘{𝑏, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
26	13, 25	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑏, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
27	26	adantld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
28	12, 27	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
29		tpeq1 4707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑐, 𝑏, 𝑐})
30		tpidm13 4721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑐, 𝑏, 𝑐} = {𝑐, 𝑏}
31	29, 30	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑐, 𝑏})
32	31	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ↔ 𝑉 = {𝑐, 𝑏}))
33		fveqeq2 6890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = {𝑐, 𝑏} → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3))
34		hashprlei 14505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑐, 𝑏} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2)
35		breq1 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2 ↔ 3 ≤ 2))
36	35, 21	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
37	36	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2 → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
38	37	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑐, 𝑏} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑐, 𝑏}) ≤ 2) → ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘{𝑐, 𝑏}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
40	33, 39	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑐, 𝑏} → ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
41	40	adantld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑐, 𝑏} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
42	32, 41	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
43		tpeq2 4708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑎, 𝑐, 𝑐})
44		tpidm23 4722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑎, 𝑐, 𝑐} = {𝑎, 𝑐}
45	43, 44	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑎, 𝑐})
46	45	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ↔ 𝑉 = {𝑎, 𝑐}))
47		fveqeq2 6890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3))
48		hashprlei 14505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑎, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2)
49		breq1 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2 ↔ 3 ≤ 2))
50	49, 21	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
51	50	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2 → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
52	51	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑎, 𝑐} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑎, 𝑐}) ≤ 2) → ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
53	48, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘{𝑎, 𝑐}) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
54	47, 53	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑐} → ((♯‘𝑉) = 3 → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
55	54	adantld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
56	46, 55	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
57	28, 42, 56	3jaoi 1452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑐 ∨ 𝑏 = 𝑐) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
58	57	impcomd 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑐 ∨ 𝑏 = 𝑐) → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
59	8, 58	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
60	2, 59	pm2.61i 184	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
61		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
62	60, 61	jca 520	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
63	62	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
64	63	eximdv 1945	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
65	64	2eximdv 1947	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → (∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
66	1, 65	mpd 16	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1100   ∧ w3a 1101   = wceq 1568  ∃wex 1807   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {cpr 4590  {ctp 4592   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  Fincfn 8942   < clt 11242   ≤ cle 11243  2c2 12294  3c3 12295  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-3o 8454  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  hash3tpexb  14531